1
00:00:00,450 --> 00:00:04,130
No video anterior vimos que se
um campo vetorial pode ser
2
00:00:04,130 --> 00:00:11,910
escrito como o gradiente de
um campo escalar
3
00:00:11,910 --> 00:00:17,080
outra forma de dizermos isto seria:
igual à parcial do nosso f maiúsculo
4
00:00:17,080 --> 00:00:23,060
com relação a x vezes i mais
a parcial de f maiúsculo,
5
00:00:23,060 --> 00:00:27,000
nosso campo escalar com
relação a y vezes j;
6
00:00:27,020 --> 00:00:30,820
-- Estou escrevendo de diversas formas
para você lembrar o que é gradiente --
7
00:00:30,820 --> 00:00:35,490
Nós vimos que se o nosso
campo vetorial é o gradiente
8
00:00:35,490 --> 00:00:38,780
de um campo escalar, então
o chamamos de conservativo.
9
00:00:38,780 --> 00:00:48,325
Isso nos mostra que f é
um campo vetorial conservativo.
10
00:00:50,800 --> 00:00:51,990
Isso nos mostra também
11
00:00:51,990 --> 00:00:54,930
-- e esta é a principal
sacada do último vídeo --
12
00:00:54,930 --> 00:01:02,200
que a integral de linha
de f entre dois pontos
13
00:01:02,200 --> 00:01:04,170
-- deixe-me desenhar dois pontos aqui --
14
00:01:04,170 --> 00:01:09,210
-- vou desenhar as coordenadas para
mostrar que estamos no plano xy.
15
00:01:09,210 --> 00:01:12,780
Os eixos x e y.
16
00:01:12,780 --> 00:01:16,820
Digamos que temos esse ponto
aqui e esse outro ponto
17
00:01:16,820 --> 00:01:19,680
e que eu tenho dois caminhos
diferentes entre esses pontos.
18
00:01:19,680 --> 00:01:24,190
Tenho o caminho um, que
é mais ou menos assim,
19
00:01:24,190 --> 00:01:29,815
e vou chamar ele de c1,
indo nesta direção.
20
00:01:30,270 --> 00:01:34,190
E agora eu tenho, em um
outro tom de verde,
21
00:01:34,190 --> 00:01:38,010
c2, que tem essa direção.
22
00:01:38,010 --> 00:01:41,010
Ambos começam aqui,
e vão para lá.
23
00:01:41,010 --> 00:01:43,740
Nós aprendemos no último
vídeo que a integral de linha
24
00:01:43,740 --> 00:01:48,330
é independente do trajeto
entre dois pontos.
25
00:01:48,330 --> 00:01:57,930
Nesse caso, a integral de linha
ao longo de c1 de f ponto dr
26
00:01:57,930 --> 00:02:05,210
será igual à integral de linha ao
longo de c2, ao longo do trajeto c2
27
00:02:05,210 --> 00:02:08,530
de f ponto dr.
28
00:02:08,530 --> 00:02:14,500
Se tivermos um potencial na região, ou
em todos pontos, a integral de linha
29
00:02:14,500 --> 00:02:17,590
entre dois pontos é
independente do trajeto.
30
00:02:17,590 --> 00:02:19,390
Isso é o bacana do
campo conservativo.
31
00:02:19,390 --> 00:02:21,190
O que eu quero fazer
nesse video é uma
32
00:02:21,190 --> 00:02:23,600
extensão do resultado
do último vídeo.
33
00:02:23,600 --> 00:02:25,930
De fato, se trata de uma
extensão bem importante,
34
00:02:25,930 --> 00:02:27,540
talvez já seja óbvio
para você.
35
00:02:27,540 --> 00:02:29,550
Eu já escrevi isso aqui,
vou só reorganizar
36
00:02:29,550 --> 00:02:31,410
essa equação um pouco.
37
00:02:31,410 --> 00:02:35,225
Deixe-me organizar isto um pouco melhor.
38
00:02:35,310 --> 00:02:36,976
Vou reescrever
isso em laranja.
39
00:02:36,976 --> 00:02:42,000
Então a integral de linha do
trajeto c1 ponto dr menos
40
00:02:42,000 --> 00:02:44,260
-- e eu vou subtrair isso
de ambos os lados --
41
00:02:44,260 --> 00:02:53,040
menos a integral de linha c2 de
f ponto dr será igual a zero.
42
00:02:53,040 --> 00:02:55,610
Tudo o que fiz foi pegar o
o resultado do último video
43
00:02:55,610 --> 00:02:58,430
e subtrair isso de ambos os lados.
44
00:02:58,430 --> 00:03:02,960
Agora, como vimos em um
dos vídeos anteriores,
45
00:03:02,960 --> 00:03:06,990
se estivermos lidando com a integral
de linha em um campo vetorial
46
00:03:06,990 --> 00:03:08,310
-- não um campo escalar --
47
00:03:08,310 --> 00:03:11,940
em um campo vetorial, a direção
do trajeto é relevante.
48
00:03:11,940 --> 00:03:21,240
Nós aprendemos que a integral
de linha sobre c2 de f ponto dr
49
00:03:21,300 --> 00:03:28,960
é igual ao negativo da integral de linha
de menos c2 de f ponto dr,
50
00:03:28,960 --> 00:03:33,440
onde denotamos que menos c2
é o mesmo trajeto que c2,
51
00:03:33,440 --> 00:03:35,740
mas na direção oposta.
52
00:03:35,740 --> 00:03:38,940
Por exemplo, menos c2
eu escreveria assim:
53
00:03:38,950 --> 00:03:41,150
-- deixe eu usar uma cor diferente --
54
00:03:41,160 --> 00:03:46,080
Digamos que isto seja menos c2,
que seria um trajeto como c2
55
00:03:46,080 --> 00:03:49,250
-- vou chamá-lo de menos c2 --
mas no lugar de ir naquela direção,
56
00:03:49,250 --> 00:03:51,380
agora eu vou nessa direção.
57
00:03:51,380 --> 00:03:52,980
Ignore as antigas flechas.
58
00:03:52,980 --> 00:03:56,030
Agora começamos de lá
e voltamos até aqui.
59
00:03:56,030 --> 00:03:58,100
Então, esse aqui é menos c2.
60
00:03:58,100 --> 00:04:01,150
Ou ainda, podemos colocar
o menos no outro lado
61
00:04:01,150 --> 00:04:02,770
e poderíamos dizer que
62
00:04:03,520 --> 00:04:10,510
o negativo da linha integral c2, ao longo
do trajeto de c2 de f ponto dr
63
00:04:10,850 --> 00:04:13,770
é igual à
64
00:04:13,770 --> 00:04:18,790
integral de linha do trajeto
inverso de f ponto dr.
65
00:04:18,790 --> 00:04:21,310
Tudo o que eu fiz foi trocar o
negativo do outro lado,
66
00:04:21,310 --> 00:04:23,370
multiplicando ambos
os lados por menos um.
67
00:04:23,370 --> 00:04:28,560
Então vamos substituir -- nesta equação
nós temos o caminho negativo de c2;
68
00:04:28,560 --> 00:04:31,480
nós o temos bem aqui; e também
o temos bem aqui;
69
00:04:31,480 --> 00:04:34,720
então, nós poderíamos substituir
isto por isto aqui.
70
00:04:34,720 --> 00:04:35,670
Deixe-me fazer isto.
71
00:04:35,670 --> 00:04:37,670
Então escreverei esta
primeira parte aqui.
72
00:04:37,670 --> 00:04:43,410
A integral ao longo da curva
c1 de f ponto dr, em vez de
73
00:04:43,410 --> 00:04:49,200
menos a integral de linha ao
longo de c2, eu direi mais a
74
00:04:49,200 --> 00:04:51,200
integral ao longo de
c2 negativo.
75
00:04:51,200 --> 00:04:55,940
Isto -- deixe-me mudar para verde --
isto nós estabelecemos como
76
00:04:55,940 --> 00:04:57,480
a mesma coisa que isto.
77
00:04:57,480 --> 00:05:00,720
O negativo desta curva, ou
a integral de linha ao longo
78
00:05:00,720 --> 00:05:04,950
deste caminho, é a mesma coisa que a
integral de linha, o positivo
79
00:05:04,950 --> 00:05:07,350
da integral de linha ao longo
do caminho inverso.
80
00:05:07,350 --> 00:05:13,610
Então diremos: mais a integral de
linha de menos c2
81
00:05:13,610 --> 00:05:19,270
de f ponto dr é igual a zero.
82
00:05:19,270 --> 00:05:20,670
Aqui há algo interessante.
83
00:05:20,670 --> 00:05:23,550
Vamos ver qual a combinação
do caminho de
84
00:05:23,550 --> 00:05:26,560
c1 e menos c2 é.
85
00:05:26,560 --> 00:05:28,370
c1 começa bem aqui.
86
00:05:28,370 --> 00:05:30,280
Deixe-me selecionar uma
cor mais vibrante.
87
00:05:30,280 --> 00:05:32,580
c1 começa aqui
neste ponto.
88
00:05:32,580 --> 00:05:36,540
Ele se move deste ponto
ao longo desta curva c1 e
89
00:05:36,540 --> 00:05:38,020
termina neste ponto
bem aqui.
90
00:05:38,020 --> 00:05:39,840
E então fazemos
o menos c2.
91
00:05:39,840 --> 00:05:43,590
Menos c2 começa neste
ponto e vai e volta
92
00:05:43,590 --> 00:05:45,810
para o ponto inicial; ele
completa uma volta.
93
00:05:45,810 --> 00:05:48,270
Então esta é uma integral
de linha fechada.
94
00:05:48,270 --> 00:05:51,970
Se combinamos isto,
poderíamos reescrever isto.
95
00:05:51,970 --> 00:05:53,630
Lembre-se, isto é
apenas um loop.
96
00:05:53,630 --> 00:05:56,845
Ao reverter isto, em vez de termos
dois elementos começando aqui e
97
00:05:56,845 --> 00:05:58,910
indo para lá, eu posso
começar aqui, ir até
98
00:05:58,910 --> 00:06:00,950
lá, e então voltar todo o
caminho para este
99
00:06:00,950 --> 00:06:02,630
caminho inverso de c2.
100
00:06:02,630 --> 00:06:06,880
Então, isto é equivalente à
uma integral de linha fechada.
101
00:06:06,880 --> 00:06:12,150
Então, isto é o mesmo que uma integral
ao longo de um caminho fechado.
102
00:06:12,150 --> 00:06:14,770
Nós poderíamos chamar isto de
caminho fechado, talvez,
103
00:06:14,770 --> 00:06:17,630
c1 mais menos c2, se quiséssemos
nos referir particularmente
104
00:06:17,630 --> 00:06:18,900
a este caminho fechado.
105
00:06:18,900 --> 00:06:23,390
Mas isto poderia ser, eu desenhei c1
e c2 ou menos c2 arbitrariamente;
106
00:06:23,390 --> 00:06:29,600
Este poderia ser qualquer caminho fechado
onde nosso campo vetorial f tem
107
00:06:29,600 --> 00:06:33,000
um potencial, ou onde é o gradiente
de um campo escalar,
108
00:06:33,000 --> 00:06:34,960
ou onde é conservativo.
109
00:06:34,960 --> 00:06:38,620
E isto pode ser escrito como
um caminho fechado de c1 mais
110
00:06:38,620 --> 00:06:45,930
o caminho inverso de c2 de f ponto dr.
Isto é apenas reescrever
111
00:06:45,930 --> 00:06:49,040
o aquilo, e isto portanto
será igual a zero.
112
00:06:49,040 --> 00:06:53,050
Esta é nossa deixa
para este vídeo.
113
00:06:53,050 --> 00:06:56,110
Isto é, você pode ver isto
como um corolário.
114
00:06:56,110 --> 00:07:01,650
É um tipo de conclusão simples que você
pode fazer a partir desta conclusão.
115
00:07:01,650 --> 00:07:05,900
Agora nós sabes que se tivermos
um campo vetorial que
116
00:07:05,900 --> 00:07:09,570
é o gradiente de um campo escalar
em alguma região, ou talvez por todo
117
00:07:09,570 --> 00:07:13,440
o plano xy -- e isto é chamado de
potencial de f;
118
00:07:13,440 --> 00:07:15,320
esta é uma função potencial.
119
00:07:15,320 --> 00:07:18,030
Frequentemente será o negativo
disto, mas é mais fácil
120
00:07:18,030 --> 00:07:21,550
errar com negativos -- porém, se temos
um campo vetorial que
121
00:07:21,550 --> 00:07:24,650
é o gradiente de um campo
escalar, nós o chamamos de
122
00:07:24,650 --> 00:07:26,100
campo vetorial conservativo.
123
00:07:26,100 --> 00:07:29,880
Isto nos diz que para qualquer
ponto nesta região onde isto
124
00:07:29,880 --> 00:07:33,860
é válido, a integral de linha de um
ponto para outro é
125
00:07:33,860 --> 00:07:36,150
independente do caminho; isto é
o que nós obtemos
126
00:07:36,150 --> 00:07:37,130
do último vídeo.
127
00:07:37,130 --> 00:07:42,650
E por causa disto, uma integral de linha
circular fechada, ou uma
128
00:07:42,650 --> 00:07:46,030
integral de linha fechada, se tomarmos
algum outro lugar, se tomarmos
129
00:07:46,030 --> 00:07:52,915
qualquer outra integral de linha
ou tomamos a integral de linha do
130
00:07:52,915 --> 00:07:57,490
campo vetorial em qualquer
loop fechado, ele se tornará zero pois
131
00:07:57,490 --> 00:07:58,740
é independente do caminho.
132
00:07:58,740 --> 00:08:02,240
Este é nosso gancho importante aqui,
que se você sabe que
133
00:08:02,240 --> 00:08:05,370
ele é um campo conservativo, se você
vier a ver algo deste tipo:
134
00:08:05,370 --> 00:08:10,580
se você vir este f ponto dr e alguém
pedi-lo para avaliar
135
00:08:10,580 --> 00:08:13,840
isto, dado que f é conservativo, ou
dado que f
136
00:08:13,840 --> 00:08:16,710
é o gradiente de uma
outra função, ou dado que f é
137
00:08:16,710 --> 00:08:19,960
independente do caminho, você pode
imediatamente dizer que, isto será
138
00:08:19,960 --> 00:08:23,578
igual a zero, o que simplifica
um pouco a matemática.
139
00:08:23,578 --> 00:08:24,546
Legendado por: [José Irigon de Irigon]
Revisado por: [Bernardo Blasi Villari]