WEBVTT

00:00:00.450 --> 00:00:04.130
Eelmises videos näegime, et kui vektorväli saab olla

00:00:04.130 --> 00:00:12.580
kirjutatud vektorvälja teekallakuna-- või teist moodi

00:00:12.580 --> 00:00:17.080
saaksime me öelda: see oleks võrdne meie suure

00:00:17.080 --> 00:00:23.060
osalise f'ga suhtes x'ga korda i plus meie suur osaline f, meie

00:00:23.060 --> 00:00:28.100
skalaarväli suhtes y'ga korda j; ja ma lihtsalt kirjutan

00:00:28.100 --> 00:00:30.690
selle mitut moodi, et sa mäletaksid, mis on teekallak

00:00:30.690 --> 00:00:35.490
--aga me nägime, et kui meie vektorväli on

00:00:35.490 --> 00:00:38.780
skalaarvälja teekallak, siis me kutsume seda konservatiivseks.

00:00:38.780 --> 00:00:47.825
Seega, see ütleb meile, et f on konservatiivne vektorväli.

00:00:50.510 --> 00:00:54.140
Ja see ütleb ka, et see oli suur äravõtt

00:00:54.140 --> 00:00:58.400
eelmisest videost, joonintegraal kohal f kahe punkti vahel

00:00:58.400 --> 00:01:05.900
--las ma joonistan kaks punkti siia; seega, las ma joonistan enda

00:01:05.900 --> 00:01:09.210
koordinaadid, et me teaksime, et me asetseme xy-tasandil.

00:01:09.210 --> 00:01:12.780
Mu teljed: x-telg, y-telg.

00:01:12.780 --> 00:01:16.820
Ütleme, et mul on punkt, et mul on see punkt ja see punkt,

00:01:16.820 --> 00:01:19.620
ja mul on kaks erinevat teed nende kahe punkti vahel.

00:01:19.620 --> 00:01:24.190
Seega, mul on punkt 1, see läheb umbes nii,

00:01:24.190 --> 00:01:27.005
seega ma nimetan selle c1'ks ja see läheb selles suunas.

00:01:30.270 --> 00:01:32.380
Ja siis mul on, võib-olla kahes erinevas rohelise varjundis,

00:01:32.380 --> 00:01:38.010
c2 läheb nii.

00:01:38.010 --> 00:01:41.010
Nad mõlemad algavad siit ja lähevad sinna.

00:01:41.010 --> 00:01:43.520
Me õppisime viimases videos, et joone integraal

00:01:43.520 --> 00:01:48.330
on sõltumatu tee ükskõik, millise kahe punkti vahel.

00:01:48.330 --> 00:01:57.930
Seega, praegusel juhul joone integraal mööda c1 kohal f punkt dr

00:01:57.930 --> 00:02:03.560
on võrdne joone integraaliga c2, üle

00:02:03.560 --> 00:02:10.870
tee c2, kohal f punkt dr. Joon, kui meil on potentsiaal

00:02:10.870 --> 00:02:14.500
piirkonnas, ja me võime olla kus tahes, siis joone

00:02:14.500 --> 00:02:17.590
integraal ükskõik, millise kahe punkti vahel, on sõltumatu teekonnast.

00:02:17.590 --> 00:02:19.390
See on konservatiivse välja hea omadus.

00:02:19.390 --> 00:02:21.190
Mis ma nüüd teha tahan selles videos on, et teha väike

00:02:21.190 --> 00:02:23.680
üldistamine eelmise video äravõtust.

00:02:23.680 --> 00:02:25.710
See on tegelikult päris tähtis üldistus; see võib

00:02:25.710 --> 00:02:27.540
olla juba ilmne sulle.

00:02:27.540 --> 00:02:29.550
Mul on see juba siia kirjutatud; ma võin natuke

00:02:29.550 --> 00:02:31.410
ümberkorraldada seda võrdust.

00:02:31.410 --> 00:02:32.745
Las ma teen seda.

00:02:32.745 --> 00:02:35.310
Seega, las ma korraldan selle ümber.

00:02:35.310 --> 00:02:36.976
Ma kirjutan selle lihtsalt oranžis uuesti.

00:02:36.976 --> 00:02:42.730
Seega, joone integraal c1 teel punkt dr miinus-- ma lihtsalt lähen

00:02:42.730 --> 00:02:48.670
lahutan selle mõlemalt poolt-- miinus joone integraal c2 kohal

00:02:48.670 --> 00:02:53.110
f punkt dr hakkab võrduma 0'ga.

00:02:53.110 --> 00:02:55.610
Kõik, mis ma tegin, oli et ma võtsin äravõtu eelmisest videost ja

00:02:55.610 --> 00:02:58.430
lahutasin selle mõlemast poolest.

00:02:58.430 --> 00:03:04.370
Me õppisime mitmed videod tagasi, et kui meil on tegemist

00:03:04.370 --> 00:03:08.560
vektorvälja joone integraaliga-- mitte skalaarvälja

00:03:08.560 --> 00:03:10.690
--koos vektori väljaga, tee suund

00:03:10.690 --> 00:03:12.090
on oluline.

00:03:12.090 --> 00:03:20.370
Me õppisime, et joone integraal üle, ütleme, c2 kohal f punkt

00:03:20.370 --> 00:03:26.580
dr, on võrdne negatiivse miinus c2 joone integraaliga

00:03:26.580 --> 00:03:32.830
kohal f punkt dr, kus me tähistasime, et miinus c2 on sama teekonnaga, nagu

00:03:32.830 --> 00:03:35.740
c2, ainult et vastupidises suunas.

00:03:35.740 --> 00:03:39.370
Seega, näiteks, miinus c2 kirjutaksin ma sellisena-- las ma

00:03:39.370 --> 00:03:42.440
teen selle teise värviga --seega, ütleme, et see on miinus

00:03:42.440 --> 00:03:46.740
c2, see oleks tee, nagu c2-- ma nimetan selle

00:03:46.740 --> 00:03:49.100
minus c2'ks --aga selle asemel, et minna selles suunas, ma nüüd

00:03:49.100 --> 00:03:51.380
lähen selles suunas.

00:03:51.380 --> 00:03:52.980
Seega, ära tee välja vana c2 nooltest.

00:03:52.980 --> 00:03:56.030
Nüüd me alustame sealt ja tuleme tagasi siia.

00:03:56.030 --> 00:03:58.100
Seega, see on miinus c2.

00:03:58.100 --> 00:04:00.220
Või me võiksime kirjutada, me võiksime panna, miinus teisel

00:04:00.220 --> 00:04:06.250
pool ja me võiksime öelda, et negatiiv c2 joone

00:04:06.250 --> 00:04:13.770
integraalist mööda c2 kohal f punkt dr teed on võrdne

00:04:13.770 --> 00:04:19.510
joone integraaliga üle f punkt dr vastupidise suuna. Kõik, mis ma tegin,

00:04:19.510 --> 00:04:21.630
oli et ma vahetasin negatiivse teisel poolel; korrutasin

00:04:21.630 --> 00:04:23.370
mõlemad pooled negatiivse 1'ga.

00:04:23.370 --> 00:04:27.900
Seega, asendame-- selles võrduses on meil miinus

00:04:27.900 --> 00:04:31.480
c2 tee; meil on see siin, ja meil on see täpselt

00:04:31.480 --> 00:04:33.880
siin --seega, me võiksime lihtsalt asendada selle

00:04:33.880 --> 00:04:34.800
sellega siin.

00:04:34.800 --> 00:04:35.670
Seega, las ma teen seda.

00:04:35.670 --> 00:04:37.670
Ma kirjutan esimese osa kõigepealt.

00:04:37.670 --> 00:04:43.410
Seega, integraal mööda c1 kohal f punkt dr kurvi,

00:04:43.410 --> 00:04:49.200
miinus joone integraal mööda c2 asemel, ütleme pluss

00:04:49.200 --> 00:04:51.200
integraal mööda miinus c2'te.

00:04:51.200 --> 00:04:55.940
See-- las ma vahetan roheliseks --see kehtestus

00:04:55.940 --> 00:04:57.480
on sama asi, mis see.

00:04:57.480 --> 00:05:00.720
Selle kurvi negatiiv, või joone integraal mööda seda

00:05:00.720 --> 00:05:04.950
teed on sama, mis joone integraal, positiivne

00:05:04.950 --> 00:05:07.350
joone integraal mööda vastupidist suunda.

00:05:07.350 --> 00:05:13.610
Seega, ütleme pluss c2 kohal f punkt dr joone integraal

00:05:13.610 --> 00:05:19.270
on võrdne 0'ga.

00:05:19.270 --> 00:05:20.670
Nüüd on asi huvitav.

00:05:20.670 --> 00:05:23.550
Vaatame, mis on c1 ja miinus c2

00:05:23.550 --> 00:05:26.560
teede kombinatsioon.

00:05:26.560 --> 00:05:28.370
c1 algab siit.

00:05:28.370 --> 00:05:30.280
Las ma võtan hea, elava värvi.

00:05:30.280 --> 00:05:32.580
c1 algab siit selles punktis.

00:05:32.580 --> 00:05:36.540
See liigub sellest punktist mööda seda c1 kurvi ja

00:05:36.540 --> 00:05:38.020
lõppeb selles punktis.

00:05:38.020 --> 00:05:39.840
Ja siis me teeme miinus c2'e.

00:05:39.840 --> 00:05:43.590
Miinus c2 algab sellest punktist ja läheb ja tuleb tagasi

00:05:43.590 --> 00:05:45.810
algsesse punkti; see viib lõpule tsükli.

00:05:45.810 --> 00:05:48.270
Seega, see on suletud joone integraal.

00:05:48.270 --> 00:05:52.440
Kui sa kombineerid selle, võime me selle ümber kirjutada.

00:05:52.440 --> 00:05:53.660
Jäta meelde, see on lihtsalt tsükkel.

00:05:53.660 --> 00:05:56.365
Tagurdades seda, selle asemel, et kaks venda siit alustaksid

00:05:56.365 --> 00:05:58.450
ja siia läheksid, ma nüüd võin alustada siit, minna terve tee

00:05:58.450 --> 00:06:00.660
sinna, ja siis tulla terve tee tagasi siia

00:06:00.660 --> 00:06:02.630
tagurpidise c2 tee peale.

00:06:02.630 --> 00:06:06.880
Seega, see on samaväärne suletud joone integraaliga.

00:06:06.880 --> 00:06:12.150
See on sama asi, mis integraal mööda suletud teed.

00:06:12.150 --> 00:06:15.730
Ma mõtlen, et me võiksime kutsuda suletud teed ehk c1 pluss

00:06:15.730 --> 00:06:18.200
miinus c2'ks, kui me tahaksime olla üksikasjalik

00:06:18.200 --> 00:06:18.900
suletud tee suhtes.

00:06:18.900 --> 00:06:23.390
Aga see võiks olla, ma joonistasin c1 ja c2 või miinus c2 omavoliliselt;

00:06:23.390 --> 00:06:29.600
see võib olla mistahes suletud tee, kus meie vektori väljal f on

00:06:29.600 --> 00:06:33.000
potentsiaal, või kus see on skalaarse välja teekallak,

00:06:33.000 --> 00:06:34.960
või kus see on konservatiiv.

00:06:34.960 --> 00:06:38.620
Ja seda võib kirjutada c1 suletud teena, pluss

00:06:38.620 --> 00:06:45.930
vastupidine c2 kohal f punkt dr. See on lihtsalt ümberkirjutus

00:06:45.930 --> 00:06:49.040
sellest, ja see hakkab olema võrdne 0'ga.

00:06:49.040 --> 00:06:53.050
Ja see on meie äravõtt selle video puhul.

00:06:53.050 --> 00:06:56.110
See on, sa võid seda vaadata kaasnevana.

00:06:56.110 --> 00:06:59.160
See on üsna allarippuv järeldus, mida sa saad teha

00:06:59.160 --> 00:07:01.610
pärast seda järeldust.

00:07:01.610 --> 00:07:05.900
Seega, nüüd me teame, et kui meil on vektori väli, mis on

00:07:05.900 --> 00:07:09.570
skalaarvälja teekallak mingis piirkonnas, või ehk üle

00:07:09.570 --> 00:07:13.440
terve xy-tasandi-- ja seda kutsutakse f'i potentsiaaliks;

00:07:13.440 --> 00:07:15.320
see on potentsiaalne funktsioon.

00:07:15.320 --> 00:07:17.370
Tihtilugu on see negatiivne sellest, aga negatiivsustega

00:07:17.370 --> 00:07:21.670
on lihtne mässata --aga kui meil on vektorväli, mis on

00:07:21.670 --> 00:07:24.650
skalaarvälja teekallak, me nimetame seda

00:07:24.650 --> 00:07:26.100
vektorvälja konservatiiviks.

00:07:26.100 --> 00:07:29.880
See ütleb meile, et mistahes punktis selles regioonis, kus see tõene on,

00:07:29.880 --> 00:07:33.860
joone integraal ühest punktist teise on

00:07:33.860 --> 00:07:36.150
sõltumatu teekonnast; seda õppisime me

00:07:36.150 --> 00:07:37.130
eelmisest videost.

00:07:37.130 --> 00:07:42.890
Ja sellepärast, suletud tsükkli joone integraal, või suletud

00:07:42.890 --> 00:07:45.570
joone integraal, seega, kui me võtame mingi muu koha, kui me võtame

00:07:45.570 --> 00:07:52.915
mistahes muu suletud joone integraali või me võtame vektorvälja

00:07:52.915 --> 00:07:57.490
joone integraali mistahes suletud tsüklis, hakkab see olema 0, sest

00:07:57.490 --> 00:07:58.740
see on sõltumatu teekonnast.

00:07:58.740 --> 00:08:02.240
Seega, see on hea äravõtt siit, et kui sa tead, et

00:08:02.240 --> 00:08:05.370
see on konservatiiv, kui sa kunagi näed midagi sellist:

00:08:05.370 --> 00:08:10.580
kui sa näed seda f punkt dr ja keegi palub sul hinnata

00:08:10.580 --> 00:08:13.840
seda teades, et f on konservatiiv, või teades, et f

00:08:13.840 --> 00:08:16.710
on mõne teise funktsiooni teekallak, või teades, et f on

00:08:16.710 --> 00:08:19.960
sõltumatu teekonnast, sa võid koheselt öelda, et see

00:08:19.960 --> 00:08:24.170
hakkab olema võrdne 0'ga, mis lihtsustab matemaatikat päris palju.