В това видео искам да намеря площта на тази област,
която оцветявам в жълто.
Това изглежда доста трудно, защото в тази област
изглежда долната функция е една и съща –
долната граница е y = x^2/4 –1,
но имаме различна горна граница.
Начинът, по който можем да се справим с това,
е като разделим областта на две секции,
или да я разделим на две подобласти, областта отляво,
и областта отдясно,
където тази първа област, която аз
ще оцветя даже още повече в жълто – тази първа област
ето тук в целият този интервал за х.
Изглежда така, сякаш х е между 0 и 1.
у е равно... когато х = 1, тази функция е равна на 1.
Когато х = 1, тази функция също е равна на 1.
Значи това е точката (1; 1).
Тук се пресичат.
За тази област, тази подобласт ето тук,
у равно на корен квадратен от х е горната граница през цялото време.
И после имаме... можем да направим
можем отделно да разгледаме
площта на тази област.
От х = 1 до х = 2,
където у = 2 – х е горната функция.
Да го направим.
Първо да разгледаме тази област
Това е определен интеграл
от х = 0 до х = 1.
Горната ни функция е квадратен корен от х.
От това ще извадим долната функция –
квадратен корен от х минус (х^2/4 – 1).
И накрая имаме dх.
Това описва тази жълта област.
Вероятно се досещаш, че в тази част ето тук,
разликата между тези две функции
е всъщност тази височина.
Ще го оцветя с друг цвят.
И после умножаваме по dх.
Имаме малък правоъгълник с широчина dх.
И правим това за всяко х.
Всяко х е различен правоъгълник.
И после ги сумираме.
И взимаме границата, когато промяната на х клони към 0.
Това са супер, супер тънки правоъгълници,
безкрайно много такива.
Това е нашето определение или Римановото определение
какво представлява определен интеграл.
Значи това е областта отляво.
По същата логика можем да намерим площта на тази част.
Областта отдясно – и после просто събираме двете.
Дясната област е от х = 0 до...
извинявам се, от х = 1 до х = 2.
Горната функция е 2 – х.
От нея вадим долната функция,
х^2/4 – 1.
И сега просто трябва да ги сметнем.
Да опростим това тук.
Това е равно на определен интеграл
от 0 до 1 от квадратен корен от х минус х^2/4 – 1, dх.
Ще запиша всичко с един цвят.
Плюс определен интеграл от 1 до 2 от 2 минус х,
минус х^2/4.
Изваждаме отрицателно, значи става положително 3, т.е. +1.
Можем да го прибавим към това 2.
И това 2 става 3.
Казах, че 2 минус –1 е 3, dх.
И сега трябва само да намерим примитивната функция
и да я сметнем от 1 до 0.
Примитивната функция от това...
това е х на степен 1/2.
Увеличаваме го с 1.
Увеличаваме степенния показател с 1, става х на степен 3/2.
Това умножаваме по реципрочната стойност
на новия степенен показател – значи 2/3х^(3/2).
Минус... примитивната функция на х^2/4
е х^3 върху 3, делено на 4, значи делено на 12,
плюс х.
Това е примитивната функция на 1.
Ще сметнем за 1 и 0.
После тук примитивната функция
ще бъде 3х – х^2/2 – х^3/12.
Още веднъж го изчисляваме... всъщност не отново.
Сега ще го изчислим за 2 и за 1.
Тук ще сметнем това за х= 1.
Става 2/3 минус 1/12 плюс 1.
После от това вадим това, сметнато за 0.
Но това е просто нула, така че не получаваме нищо.
Ето до това се опростява жълтия израз.
Сега виолетовият израз или този в цикламено,
или пепел от рози, както искаш наречи цвета, смятам го първо за 2.
Получаваме 6 минус... да видим, 2^2/2 е 2, минус 8/12.
И от това ще извадим този израз, сметнат за х = 1.
Става 3 по 1, това е 3, минус 1/2, минус 1/12.
И накрая ни остава да съберем тези дроби.
Да видим как ще стане.
12 изглежда най-очевидният общ знаменател.
Тук става 8/12 – 1/12 + 12/12.
Това се опростява до колко?
Това са 19/12, частта в жълто.
Сега да сметна това с подходящия цвят.
Значи 6 минус 2, което е 4.
Можем да го представим като 48/12, което е 4, минус 8/12.
И сега трябва да извадим 3, което е 36/12.
Това събираме с 1/2, което е 6/12.
И после прибавяме 1/12.
Всичко това се опростява до... да видим, 48 –8 е 40,
минус 36 е 4, плюс 6 е 10, плюс 1 е 11.
Значи това става 11/12.
Да видим дали го направих правилно.
48 минус 8 е 40, минус 36 е 4, 10,11.
Изглежда правилно.
И сега да съберем тези двете.
19 плюс 11 е 30/12.
Ако искаме малко да опростим,
можем да разделим числителя и знаменателя на 6.
Това е равно на 5/2, или 2 и 1/2.
И сме готови.
Намерихме площта на цялата тази област.
И тя е 2 и 1/2.