No video anterior vimos que se
um campo vetorial pode ser
escrito como o gradiente de
um campo escalar
outra forma de dizermos isto seria:
igual à parcial do nosso f maiúsculo
com relação a x vezes i mais
a parcial de f maiúsculo,
nosso campo escalar com
relação a y vezes j;
-- Estou escrevendo de diversas formas
para você lembrar o que é gradiente --
Nós vimos que se o nosso
campo vetorial é o gradiente
de um campo escalar, então
o chamamos de conservativo.
Isso nos mostra que f é
um campo vetorial conservativo.
Isso nos mostra também
-- e esta é a principal
sacada do último vídeo --
que a integral de linha
de f entre dois pontos
-- deixe-me desenhar dois pontos aqui --
-- vou desenhar as coordenadas para
mostrar que estamos no plano xy.
Os eixos x e y.
Digamos que temos esse ponto
aqui e esse outro ponto
e que eu tenho dois caminhos
diferentes entre esses pontos.
Tenho o caminho um, que
é mais ou menos assim,
e vou chamar ele de c1,
indo nesta direção.
E agora eu tenho, em um
outro tom de verde,
c2, que tem essa direção.
Ambos começam aqui,
e vão para lá.
Nós aprendemos no último
vídeo que a integral de linha
é independente do trajeto
entre dois pontos.
Nesse caso, a integral de linha
ao longo de c1 de f ponto dr
será igual à integral de linha ao
longo de c2, ao longo do trajeto c2
de f ponto dr.
Se tivermos um potencial na região, ou
em todos pontos, a integral de linha
entre dois pontos é
independente do trajeto.
Isso é o bacana do
campo conservativo.
O que eu quero fazer
nesse video é uma
extensão do resultado
do último vídeo.
De fato, se trata de uma
extensão bem importante,
talvez já seja óbvio
para você.
Eu já escrevi isso aqui,
vou só reorganizar
essa equação um pouco.
Deixe-me organizar isto um pouco melhor.
Vou reescrever
isso em laranja.
Então a integral de linha do
trajeto c1 ponto dr menos
-- e eu vou subtrair isso
de ambos os lados --
menos a integral de linha c2 de
f ponto dr será igual a zero.
Tudo o que fiz foi pegar o
o resultado do último video
e subtrair isso de ambos os lados.
Agora, como vimos em um
dos vídeos anteriores,
se estivermos lidando com a integral
de linha em um campo vetorial
-- não um campo escalar --
em um campo vetorial, a direção
do trajeto é relevante.
Nós aprendemos que a integral
de linha sobre c2 de f ponto dr
é igual ao negativo da integral de linha
de menos c2 de f ponto dr,
onde denotamos que menos c2
é o mesmo trajeto que c2,
mas na direção oposta.
Por exemplo, menos c2
eu escreveria assim:
-- deixe eu usar uma cor diferente --
Digamos que isto seja menos c2,
que seria um trajeto como c2
-- vou chamá-lo de menos c2 --
mas no lugar de ir naquela direção,
agora eu vou nessa direção.
Ignore as antigas flechas.
Agora começamos de lá
e voltamos até aqui.
Então, esse aqui é menos c2.
Ou ainda, podemos colocar
o menos no outro lado
e poderíamos dizer que
o negativo da linha integral c2, ao longo
do trajeto de c2 de f ponto dr
é igual à
integral de linha do trajeto
inverso de f ponto dr.
Tudo o que eu fiz foi trocar o
negativo do outro lado,
multiplicando ambos
os lados por menos um.
Então vamos substituir -- nesta equação
nós temos o caminho negativo de c2;
nós o temos bem aqui; e também
o temos bem aqui;
então, nós poderíamos substituir
isto por isto aqui.
Deixe-me fazer isto.
Então escreverei esta
primeira parte aqui.
A integral ao longo da curva
c1 de f ponto dr, em vez de
menos a integral de linha ao
longo de c2, eu direi mais a
integral ao longo de
c2 negativo.
Isto -- deixe-me mudar para verde --
isto nós estabelecemos como
a mesma coisa que isto.
O negativo desta curva, ou
a integral de linha ao longo
deste caminho, é a mesma coisa que a
integral de linha, o positivo
da integral de linha ao longo
do caminho inverso.
Então diremos: mais a integral de
linha de menos c2
de f ponto dr é igual a zero.
Aqui há algo interessante.
Vamos ver qual a combinação
do caminho de
c1 e menos c2 é.
c1 começa bem aqui.
Deixe-me selecionar uma
cor mais vibrante.
c1 começa aqui
neste ponto.
Ele se move deste ponto
ao longo desta curva c1 e
termina neste ponto
bem aqui.
E então fazemos
o menos c2.
Menos c2 começa neste
ponto e vai e volta
para o ponto inicial; ele
completa uma volta.
Então esta é uma integral
de linha fechada.
Se combinamos isto,
poderíamos reescrever isto.
Lembre-se, isto é
apenas um loop.
Ao reverter isto, em vez de termos
dois elementos começando aqui e
indo para lá, eu posso
começar aqui, ir até
lá, e então voltar todo o
caminho para este
caminho inverso de c2.
Então, isto é equivalente à
uma integral de linha fechada.
Então, isto é o mesmo que uma integral
ao longo de um caminho fechado.
Nós poderíamos chamar isto de
caminho fechado, talvez,
c1 mais menos c2, se quiséssemos
nos referir particularmente
a este caminho fechado.
Mas isto poderia ser, eu desenhei c1
e c2 ou menos c2 arbitrariamente;
Este poderia ser qualquer caminho fechado
onde nosso campo vetorial f tem
um potencial, ou onde é o gradiente
de um campo escalar,
ou onde é conservativo.
E isto pode ser escrito como
um caminho fechado de c1 mais
o caminho inverso de c2 de f ponto dr.
Isto é apenas reescrever
o aquilo, e isto portanto
será igual a zero.
Esta é nossa deixa
para este vídeo.
Isto é, você pode ver isto
como um corolário.
É um tipo de conclusão simples que você
pode fazer a partir desta conclusão.
Agora nós sabes que se tivermos
um campo vetorial que
é o gradiente de um campo escalar
em alguma região, ou talvez por todo
o plano xy -- e isto é chamado de
potencial de f;
esta é uma função potencial.
Frequentemente será o negativo
disto, mas é mais fácil
errar com negativos -- porém, se temos
um campo vetorial que
é o gradiente de um campo
escalar, nós o chamamos de
campo vetorial conservativo.
Isto nos diz que para qualquer
ponto nesta região onde isto
é válido, a integral de linha de um
ponto para outro é
independente do caminho; isto é
o que nós obtemos
do último vídeo.
E por causa disto, uma integral de linha
circular fechada, ou uma
integral de linha fechada, se tomarmos
algum outro lugar, se tomarmos
qualquer outra integral de linha
ou tomamos a integral de linha do
campo vetorial em qualquer
loop fechado, ele se tornará zero pois
é independente do caminho.
Este é nosso gancho importante aqui,
que se você sabe que
ele é um campo conservativo, se você
vier a ver algo deste tipo:
se você vir este f ponto dr e alguém
pedi-lo para avaliar
isto, dado que f é conservativo, ou
dado que f
é o gradiente de uma
outra função, ou dado que f é
independente do caminho, você pode
imediatamente dizer que, isto será
igual a zero, o que simplifica
um pouco a matemática.
Legendado por: [José Irigon de Irigon]
Revisado por: [Bernardo Blasi Villari]