WEBVTT 00:00:00.450 --> 00:00:04.130 En el último vídeo, vimos que si un campo vectorial puede ser 00:00:04.130 --> 00:00:12.580 escrito como el gradiente de un campo escalar-- u otra 00:00:12.580 --> 00:00:17.080 forma de decirlo es: esto sería igual a la derivada parcial de nuestra 00:00:17.080 --> 00:00:23.060 F grande respecto a x multiplicado por i, más la derivada parcial de F grande, nuestro 00:00:23.060 --> 00:00:28.100 campo escalar respecto a y multiplicado por j; y simplemente estoy escribiéndolo 00:00:28.100 --> 00:00:30.690 en múltiples maneras para que recordéis lo que es el gradiente 00:00:30.690 --> 00:00:35.490 --pero vimos que si nuestro campo vectorial es el gradiente de 00:00:35.490 --> 00:00:38.780 un campo escalar, entonces lo llamamos conservativo. 00:00:38.780 --> 00:00:47.825 Eso nos dice que f es un campo vectorial conservativo. 00:00:50.510 --> 00:00:54.140 Y también nos dice, y ésta fue la parte mas importante respecto 00:00:54.140 --> 00:00:58.400 al vídeo anterior, que la integral de línea de f entre dos 00:00:58.400 --> 00:01:05.900 puntos-- permitidme dibujar dos puntos aquí; así que permitidme dibujar mis 00:01:05.900 --> 00:01:09.210 coordenadas sólo para indicar que estamos en el plano xy. 00:01:09.210 --> 00:01:12.780 Mis ejes: eje-x, eje-y. 00:01:12.780 --> 00:01:16.820 Digamos que tengo un punto, tengo ese punto y ese punto, 00:01:16.820 --> 00:01:19.620 y tengo dos trayectorias diferentes entre dichos puntos. 00:01:19.620 --> 00:01:24.190 Así que tengo la trayectoria 1, que va como algo así, y le 00:01:24.190 --> 00:01:27.005 llamaré c1 y va dirigido en esa dirección. 00:01:30.270 --> 00:01:32.380 Y también tengo, quizá en otro tono de 00:01:32.380 --> 00:01:38.010 verde, c2 que va de esta forma. 00:01:38.010 --> 00:01:41.010 Los dos empiezan aquí y van allí. 00:01:41.010 --> 00:01:43.520 Aprendimos en el último vídeo que la integral de línea 00:01:43.520 --> 00:01:48.330 es independiente de la trayectoria entre dos puntos. 00:01:48.330 --> 00:01:57.930 Así que en este caso la integral de línea a lo largo de c1 de f punto dr 00:01:57.930 --> 00:02:03.560 va a ser igual a la integral de línea de c2, a lo largo de la 00:02:03.560 --> 00:02:10.870 trayectoria c2, de f punto dr. Si tenemos un potencial en 00:02:10.870 --> 00:02:14.500 la región, y podemos estar en todos puntos, entonces la integral 00:02:14.500 --> 00:02:17.590 de línea entre dos puntos es independiente de la trayectoria. 00:02:17.590 --> 00:02:19.390 Eso es lo bueno de un campo conservativo. 00:02:19.390 --> 00:02:21.190 Ahora lo que quiero hacer en este vídeo es ser un poco 00:02:21.190 --> 00:02:23.680 mas extensivo de lo que vimos en el último vídeo. 00:02:23.680 --> 00:02:25.710 En realidad es una extensión muy importante; puede que ya 00:02:25.710 --> 00:02:27.540 os parezca obvia. 00:02:27.540 --> 00:02:29.550 Ya he escrito esto aquí; Podría reordenar 00:02:29.550 --> 00:02:31.410 la ecuación un poco. 00:02:31.410 --> 00:02:32.745 Permitidme hacerlo. 00:02:32.745 --> 00:02:35.310 Permitidme reordenar esto. 00:02:35.310 --> 00:02:36.976 Reescribiré esto en naranja. 00:02:36.976 --> 00:02:42.730 Entonces la integral a lo largo de la trayectoria c1 de f punto dr menos-- Simplemente 00:02:42.730 --> 00:02:48.670 resto esto de ambos lados --menos la integral c2 de 00:02:48.670 --> 00:02:53.110 f punto dr va a ser igual a 0. 00:02:53.110 --> 00:02:55.610 Todo lo que hecho es coger lo mas relevante del ultimo vídeo y 00:02:55.610 --> 00:02:58.430 le resté esto en ambos lados. 00:02:58.430 --> 00:03:04.370 Ahora bien, aprendimos hace unos cuantos vídeos que si restamos tratando con una 00:03:04.370 --> 00:03:08.560 integral de línea de un campo vectorial-- no de un campo escalar 00:03:08.560 --> 00:03:10.690 --con un campo vectorial, la dirección de la 00:03:10.690 --> 00:03:12.090 trayectoria es importante. 00:03:12.090 --> 00:03:20.370 Aprendimos que la integral de línea sobre, digamos, c2 de f producto punto 00:03:20.370 --> 00:03:26.580 dr, es igual a menos la integral de línea de menos c2 00:03:26.580 --> 00:03:32.830 de f punto dr, donde menos c2 denota la misma trayectoria que 00:03:32.830 --> 00:03:35.740 c2, pero en dirección contraria. 00:03:35.740 --> 00:03:39.370 Por ejemplo, menos c2 la escribiría algo así-- permitidme 00:03:39.370 --> 00:03:42.440 hacerlo en distinto color --digamos entonces que esto es menos 00:03:42.440 --> 00:03:46.740 c2, sería una trayectoria como c2-- voy a llamarla 00:03:46.740 --> 00:03:49.100 menos c2 --pero en lugar de ir en esa dirección, voy ahora 00:03:49.100 --> 00:03:51.380 en esa dirección. 00:03:51.380 --> 00:03:52.980 Así que ignorad las antiguas flechas de c2. 00:03:52.980 --> 00:03:56.030 Empezamos ahora allí y venimos hacia aquí. 00:03:56.030 --> 00:03:58.100 Esto es menos c2. 00:03:58.100 --> 00:04:00.220 O podríamos escribir, podríamos poner, el menos en el otro 00:04:00.220 --> 00:04:06.250 lado y podríamos decir que la integral negativa de la c2 00:04:06.250 --> 00:04:13.770 a lo largo de la trayectoria c2 de f punto dr es igual a 00:04:13.770 --> 00:04:19.510 la integral de línea a lo largo de la trayectoria inversa de f punto dr. Todo lo que he hecho es 00:04:19.510 --> 00:04:21.630 cambiar el menos al otro lado; multiplicar 00:04:21.630 --> 00:04:23.370 ambos lados por menos 1. 00:04:23.370 --> 00:04:27.900 Reemplacemos entonces-- en esta ecuación tenemos menos 00:04:27.900 --> 00:04:31.480 de la trayectoria c2; tenemos eso ahí bien, y tenemos eso allí bien 00:04:31.480 --> 00:04:33.880 --así que podríamos simplemente sustituir esto con 00:04:33.880 --> 00:04:34.800 esto aquí mismo. 00:04:34.800 --> 00:04:35.670 Permitidme hacer eso. 00:04:35.670 --> 00:04:37.670 Escribiré primero esta parte. 00:04:37.670 --> 00:04:43.410 La integral a lo largo de la curva c1 de f por dr, en lugar de 00:04:43.410 --> 00:04:49.200 menos la integral de línea a lo largo de c2, voy a decir más la 00:04:49.200 --> 00:04:51.200 integral a lo largo de menos c2. 00:04:51.200 --> 00:04:55.940 Esto-- permitidme cambiar al verde --esto que hemos establecido 00:04:55.940 --> 00:04:57.480 es lo mismo que esto. 00:04:57.480 --> 00:05:00.720 Menos esta curva, o la integral a lo largo de este 00:05:00.720 --> 00:05:04.950 camino, es lo mismo que la integral de línea, más la 00:05:04.950 --> 00:05:07.350 integral de línea a lo largo del camino inverso. 00:05:07.350 --> 00:05:13.610 Diremos que más la integral de línea de menos c2 de 00:05:13.610 --> 00:05:19.270 f por dr es igual a 0. 00:05:19.270 --> 00:05:20.670 Ahora hay algo interesante. 00:05:20.670 --> 00:05:23.550 Miremos qué es la combinación de los caminos 00:05:23.550 --> 00:05:26.560 c1 y menos c2. 00:05:26.560 --> 00:05:28.370 c1 empieza por aquí. 00:05:28.370 --> 00:05:30.280 Permitidme utilizar un color bonito, vibrante. 00:05:30.280 --> 00:05:32.580 c1 empieza por aquí en este punto. 00:05:32.580 --> 00:05:36.540 Se mueve desde este punto a lo largo de la curva c1 00:05:36.540 --> 00:05:38.020 y llega a este punto. 00:05:38.020 --> 00:05:39.840 Y entonces hacemos menos c2. 00:05:39.840 --> 00:05:43.590 Menos c2 empieza en este punto y simplemente avanza y vuelve 00:05:43.590 --> 00:05:45.810 al punto original; se completa una vuelta. 00:05:45.810 --> 00:05:48.270 Por tanto esto es una integral a lo largo de una curva cerrada. 00:05:48.270 --> 00:05:52.440 Si combinamos esto, podríamos reescribirlo así. 00:05:52.440 --> 00:05:53.660 Recordad, es simplemente una vuelta. 00:05:53.660 --> 00:05:56.365 Haciendo el inverso de esto, en lugar de tener dos chicos empezando aquí 00:05:56.365 --> 00:05:58.450 y yendo allí, ahora puedo empezar aquí, ir por allí, 00:05:58.450 --> 00:06:00.660 y entonces volver todo el camino por 00:06:00.660 --> 00:06:02.630 el camino inverso de c2. 00:06:02.630 --> 00:06:06.880 Por tanto esto es equivalente a la integral a lo largo de la línea cerrada. 00:06:06.880 --> 00:06:12.150 Y es lo mismo que ella integral a lo largo de un camino cerrado. 00:06:12.150 --> 00:06:15.730 Quiero decir, podríamos llamar al camino cerrado, quizás, c1 más 00:06:15.730 --> 00:06:18.200 menos-c2, si quisiéramos ser precisos sobre 00:06:18.200 --> 00:06:18.900 el camino cerrado. 00:06:18.900 --> 00:06:23.390 Pero esto podría ser, señaló a c1 y c2 o menos c2 arbitrariamente; 00:06:23.390 --> 00:06:29.600 esto podría ser cualquier camino cerrado donde nuestro vector de campo f tiene un 00:06:29.600 --> 00:06:33.000 potencial, o donde es el gradiente de un campo escalar 00:06:33.000 --> 00:06:34.960 o cuando sea conservador. 00:06:34.960 --> 00:06:38.620 Y lo que este puede ser escrito como un camino cerrado de c1 más el 00:06:38.620 --> 00:06:45.930 reverso de c2 de dr de punto f. Eso es sólo una reescritura 00:06:45.930 --> 00:06:49.040 de eso y eso va a ser igual a 0. 00:06:49.040 --> 00:06:53.050 Y este es nuestro take away para este video. 00:06:53.050 --> 00:06:56.110 Esto es, puede verlo como un corolario. 00:06:56.110 --> 00:06:59.160 Es tipo de una conclusión de bajas que puede hacer 00:06:59.160 --> 00:07:01.610 Después de esta conclusión. 00:07:01.610 --> 00:07:05.900 Así que ahora sabemos que si tenemos un vector de campo que tiene el 00:07:05.900 --> 00:07:09.570 gradiente de un campo escalar en alguna región, o tal vez sobre la 00:07:09.570 --> 00:07:13.440 plano xy todo--y esto se llama el potencial de f; 00:07:13.440 --> 00:07:15.320 Esta es una función potencial. 00:07:15.320 --> 00:07:17.370 A menudo será el negativo de la misma, pero es fácil 00:07:17.370 --> 00:07:21.670 se metiera con negativos--pero si tenemos un campo vectorial 00:07:21.670 --> 00:07:24.650 el gradiente de un campo escalar, llamamos a ese vector 00:07:24.650 --> 00:07:26.100 campo conservador. 00:07:26.100 --> 00:07:29.880 Nos dice en cualquier punto de la región donde esto es 00:07:29.880 --> 00:07:33.860 es válido, de la línea integral de un punto a otro 00:07:33.860 --> 00:07:36.150 independiente de la trayectoria; eso es lo que recibimos de 00:07:36.150 --> 00:07:37.130 el último video. 00:07:37.130 --> 00:07:42.890 Y por eso, un bucle cerrado línea integral o una cerrada 00:07:42.890 --> 00:07:45.570 línea integral, por lo que si tenemos algún otro lugar, si tomamos 00:07:45.570 --> 00:07:52.915 cualquier otro integral de línea cerrada o tome la línea integral de 00:07:52.915 --> 00:07:57.490 el campo vectorial en cualquier lazo cerrado, se convertirá en 0 porque 00:07:57.490 --> 00:07:58.740 es independiente de la ruta de acceso. 00:07:58.740 --> 00:08:02.240 Eso es puro llevar aquí, que si sabes que 00:08:02.240 --> 00:08:05.370 Esto es conservador, si has visto algo como esto: 00:08:05.370 --> 00:08:10.580 Si ves este dr de punto f y alguien le pide evaluar 00:08:10.580 --> 00:08:13.840 Este dado que f es conservador, o dado que f 00:08:13.840 --> 00:08:16.710 es el gradiente de otra función, o dado que f es 00:08:16.710 --> 00:08:19.960 ruta independiente, puede ahora inmediatamente decir, que va 00:08:19.960 --> 00:08:24.170 ser equivalente a 0, lo cual simplifica bastante el cálculo.