WEBVTT
00:00:00.450 --> 00:00:04.130
No video anterior vimos que se
um campo vetorial pode ser
00:00:04.130 --> 00:00:11.910
escrito como o gradiente de
um campo escalar
00:00:11.910 --> 00:00:17.080
outra forma de dizermos isto seria:
igual à parcial do nosso f maiúsculo
00:00:17.080 --> 00:00:23.060
com relação a x vezes i mais
a parcial de f maiúsculo,
00:00:23.060 --> 00:00:27.000
nosso campo escalar com
relação a y vezes j;
00:00:27.020 --> 00:00:30.820
-- Estou escrevendo de diversas formas
para você lembrar o que é gradiente --
00:00:30.820 --> 00:00:35.490
Nós vimos que se o nosso
campo vetorial é o gradiente
00:00:35.490 --> 00:00:38.780
de um campo escalar, então
o chamamos de conservativo.
00:00:38.780 --> 00:00:48.325
Isso nos mostra que f é
um campo vetorial conservativo.
00:00:50.800 --> 00:00:51.990
Isso nos mostra também
00:00:51.990 --> 00:00:54.930
-- e esta é a principal
sacada do último vídeo --
00:00:54.930 --> 00:01:02.200
que a integral de linha
de f entre dois pontos
00:01:02.200 --> 00:01:04.170
-- deixe-me desenhar dois pontos aqui --
00:01:04.170 --> 00:01:09.210
-- vou desenhar as coordenadas para
mostrar que estamos no plano xy.
00:01:09.210 --> 00:01:12.780
Os eixos x e y.
00:01:12.780 --> 00:01:16.820
Digamos que temos esse ponto
aqui e esse outro ponto
00:01:16.820 --> 00:01:19.680
e que eu tenho dois caminhos
diferentes entre esses pontos.
00:01:19.680 --> 00:01:24.190
Tenho o caminho um, que
é mais ou menos assim,
00:01:24.190 --> 00:01:29.815
e vou chamar ele de c1,
indo nesta direção.
00:01:30.270 --> 00:01:34.190
E agora eu tenho, em um
outro tom de verde,
00:01:34.190 --> 00:01:38.010
c2, que tem essa direção.
00:01:38.010 --> 00:01:41.010
Ambos começam aqui,
e vão para lá.
00:01:41.010 --> 00:01:43.740
Nós aprendemos no último
vídeo que a integral de linha
00:01:43.740 --> 00:01:48.330
é independente do trajeto
entre dois pontos.
00:01:48.330 --> 00:01:57.930
Nesse caso, a integral de linha
ao longo de c1 de f ponto dr
00:01:57.930 --> 00:02:05.210
será igual à integral de linha ao
longo de c2, ao longo do trajeto c2
00:02:05.210 --> 00:02:08.530
de f ponto dr.
00:02:08.530 --> 00:02:14.500
Se tivermos um potencial na região, ou
em todos pontos, a integral de linha
00:02:14.500 --> 00:02:17.590
entre dois pontos é
independente do trajeto.
00:02:17.590 --> 00:02:19.390
Isso é o bacana do
campo conservativo.
00:02:19.390 --> 00:02:21.190
O que eu quero fazer
nesse video é uma
00:02:21.190 --> 00:02:23.600
extensão do resultado
do último vídeo.
00:02:23.600 --> 00:02:25.930
De fato, se trata de uma
extensão bem importante,
00:02:25.930 --> 00:02:27.540
talvez já seja óbvio
para você.
00:02:27.540 --> 00:02:29.550
Eu já escrevi isso aqui,
vou só reorganizar
00:02:29.550 --> 00:02:31.410
essa equação um pouco.
00:02:31.410 --> 00:02:35.225
Deixe-me organizar isto um pouco melhor.
00:02:35.310 --> 00:02:36.976
Vou reescrever
isso em laranja.
00:02:36.976 --> 00:02:42.000
Então a integral de linha do
trajeto c1 ponto dr menos
00:02:42.000 --> 00:02:44.260
-- e eu vou subtrair isso
de ambos os lados --
00:02:44.260 --> 00:02:53.040
menos a integral de linha c2 de
f ponto dr será igual a zero.
00:02:53.040 --> 00:02:55.610
Tudo o que fiz foi pegar o
o resultado do último video
00:02:55.610 --> 00:02:58.430
e subtrair isso de ambos os lados.
00:02:58.430 --> 00:03:02.960
Agora, como vimos em um
dos vídeos anteriores,
00:03:02.960 --> 00:03:06.990
se estivermos lidando com a integral
de linha em um campo vetorial
00:03:06.990 --> 00:03:08.310
-- não um campo escalar --
00:03:08.310 --> 00:03:11.940
em um campo vetorial, a direção
do trajeto é relevante.
00:03:11.940 --> 00:03:21.240
Nós aprendemos que a integral
de linha sobre c2 de f ponto dr
00:03:21.300 --> 00:03:28.960
é igual ao negativo da integral de linha
de menos c2 de f ponto dr,
00:03:28.960 --> 00:03:33.440
onde denotamos que menos c2
é o mesmo trajeto que c2,
00:03:33.440 --> 00:03:35.740
mas na direção oposta.
00:03:35.740 --> 00:03:38.940
Por exemplo, menos c2
eu escreveria assim:
00:03:38.950 --> 00:03:41.150
-- deixe eu usar uma cor diferente --
00:03:41.160 --> 00:03:46.080
Digamos que isto seja menos c2,
que seria um trajeto como c2
00:03:46.080 --> 00:03:49.250
-- vou chamá-lo de menos c2 --
mas no lugar de ir naquela direção,
00:03:49.250 --> 00:03:51.380
agora eu vou nessa direção.
00:03:51.380 --> 00:03:52.980
Ignore as antigas flechas.
00:03:52.980 --> 00:03:56.030
Agora começamos de lá
e voltamos até aqui.
00:03:56.030 --> 00:03:58.100
Então, esse aqui é menos c2.
00:03:58.100 --> 00:04:01.150
Ou ainda, podemos colocar
o menos no outro lado
00:04:01.150 --> 00:04:02.770
e poderíamos dizer que
00:04:03.520 --> 00:04:10.510
o negativo da linha integral c2, ao longo
do trajeto de c2 de f ponto dr
00:04:10.850 --> 00:04:13.770
é igual à
00:04:13.770 --> 00:04:18.790
integral de linha do trajeto
inverso de f ponto dr.
00:04:18.790 --> 00:04:21.310
Tudo o que eu fiz foi trocar o
negativo do outro lado,
00:04:21.310 --> 00:04:23.370
multiplicando ambos
os lados por menos um.
00:04:23.370 --> 00:04:28.560
Então vamos substituir -- nesta equação
nós temos o caminho negativo de c2;
00:04:28.560 --> 00:04:31.480
nós o temos bem aqui; e também
o temos bem aqui;
00:04:31.480 --> 00:04:34.720
então, nós poderíamos substituir
isto por isto aqui.
00:04:34.720 --> 00:04:35.670
Deixe-me fazer isto.
00:04:35.670 --> 00:04:37.670
Então escreverei esta
primeira parte aqui.
00:04:37.670 --> 00:04:43.410
A integral ao longo da curva
c1 de f ponto dr, em vez de
00:04:43.410 --> 00:04:49.200
menos a integral de linha ao
longo de c2, eu direi mais a
00:04:49.200 --> 00:04:51.200
integral ao longo de
c2 negativo.
00:04:51.200 --> 00:04:55.940
Isto -- deixe-me mudar para verde --
isto nós estabelecemos como
00:04:55.940 --> 00:04:57.480
a mesma coisa que isto.
00:04:57.480 --> 00:05:00.720
O negativo desta curva, ou
a integral de linha ao longo
00:05:00.720 --> 00:05:04.950
deste caminho, é a mesma coisa que a
integral de linha, o positivo
00:05:04.950 --> 00:05:07.350
da integral de linha ao longo
do caminho inverso.
00:05:07.350 --> 00:05:13.610
Então diremos: mais a integral de
linha de menos c2
00:05:13.610 --> 00:05:19.270
de f ponto dr é igual a zero.
00:05:19.270 --> 00:05:20.670
Aqui há algo interessante.
00:05:20.670 --> 00:05:23.550
Vamos ver qual a combinação
do caminho de
00:05:23.550 --> 00:05:26.560
c1 e menos c2 é.
00:05:26.560 --> 00:05:28.370
c1 começa bem aqui.
00:05:28.370 --> 00:05:30.280
Deixe-me selecionar uma
cor mais vibrante.
00:05:30.280 --> 00:05:32.580
c1 começa aqui
neste ponto.
00:05:32.580 --> 00:05:36.540
Ele se move deste ponto
ao longo desta curva c1 e
00:05:36.540 --> 00:05:38.020
termina neste ponto
bem aqui.
00:05:38.020 --> 00:05:39.840
E então fazemos
o menos c2.
00:05:39.840 --> 00:05:43.590
Menos c2 começa neste
ponto e vai e volta
00:05:43.590 --> 00:05:45.810
para o ponto inicial; ele
completa uma volta.
00:05:45.810 --> 00:05:48.270
Então esta é uma integral
de linha fechada.
00:05:48.270 --> 00:05:51.970
Se combinamos isto,
poderíamos reescrever isto.
00:05:51.970 --> 00:05:53.630
Lembre-se, isto é
apenas um loop.
00:05:53.630 --> 00:05:56.845
Ao reverter isto, em vez de termos
dois elementos começando aqui e
00:05:56.845 --> 00:05:58.910
indo para lá, eu posso
começar aqui, ir até
00:05:58.910 --> 00:06:00.950
lá, e então voltar todo o
caminho para este
00:06:00.950 --> 00:06:02.630
caminho inverso de c2.
00:06:02.630 --> 00:06:06.880
Então, isto é equivalente à
uma integral de linha fechada.
00:06:06.880 --> 00:06:12.150
Então, isto é o mesmo que uma integral
ao longo de um caminho fechado.
00:06:12.150 --> 00:06:14.770
Nós poderíamos chamar isto de
caminho fechado, talvez,
00:06:14.770 --> 00:06:17.630
c1 mais menos c2, se quiséssemos
nos referir particularmente
00:06:17.630 --> 00:06:18.900
a este caminho fechado.
00:06:18.900 --> 00:06:23.390
Mas isto poderia ser, eu desenhei c1
e c2 ou menos c2 arbitrariamente;
00:06:23.390 --> 00:06:29.600
Este poderia ser qualquer caminho fechado
onde nosso campo vetorial f tem
00:06:29.600 --> 00:06:33.000
um potencial, ou onde é o gradiente
de um campo escalar,
00:06:33.000 --> 00:06:34.960
ou onde é conservativo.
00:06:34.960 --> 00:06:38.620
E isto pode ser escrito como
um caminho fechado de c1 mais
00:06:38.620 --> 00:06:45.930
o caminho inverso de c2 de f ponto dr.
Isto é apenas reescrever
00:06:45.930 --> 00:06:49.040
o aquilo, e isto portanto
será igual a zero.
00:06:49.040 --> 00:06:53.050
Esta é nossa deixa
para este vídeo.
00:06:53.050 --> 00:06:56.110
Isto é, você pode ver isto
como um corolário.
00:06:56.110 --> 00:07:01.650
É um tipo de conclusão simples que você
pode fazer a partir desta conclusão.
00:07:01.650 --> 00:07:05.900
Agora nós sabes que se tivermos
um campo vetorial que
00:07:05.900 --> 00:07:09.570
é o gradiente de um campo escalar
em alguma região, ou talvez por todo
00:07:09.570 --> 00:07:13.440
o plano xy -- e isto é chamado de
potencial de f;
00:07:13.440 --> 00:07:15.320
esta é uma função potencial.
00:07:15.320 --> 00:07:18.030
Frequentemente será o negativo
disto, mas é mais fácil
00:07:18.030 --> 00:07:21.550
errar com negativos -- porém, se temos
um campo vetorial que
00:07:21.550 --> 00:07:24.650
é o gradiente de um campo
escalar, nós o chamamos de
00:07:24.650 --> 00:07:26.100
campo vetorial conservativo.
00:07:26.100 --> 00:07:29.880
Isto nos diz que para qualquer
ponto nesta região onde isto
00:07:29.880 --> 00:07:33.860
é válido, a integral de linha de um
ponto para outro é
00:07:33.860 --> 00:07:36.150
independente do caminho; isto é
o que nós obtemos
00:07:36.150 --> 00:07:37.130
do último vídeo.
00:07:37.130 --> 00:07:42.650
E por causa disto, uma integral de linha
circular fechada, ou uma
00:07:42.650 --> 00:07:46.030
integral de linha fechada, se tomarmos
algum outro lugar, se tomarmos
00:07:46.030 --> 00:07:52.915
qualquer outra integral de linha
ou tomamos a integral de linha do
00:07:52.915 --> 00:07:57.490
campo vetorial em qualquer
loop fechado, ele se tornará zero pois
00:07:57.490 --> 00:07:58.740
é independente do caminho.
00:07:58.740 --> 00:08:02.240
Este é nosso gancho importante aqui,
que se você sabe que
00:08:02.240 --> 00:08:05.370
ele é um campo conservativo, se você
vier a ver algo deste tipo:
00:08:05.370 --> 00:08:10.580
se você vir este f ponto dr e alguém
pedi-lo para avaliar
00:08:10.580 --> 00:08:13.840
isto, dado que f é conservativo, ou
dado que f
00:08:13.840 --> 00:08:16.710
é o gradiente de uma
outra função, ou dado que f é
00:08:16.710 --> 00:08:19.960
independente do caminho, você pode
imediatamente dizer que, isto será
00:08:19.960 --> 00:08:23.578
igual a zero, o que simplifica
um pouco a matemática.
00:08:23.578 --> 00:08:24.546
Legendado por: [José Irigon de Irigon]
Revisado por: [Bernardo Blasi Villari]