0:00:00.000,0:00:00.520


0:00:00.520,0:00:04.050
В това видео искам да намеря[br]площта на тази област,

0:00:04.050,0:00:07.200
която оцветявам в жълто.

0:00:07.200,0:00:11.140
Това изглежда доста трудно,[br]защото в тази област

0:00:11.140,0:00:12.810
изглежда долната функция[br]е една и съща –

0:00:12.810,0:00:16.900
долната граница е [br]y = x^2/4 –1,

0:00:16.900,0:00:19.240
но имаме различна горна граница.

0:00:19.242,0:00:20.700
Начинът, по който можем[br]да се справим с това,

0:00:20.700,0:00:23.290
е като разделим областта[br]на две части,

0:00:23.290,0:00:26.640
или да я разделим на две [br]подобласти, областта отляво,

0:00:26.640,0:00:28.250
и областта отдясно,

0:00:28.250,0:00:30.730
където тази първа област,[br]която аз

0:00:30.730,0:00:34.310
ще оцветя даже още повече в жълто –[br]тази първа област

0:00:34.310,0:00:35.950
ето тук в целият този[br]интервал за х.

0:00:35.950,0:00:40.360
Изглежда така, сякаш х е[br]между 0 и 1.

0:00:40.360,0:00:44.280
у е равно... когато х = 1,[br]тази функция е равна на 1.

0:00:44.280,0:00:47.220
Когато х = 1, тази функция[br]също е равна на 1.

0:00:47.220,0:00:48.810
Значи това е точката (1; 1).

0:00:48.810,0:00:50.320
Тук се пресичат.

0:00:50.320,0:00:53.250
За тази област, тази [br]подобласт ето тук,

0:00:53.250,0:00:57.420
у равно на корен квадратен от х[br]е горната граница през цялото време.

0:00:57.420,0:00:59.230
И после имаме...[br]можем да направим

0:00:59.230,0:01:02.860
можем отделно да разгледаме

0:01:02.860,0:01:04.920
площта на тази област.

0:01:04.920,0:01:07.960
От х = 1 до х = 2,

0:01:07.960,0:01:10.890
където у = 2 – х е горната функция.

0:01:10.890,0:01:12.450
Да го направим.

0:01:12.450,0:01:14.710
Първо да разгледаме тази област

0:01:14.710,0:01:17.050
Това е определен интеграл

0:01:17.050,0:01:19.640
от х = 0 до х = 1.

0:01:19.640,0:01:25.120
Горната ни функция е квадратен[br]корен от х.

0:01:25.120,0:01:28.390
От това ще извадим[br]долната функция –

0:01:28.390,0:01:38.860
квадратен корен от х[br]минус (х^2/4 – 1).

0:01:39.200,0:01:42.400
И накрая имаме dх.

0:01:42.400,0:01:46.350
Това описва тази жълта област.

0:01:46.350,0:01:49.730
Вероятно се досещаш, че[br]в тази част ето тук,

0:01:49.730,0:01:51.660
разликата между тези[br]две функции

0:01:51.660,0:01:53.164
е всъщност тази височина.

0:01:53.164,0:01:57.740
Ще го оцветя с друг цвят.

0:01:57.820,0:01:59.680
И после умножаваме по dх.

0:01:59.680,0:02:03.390
Имаме малък правоъгълник[br]с широчина dх.

0:02:03.390,0:02:06.600
И правим това за всяко х.

0:02:06.600,0:02:08.860
Всяко х е различен [br]правоъгълник.

0:02:08.860,0:02:10.650
И после ги сумираме.

0:02:10.650,0:02:14.570
И взимаме границата, когато[br]промяната на х клони към 0.

0:02:14.570,0:02:16.664
Това са супер, супер тънки[br]правоъгълници,

0:02:16.664,0:02:18.330
безкрайно много такива.

0:02:18.330,0:02:21.060
Това е нашето определение[br]или Римановото определение

0:02:21.060,0:02:22.820
какво представлява[br]определен интеграл.

0:02:22.820,0:02:25.370
Значи това е областта отляво.

0:02:25.370,0:02:28.900
По същата логика можем[br]да намерим площта на тази част.

0:02:28.980,0:02:31.980
Областта отдясно –[br]и после просто събираме двете.

0:02:32.120,0:02:34.200
Дясната област е [br]от х = 0 до...

0:02:34.210,0:02:38.530
извинявам се, от х = 1 до х = 2.

0:02:38.530,0:02:42.130
Горната функция е 2 – х.

0:02:42.130,0:02:47.220
От нея вадим долната функция,

0:02:47.220,0:02:53.020
х^2/4 – 1.

0:02:53.780,0:02:56.060
И сега просто трябва[br]да ги сметнем.

0:02:56.060,0:02:58.800
Да опростим това тук.

0:02:58.800,0:03:02.100
Това е равно на определен интеграл

0:03:02.100,0:03:09.960
от 0 до 1 от квадратен корен от х[br]минус х^2/4 – 1, dх.

0:03:09.960,0:03:12.020
Ще запиша всичко с един цвят.

0:03:12.020,0:03:18.710
Плюс определен интеграл[br]от 1 до 2 от 2 минус х,

0:03:18.710,0:03:21.330
минус х^2/4.

0:03:21.330,0:03:25.330
Изваждаме отрицателно, значи[br]става положително 3, т.е. +1.

0:03:25.330,0:03:26.650
Можем да го прибавим към това 2.

0:03:26.650,0:03:29.330
И това 2 става 3.

0:03:29.330,0:03:34.747
Казах, че 2 минус –1 е 3, dх.

0:03:34.747,0:03:36.705
И сега трябва само да намерим[br]примитивната функция

0:03:36.705,0:03:39.310
и да я сметнем от 1 до 0.

0:03:39.310,0:03:42.130
Примитивната функция от това...

0:03:42.130,0:03:43.480
това е х на степен 1/2.

0:03:43.480,0:03:44.730
Увеличаваме го с 1.

0:03:44.730,0:03:47.500
Увеличаваме степенния показател[br]с 1, става х на степен 3/2.

0:03:47.500,0:03:49.200
Това умножаваме по[br]реципрочната стойност

0:03:49.200,0:03:53.650
на новия степенен показател –[br]значи 2/3х^(3/2).

0:03:53.650,0:03:56.410
Минус... примитивната функция[br]на х^2/4

0:03:56.410,0:04:02.160
е х^3 върху 3, делено на 4,[br]значи делено на 12,

0:04:02.160,0:04:03.660
плюс х.

0:04:03.660,0:04:05.510
Това е примитивната[br]функция на първия интеграл.

0:04:05.510,0:04:09.590
Ще сметнем за 1 и 0.

0:04:09.590,0:04:11.640
После за втория интеграл[br]примитивната функция

0:04:11.640,0:04:21.920
ще бъде 3х – х^2/2 – х^3/12.

0:04:22.020,0:04:24.440
Още веднъж го изчисляваме...[br]всъщност не отново.

0:04:24.450,0:04:28.460
Сега ще го изчислим[br]за 2 и за 1.

0:04:28.460,0:04:30.610
Тук ще сметнем[br]това за х= 1.

0:04:30.610,0:04:35.690
Става 2/3 минус 1/12 плюс 1.

0:04:35.690,0:04:38.410
После от това вадим[br]това, сметнато за 0.

0:04:38.410,0:04:41.010
Но това е просто нула, [br]така че не получаваме нищо.

0:04:41.010,0:04:44.260
Ето до това се опростява[br]жълтия израз.

0:04:44.260,0:04:46.740
Сега виолетовият израз[br]или този в цикламено,

0:04:46.740,0:04:51.070
или пепел от рози, както искаш[br]наречи цвета, смятам го първо за 2.

0:04:51.070,0:05:01.380
Получаваме 6 минус... да видим,[br]2^2/2 е 2, минус 8/12.

0:05:01.520,0:05:05.280
И от това ще извадим[br]този израз, сметнат за х = 1.

0:05:05.460,0:05:14.540
Става 3 по 1, това е 3,[br]минус 1/2, минус 1/12.

0:05:14.600,0:05:17.780
И накрая ни остава да съберем[br]тези дроби.

0:05:17.880,0:05:19.180
Да видим как ще стане.

0:05:19.180,0:05:22.140
12 изглежда най-очевидният[br]общ знаменател.

0:05:22.300,0:05:29.430
Тук става 8/12 – 1/12 + 12/12.

0:05:29.430,0:05:31.310
Това се опростява до колко?

0:05:31.310,0:05:36.440
Това са 19/12, частта в жълто.

0:05:36.440,0:05:40.190
Сега да сметна това с[br]подходящия цвят.

0:05:40.190,0:05:43.280
Значи 6 минус 2, което е 4.

0:05:43.280,0:05:51.100
Можем да го представим[br]като 48/12, което е 4, минус 8/12.

0:05:51.100,0:05:56.940
И сега трябва да извадим 3,[br]което е 36/12.

0:05:57.160,0:06:02.400
Това събираме с 1/2,[br]което е 6/12.

0:06:02.410,0:06:06.030
И после прибавяме 1/12.

0:06:06.030,0:06:10.730
Всичко това се опростява до...[br]да видим, 48 –8 е 40,

0:06:10.730,0:06:18.410
минус 36 е 4, плюс 6 е 10,[br]плюс 1 е 11.

0:06:18.410,0:06:21.614
Значи това става 11/12.

0:06:21.614,0:06:23.030
Да видим дали[br]го направих правилно.

0:06:23.030,0:06:28.830
48 минус 8 е 40, [br]минус 36 е 4, 10,11.

0:06:28.830,0:06:30.040
Изглежда правилно.

0:06:30.040,0:06:31.955
И сега да съберем тези двете.

0:06:31.955,0:06:36.010
19 плюс 11 е 30/12.

0:06:36.010,0:06:38.290
Ако искаме малко да опростим,

0:06:38.290,0:06:40.990
можем да разделим числителя[br]и знаменателя на 6.

0:06:40.990,0:06:44.960
Това е равно на 5/2, или 2 и 1/2.

0:06:44.960,0:06:45.630
И сме готови.

0:06:45.630,0:06:50.560
Намерихме площта[br]на цялата тази област.

0:06:50.560,0:06:53.255
И тя е 2 и 1/2.

0:06:53.255,0:06:53.755