В това видео искам да намеря
площта на тази област,
която оцветявам в жълто.
Това изглежда доста трудно,
защото в тази област
изглежда долната функция
е една и съща –
долната граница е
y = x^2/4 –1,
но имаме различна горна граница.
Начинът, по който можем
да се справим с това,
е като разделим областта
на две части,
или да я разделим на две
подобласти, областта отляво,
и областта отдясно,
където тази първа област,
която аз
ще оцветя даже още повече в жълто –
тази първа област
ето тук в целият този
интервал за х.
Изглежда така, сякаш х е
между 0 и 1.
у е равно... когато х = 1,
тази функция е равна на 1.
Когато х = 1, тази функция
също е равна на 1.
Значи това е точката (1; 1).
Тук се пресичат.
За тази област, тази
подобласт ето тук,
у равно на корен квадратен от х
е горната граница през цялото време.
И после имаме...
можем да направим
можем отделно да разгледаме
площта на тази област.
От х = 1 до х = 2,
където у = 2 – х е горната функция.
Да го направим.
Първо да разгледаме тази област
Това е определен интеграл
от х = 0 до х = 1.
Горната ни функция е квадратен
корен от х.
От това ще извадим
долната функция –
квадратен корен от х
минус (х^2/4 – 1).
И накрая имаме dх.
Това описва тази жълта област.
Вероятно се досещаш, че
в тази част ето тук,
разликата между тези
две функции
е всъщност тази височина.
Ще го оцветя с друг цвят.
И после умножаваме по dх.
Имаме малък правоъгълник
с широчина dх.
И правим това за всяко х.
Всяко х е различен
правоъгълник.
И после ги сумираме.
И взимаме границата, когато
промяната на х клони към 0.
Това са супер, супер тънки
правоъгълници,
безкрайно много такива.
Това е нашето определение
или Римановото определение
какво представлява
определен интеграл.
Значи това е областта отляво.
По същата логика можем
да намерим площта на тази част.
Областта отдясно –
и после просто събираме двете.
Дясната област е
от х = 0 до...
извинявам се, от х = 1 до х = 2.
Горната функция е 2 – х.
От нея вадим долната функция,
х^2/4 – 1.
И сега просто трябва
да ги сметнем.
Да опростим това тук.
Това е равно на определен интеграл
от 0 до 1 от квадратен корен от х
минус х^2/4 – 1, dх.
Ще запиша всичко с един цвят.
Плюс определен интеграл
от 1 до 2 от 2 минус х,
минус х^2/4.
Изваждаме отрицателно, значи
става положително 3, т.е. +1.
Можем да го прибавим към това 2.
И това 2 става 3.
Казах, че 2 минус –1 е 3, dх.
И сега трябва само да намерим
примитивната функция
и да я сметнем от 1 до 0.
Примитивната функция от това...
това е х на степен 1/2.
Увеличаваме го с 1.
Увеличаваме степенния показател
с 1, става х на степен 3/2.
Това умножаваме по
реципрочната стойност
на новия степенен показател –
значи 2/3х^(3/2).
Минус... примитивната функция
на х^2/4
е х^3 върху 3, делено на 4,
значи делено на 12,
плюс х.
Това е примитивната
функция на първия интеграл.
Ще сметнем за 1 и 0.
После за втория интеграл
примитивната функция
ще бъде 3х – х^2/2 – х^3/12.
Още веднъж го изчисляваме...
всъщност не отново.
Сега ще го изчислим
за 2 и за 1.
Тук ще сметнем
това за х= 1.
Става 2/3 минус 1/12 плюс 1.
После от това вадим
това, сметнато за 0.
Но това е просто нула,
така че не получаваме нищо.
Ето до това се опростява
жълтия израз.
Сега виолетовият израз
или този в цикламено,
или пепел от рози, както искаш
наречи цвета, смятам го първо за 2.
Получаваме 6 минус... да видим,
2^2/2 е 2, минус 8/12.
И от това ще извадим
този израз, сметнат за х = 1.
Става 3 по 1, това е 3,
минус 1/2, минус 1/12.
И накрая ни остава да съберем
тези дроби.
Да видим как ще стане.
12 изглежда най-очевидният
общ знаменател.
Тук става 8/12 – 1/12 + 12/12.
Това се опростява до колко?
Това са 19/12, частта в жълто.
Сега да сметна това с
подходящия цвят.
Значи 6 минус 2, което е 4.
Можем да го представим
като 48/12, което е 4, минус 8/12.
И сега трябва да извадим 3,
което е 36/12.
Това събираме с 1/2,
което е 6/12.
И после прибавяме 1/12.
Всичко това се опростява до...
да видим, 48 –8 е 40,
минус 36 е 4, плюс 6 е 10,
плюс 1 е 11.
Значи това става 11/12.
Да видим дали
го направих правилно.
48 минус 8 е 40,
минус 36 е 4, 10,11.
Изглежда правилно.
И сега да съберем тези двете.
19 плюс 11 е 30/12.
Ако искаме малко да опростим,
можем да разделим числителя
и знаменателя на 6.
Това е равно на 5/2, или 2 и 1/2.
И сме готови.
Намерихме площта
на цялата тази област.
И тя е 2 и 1/2.