Eelmises videos näegime, et kui vektorväli saab olla
kirjutatud vektorvälja teekallakuna-- või teist moodi
saaksime me öelda: see oleks võrdne meie suure
osalise f'ga suhtes x'ga korda i plus meie suur osaline f, meie
skalaarväli suhtes y'ga korda j; ja ma lihtsalt kirjutan
selle mitut moodi, et sa mäletaksid, mis on teekallak
--aga me nägime, et kui meie vektorväli on
skalaarvälja teekallak, siis me kutsume seda konservatiivseks.
Seega, see ütleb meile, et f on konservatiivne vektorväli.
Ja see ütleb ka, et see oli suur äravõtt
eelmisest videost, joonintegraal kohal f kahe punkti vahel
--las ma joonistan kaks punkti siia; seega, las ma joonistan enda
koordinaadid, et me teaksime, et me asetseme xy-tasandil.
Mu teljed: x-telg, y-telg.
Ütleme, et mul on punkt, et mul on see punkt ja see punkt,
ja mul on kaks erinevat teed nende kahe punkti vahel.
Seega, mul on punkt 1, see läheb umbes nii,
seega ma nimetan selle c1'ks ja see läheb selles suunas.
Ja siis mul on, võib-olla kahes erinevas rohelise varjundis,
c2 läheb nii.
Nad mõlemad algavad siit ja lähevad sinna.
Me õppisime viimases videos, et joone integraal
on sõltumatu tee ükskõik, millise kahe punkti vahel.
Seega, praegusel juhul joone integraal mööda c1 kohal f punkt dr
on võrdne joone integraaliga c2, üle
tee c2, kohal f punkt dr. Joon, kui meil on potentsiaal
piirkonnas, ja me võime olla kus tahes, siis joone
integraal ükskõik, millise kahe punkti vahel, on sõltumatu teekonnast.
See on konservatiivse välja hea omadus.
Mis ma nüüd teha tahan selles videos on, et teha väike
üldistamine eelmise video äravõtust.
See on tegelikult päris tähtis üldistus; see võib
olla juba ilmne sulle.
Mul on see juba siia kirjutatud; ma võin natuke
ümberkorraldada seda võrdust.
Las ma teen seda.
Seega, las ma korraldan selle ümber.
Ma kirjutan selle lihtsalt oranžis uuesti.
Seega, joone integraal c1 teel punkt dr miinus-- ma lihtsalt lähen
lahutan selle mõlemalt poolt-- miinus joone integraal c2 kohal
f punkt dr hakkab võrduma 0'ga.
Kõik, mis ma tegin, oli et ma võtsin äravõtu eelmisest videost ja
lahutasin selle mõlemast poolest.
Me õppisime mitmed videod tagasi, et kui meil on tegemist
vektorvälja joone integraaliga-- mitte skalaarvälja
--koos vektori väljaga, tee suund
on oluline.
Me õppisime, et joone integraal üle, ütleme, c2 kohal f punkt
dr, on võrdne negatiivse miinus c2 joone integraaliga
kohal f punkt dr, kus me tähistasime, et miinus c2 on sama teekonnaga, nagu
c2, ainult et vastupidises suunas.
Seega, näiteks, miinus c2 kirjutaksin ma sellisena-- las ma
teen selle teise värviga --seega, ütleme, et see on miinus
c2, see oleks tee, nagu c2-- ma nimetan selle
minus c2'ks --aga selle asemel, et minna selles suunas, ma nüüd
lähen selles suunas.
Seega, ära tee välja vana c2 nooltest.
Nüüd me alustame sealt ja tuleme tagasi siia.
Seega, see on miinus c2.
Või me võiksime kirjutada, me võiksime panna, miinus teisel
pool ja me võiksime öelda, et negatiiv c2 joone
integraalist mööda c2 kohal f punkt dr teed on võrdne
joone integraaliga üle f punkt dr vastupidise suuna. Kõik, mis ma tegin,
oli et ma vahetasin negatiivse teisel poolel; korrutasin
mõlemad pooled negatiivse 1'ga.
Seega, asendame-- selles võrduses on meil miinus
c2 tee; meil on see siin, ja meil on see täpselt
siin --seega, me võiksime lihtsalt asendada selle
sellega siin.
Seega, las ma teen seda.
Ma kirjutan esimese osa kõigepealt.
Seega, integraal mööda c1 kohal f punkt dr kurvi,
miinus joone integraal mööda c2 asemel, ütleme pluss
integraal mööda miinus c2'te.
See-- las ma vahetan roheliseks --see kehtestus
on sama asi, mis see.
Selle kurvi negatiiv, või joone integraal mööda seda
teed on sama, mis joone integraal, positiivne
joone integraal mööda vastupidist suunda.
Seega, ütleme pluss c2 kohal f punkt dr joone integraal
on võrdne 0'ga.
Nüüd on asi huvitav.
Vaatame, mis on c1 ja miinus c2
teede kombinatsioon.
c1 algab siit.
Las ma võtan hea, elava värvi.
c1 algab siit selles punktis.
See liigub sellest punktist mööda seda c1 kurvi ja
lõppeb selles punktis.
Ja siis me teeme miinus c2'e.
Miinus c2 algab sellest punktist ja läheb ja tuleb tagasi
algsesse punkti; see viib lõpule tsükli.
Seega, see on suletud joone integraal.
Kui sa kombineerid selle, võime me selle ümber kirjutada.
Jäta meelde, see on lihtsalt tsükkel.
Tagurdades seda, selle asemel, et kaks venda siit alustaksid
ja siia läheksid, ma nüüd võin alustada siit, minna terve tee
sinna, ja siis tulla terve tee tagasi siia
tagurpidise c2 tee peale.
Seega, see on samaväärne suletud joone integraaliga.
See on sama asi, mis integraal mööda suletud teed.
Ma mõtlen, et me võiksime kutsuda suletud teed ehk c1 pluss
miinus c2'ks, kui me tahaksime olla üksikasjalik
suletud tee suhtes.
Aga see võiks olla, ma joonistasin c1 ja c2 või miinus c2 omavoliliselt;
see võib olla mistahes suletud tee, kus meie vektori väljal f on
potentsiaal, või kus see on skalaarse välja teekallak,
või kus see on konservatiiv.
Ja seda võib kirjutada c1 suletud teena, pluss
vastupidine c2 kohal f punkt dr. See on lihtsalt ümberkirjutus
sellest, ja see hakkab olema võrdne 0'ga.
Ja see on meie äravõtt selle video puhul.
See on, sa võid seda vaadata kaasnevana.
See on üsna allarippuv järeldus, mida sa saad teha
pärast seda järeldust.
Seega, nüüd me teame, et kui meil on vektori väli, mis on
skalaarvälja teekallak mingis piirkonnas, või ehk üle
terve xy-tasandi-- ja seda kutsutakse f'i potentsiaaliks;
see on potentsiaalne funktsioon.
Tihtilugu on see negatiivne sellest, aga negatiivsustega
on lihtne mässata --aga kui meil on vektorväli, mis on
skalaarvälja teekallak, me nimetame seda
vektorvälja konservatiiviks.
See ütleb meile, et mistahes punktis selles regioonis, kus see tõene on,
joone integraal ühest punktist teise on
sõltumatu teekonnast; seda õppisime me
eelmisest videost.
Ja sellepärast, suletud tsükkli joone integraal, või suletud
joone integraal, seega, kui me võtame mingi muu koha, kui me võtame
mistahes muu suletud joone integraali või me võtame vektorvälja
joone integraali mistahes suletud tsüklis, hakkab see olema 0, sest
see on sõltumatu teekonnast.
Seega, see on hea äravõtt siit, et kui sa tead, et
see on konservatiiv, kui sa kunagi näed midagi sellist:
kui sa näed seda f punkt dr ja keegi palub sul hinnata
seda teades, et f on konservatiiv, või teades, et f
on mõne teise funktsiooni teekallak, või teades, et f on
sõltumatu teekonnast, sa võid koheselt öelda, et see
hakkab olema võrdne 0'ga, mis lihtsustab matemaatikat päris palju.