0:00:00.450,0:00:04.130
No video anterior vimos que se[br]um campo vetorial pode ser
0:00:04.130,0:00:11.910
escrito como o gradiente de[br]um campo escalar
0:00:11.910,0:00:17.080
outra forma de dizermos isto seria: [br]igual à parcial do nosso f maiúsculo
0:00:17.080,0:00:23.060
com relação a x vezes i mais [br]a parcial de f maiúsculo,
0:00:23.060,0:00:27.000
nosso campo escalar com [br]relação a y vezes j;
0:00:27.020,0:00:30.820
-- Estou escrevendo de diversas formas [br]para você lembrar o que é gradiente --
0:00:30.820,0:00:35.490
Nós vimos que se o nosso [br]campo vetorial é o gradiente
0:00:35.490,0:00:38.780
de um campo escalar, então [br]o chamamos de conservativo.
0:00:38.780,0:00:48.325
Isso nos mostra que f é[br]um campo vetorial conservativo.
0:00:50.800,0:00:51.990
Isso nos mostra também
0:00:51.990,0:00:54.930
-- e esta é a principal [br]sacada do último vídeo --
0:00:54.930,0:01:02.200
que a integral de linha [br]de f entre dois pontos
0:01:02.200,0:01:04.170
-- deixe-me desenhar dois pontos aqui --
0:01:04.170,0:01:09.210
-- vou desenhar as coordenadas para [br]mostrar que estamos no plano xy.
0:01:09.210,0:01:12.780
Os eixos x e y.
0:01:12.780,0:01:16.820
Digamos que temos esse ponto [br]aqui e esse outro ponto
0:01:16.820,0:01:19.680
e que eu tenho dois caminhos [br]diferentes entre esses pontos.
0:01:19.680,0:01:24.190
Tenho o caminho um, que[br]é mais ou menos assim,
0:01:24.190,0:01:29.815
e vou chamar ele de c1,[br]indo nesta direção.
0:01:30.270,0:01:34.190
E agora eu tenho, em um [br]outro tom de verde,
0:01:34.190,0:01:38.010
c2, que tem essa direção.
0:01:38.010,0:01:41.010
Ambos começam aqui,[br]e vão para lá.
0:01:41.010,0:01:43.740
Nós aprendemos no último [br]vídeo que a integral de linha
0:01:43.740,0:01:48.330
é independente do trajeto[br]entre dois pontos.
0:01:48.330,0:01:57.930
Nesse caso, a integral de linha [br]ao longo de c1 de f ponto dr
0:01:57.930,0:02:05.210
será igual à integral de linha ao [br]longo de c2, ao longo do trajeto c2
0:02:05.210,0:02:08.530
de f ponto dr.
0:02:08.530,0:02:14.500
Se tivermos um potencial na região, ou [br]em todos pontos, a integral de linha
0:02:14.500,0:02:17.590
entre dois pontos é [br]independente do trajeto.
0:02:17.590,0:02:19.390
Isso é o bacana do[br]campo conservativo.
0:02:19.390,0:02:21.190
O que eu quero fazer[br]nesse video é uma
0:02:21.190,0:02:23.600
extensão do resultado[br]do último vídeo.
0:02:23.600,0:02:25.930
De fato, se trata de uma [br]extensão bem importante,[br]
0:02:25.930,0:02:27.540
talvez já seja óbvio[br]para você.
0:02:27.540,0:02:29.550
Eu já escrevi isso aqui,[br]vou só reorganizar
0:02:29.550,0:02:31.410
essa equação um pouco.
0:02:31.410,0:02:35.225
Deixe-me organizar isto um pouco melhor.
0:02:35.310,0:02:36.976
Vou reescrever[br]isso em laranja.
0:02:36.976,0:02:42.000
Então a integral de linha do[br]trajeto c1 ponto dr menos
0:02:42.000,0:02:44.260
-- e eu vou subtrair isso [br]de ambos os lados --
0:02:44.260,0:02:53.040
menos a integral de linha c2 de [br]f ponto dr será igual a zero.
0:02:53.040,0:02:55.610
Tudo o que fiz foi pegar o [br]o resultado do último video
0:02:55.610,0:02:58.430
e subtrair isso de ambos os lados.
0:02:58.430,0:03:02.960
Agora, como vimos em um [br]dos vídeos anteriores,
0:03:02.960,0:03:06.990
se estivermos lidando com a integral [br]de linha em um campo vetorial
0:03:06.990,0:03:08.310
-- não um campo escalar --
0:03:08.310,0:03:11.940
em um campo vetorial, a direção [br]do trajeto é relevante.
0:03:11.940,0:03:21.240
Nós aprendemos que a integral [br]de linha sobre c2 de f ponto dr
0:03:21.300,0:03:28.960
é igual ao negativo da integral de linha[br]de menos c2 de f ponto dr,
0:03:28.960,0:03:33.440
onde denotamos que menos c2[br]é o mesmo trajeto que c2,
0:03:33.440,0:03:35.740
mas na direção oposta.
0:03:35.740,0:03:38.940
Por exemplo, menos c2[br]eu escreveria assim:
0:03:38.950,0:03:41.150
-- deixe eu usar uma cor diferente --
0:03:41.160,0:03:46.080
Digamos que isto seja menos c2, [br]que seria um trajeto como c2
0:03:46.080,0:03:49.250
-- vou chamá-lo de menos c2 -- [br]mas no lugar de ir naquela direção,
0:03:49.250,0:03:51.380
agora eu vou nessa direção.
0:03:51.380,0:03:52.980
Ignore as antigas flechas.
0:03:52.980,0:03:56.030
Agora começamos de lá[br]e voltamos até aqui.
0:03:56.030,0:03:58.100
Então, esse aqui é menos c2.
0:03:58.100,0:04:01.150
Ou ainda, podemos colocar[br]o menos no outro lado
0:04:01.150,0:04:02.770
e poderíamos dizer que
0:04:03.520,0:04:10.510
o negativo da linha integral c2, ao longo [br]do trajeto de c2 de f ponto dr
0:04:10.850,0:04:13.770
é igual à
0:04:13.770,0:04:18.790
integral de linha do trajeto[br]inverso de f ponto dr.
0:04:18.790,0:04:21.310
Tudo o que eu fiz foi trocar o[br]negativo do outro lado,
0:04:21.310,0:04:23.370
multiplicando ambos [br]os lados por menos um.
0:04:23.370,0:04:28.560
Então vamos substituir -- nesta equação[br]nós temos o caminho negativo de c2;
0:04:28.560,0:04:31.480
nós o temos bem aqui; e também[br]o temos bem aqui;
0:04:31.480,0:04:34.720
então, nós poderíamos substituir [br]isto por isto aqui.
0:04:34.720,0:04:35.670
Deixe-me fazer isto.
0:04:35.670,0:04:37.670
Então escreverei esta[br]primeira parte aqui.
0:04:37.670,0:04:43.410
A integral ao longo da curva[br]c1 de f ponto dr, em vez de
0:04:43.410,0:04:49.200
menos a integral de linha ao[br]longo de c2, eu direi mais a
0:04:49.200,0:04:51.200
integral ao longo de[br]c2 negativo.
0:04:51.200,0:04:55.940
Isto -- deixe-me mudar para verde -- [br]isto nós estabelecemos como
0:04:55.940,0:04:57.480
a mesma coisa que isto.
0:04:57.480,0:05:00.720
O negativo desta curva, ou[br]a integral de linha ao longo
0:05:00.720,0:05:04.950
deste caminho, é a mesma coisa que a[br]integral de linha, o positivo
0:05:04.950,0:05:07.350
da integral de linha ao longo[br]do caminho inverso.
0:05:07.350,0:05:13.610
Então diremos: mais a integral de[br]linha de menos c2
0:05:13.610,0:05:19.270
de f ponto dr é igual a zero.
0:05:19.270,0:05:20.670
Aqui há algo interessante.
0:05:20.670,0:05:23.550
Vamos ver qual a combinação[br]do caminho de
0:05:23.550,0:05:26.560
c1 e menos c2 é.
0:05:26.560,0:05:28.370
c1 começa bem aqui.
0:05:28.370,0:05:30.280
Deixe-me selecionar uma[br]cor mais vibrante.
0:05:30.280,0:05:32.580
c1 começa aqui[br]neste ponto.
0:05:32.580,0:05:36.540
Ele se move deste ponto[br]ao longo desta curva c1 e
0:05:36.540,0:05:38.020
termina neste ponto[br]bem aqui.
0:05:38.020,0:05:39.840
E então fazemos[br]o menos c2.
0:05:39.840,0:05:43.590
Menos c2 começa neste [br]ponto e vai e volta
0:05:43.590,0:05:45.810
para o ponto inicial; ele [br]completa uma volta.
0:05:45.810,0:05:48.270
Então esta é uma integral[br]de linha fechada.
0:05:48.270,0:05:51.970
Se combinamos isto,[br]poderíamos reescrever isto.
0:05:51.970,0:05:53.630
Lembre-se, isto é [br]apenas um loop.
0:05:53.630,0:05:56.845
Ao reverter isto, em vez de termos[br]dois elementos começando aqui e
0:05:56.845,0:05:58.910
indo para lá, eu posso [br]começar aqui, ir até
0:05:58.910,0:06:00.950
lá, e então voltar todo o[br]caminho para este
0:06:00.950,0:06:02.630
caminho inverso de c2.
0:06:02.630,0:06:06.880
Então, isto é equivalente à[br]uma integral de linha fechada.
0:06:06.880,0:06:12.150
Então, isto é o mesmo que uma integral [br]ao longo de um caminho fechado.
0:06:12.150,0:06:14.770
Nós poderíamos chamar isto de [br]caminho fechado, talvez,
0:06:14.770,0:06:17.630
c1 mais menos c2, se quiséssemos [br]nos referir particularmente
0:06:17.630,0:06:18.900
a este caminho fechado.
0:06:18.900,0:06:23.390
Mas isto poderia ser, eu desenhei c1[br]e c2 ou menos c2 arbitrariamente;
0:06:23.390,0:06:29.600
Este poderia ser qualquer caminho fechado [br]onde nosso campo vetorial f tem
0:06:29.600,0:06:33.000
um potencial, ou onde é o gradiente [br]de um campo escalar,
0:06:33.000,0:06:34.960
ou onde é conservativo.
0:06:34.960,0:06:38.620
E isto pode ser escrito como[br]um caminho fechado de c1 mais
0:06:38.620,0:06:45.930
o caminho inverso de c2 de f ponto dr.[br]Isto é apenas reescrever
0:06:45.930,0:06:49.040
o aquilo, e isto portanto[br]será igual a zero.
0:06:49.040,0:06:53.050
Esta é nossa deixa [br]para este vídeo.
0:06:53.050,0:06:56.110
Isto é, você pode ver isto[br]como um corolário.
0:06:56.110,0:07:01.650
É um tipo de conclusão simples que você [br]pode fazer a partir desta conclusão.
0:07:01.650,0:07:05.900
Agora nós sabes que se tivermos[br]um campo vetorial que
0:07:05.900,0:07:09.570
é o gradiente de um campo escalar[br]em alguma região, ou talvez por todo
0:07:09.570,0:07:13.440
o plano xy -- e isto é chamado de[br]potencial de f;
0:07:13.440,0:07:15.320
esta é uma função potencial.
0:07:15.320,0:07:18.030
Frequentemente será o negativo [br]disto, mas é mais fácil
0:07:18.030,0:07:21.550
errar com negativos -- porém, se temos[br]um campo vetorial que
0:07:21.550,0:07:24.650
é o gradiente de um campo[br]escalar, nós o chamamos de
0:07:24.650,0:07:26.100
campo vetorial conservativo.
0:07:26.100,0:07:29.880
Isto nos diz que para qualquer[br]ponto nesta região onde isto
0:07:29.880,0:07:33.860
é válido, a integral de linha de um[br]ponto para outro é
0:07:33.860,0:07:36.150
independente do caminho; isto é[br]o que nós obtemos
0:07:36.150,0:07:37.130
do último vídeo.
0:07:37.130,0:07:42.650
E por causa disto, uma integral de linha[br]circular fechada, ou uma
0:07:42.650,0:07:46.030
integral de linha fechada, se tomarmos[br]algum outro lugar, se tomarmos
0:07:46.030,0:07:52.915
qualquer outra integral de linha[br]ou tomamos a integral de linha do
0:07:52.915,0:07:57.490
campo vetorial em qualquer[br]loop fechado, ele se tornará zero pois
0:07:57.490,0:07:58.740
é independente do caminho.
0:07:58.740,0:08:02.240
Este é nosso gancho importante aqui,[br]que se você sabe que
0:08:02.240,0:08:05.370
ele é um campo conservativo, se você[br]vier a ver algo deste tipo:
0:08:05.370,0:08:10.580
se você vir este f ponto dr e alguém[br]pedi-lo para avaliar
0:08:10.580,0:08:13.840
isto, dado que f é conservativo, ou[br]dado que f
0:08:13.840,0:08:16.710
é o gradiente de uma [br]outra função, ou dado que f é
0:08:16.710,0:08:19.960
independente do caminho, você pode[br]imediatamente dizer que, isto será
0:08:19.960,0:08:23.578
igual a zero, o que simplifica[br]um pouco a matemática.
0:08:23.578,0:08:24.546
Legendado por: [José Irigon de Irigon][br]Revisado por: [Bernardo Blasi Villari]