1
00:00:00,000 --> 00:00:00,520
 

2
00:00:00,520 --> 00:00:04,050
В това видео искам да намеря
площта на тази област,

3
00:00:04,050 --> 00:00:07,200
която оцветявам в жълто.

4
00:00:07,200 --> 00:00:11,140
Това изглежда доста трудно,
защото в тази област

5
00:00:11,140 --> 00:00:12,810
изглежда долната функция
е една и съща –

6
00:00:12,810 --> 00:00:16,900
долната граница е 
y = x^2/4 –1,

7
00:00:16,900 --> 00:00:19,240
но имаме различна горна граница.

8
00:00:19,242 --> 00:00:20,700
Начинът, по който можем
да се справим с това,

9
00:00:20,700 --> 00:00:23,290
е като разделим областта
на две части,

10
00:00:23,290 --> 00:00:26,640
или да я разделим на две 
подобласти, областта отляво,

11
00:00:26,640 --> 00:00:28,250
и областта отдясно,

12
00:00:28,250 --> 00:00:30,730
където тази първа област,
която аз

13
00:00:30,730 --> 00:00:34,310
ще оцветя даже още повече в жълто –
тази първа област

14
00:00:34,310 --> 00:00:35,950
ето тук в целият този
интервал за х.

15
00:00:35,950 --> 00:00:40,360
Изглежда така, сякаш х е
между 0 и 1.

16
00:00:40,360 --> 00:00:44,280
у е равно... когато х = 1,
тази функция е равна на 1.

17
00:00:44,280 --> 00:00:47,220
Когато х = 1, тази функция
също е равна на 1.

18
00:00:47,220 --> 00:00:48,810
Значи това е точката (1; 1).

19
00:00:48,810 --> 00:00:50,320
Тук се пресичат.

20
00:00:50,320 --> 00:00:53,250
За тази област, тази 
подобласт ето тук,

21
00:00:53,250 --> 00:00:57,420
у равно на корен квадратен от х
е горната граница през цялото време.

22
00:00:57,420 --> 00:00:59,230
И после имаме...
можем да направим

23
00:00:59,230 --> 00:01:02,860
можем отделно да разгледаме

24
00:01:02,860 --> 00:01:04,920
площта на тази област.

25
00:01:04,920 --> 00:01:07,960
От х = 1 до х = 2,

26
00:01:07,960 --> 00:01:10,890
където у = 2 – х е горната функция.

27
00:01:10,890 --> 00:01:12,450
Да го направим.

28
00:01:12,450 --> 00:01:14,710
Първо да разгледаме тази област

29
00:01:14,710 --> 00:01:17,050
Това е определен интеграл

30
00:01:17,050 --> 00:01:19,640
от х = 0 до х = 1.

31
00:01:19,640 --> 00:01:25,120
Горната ни функция е квадратен
корен от х.

32
00:01:25,120 --> 00:01:28,390
От това ще извадим
долната функция –

33
00:01:28,390 --> 00:01:38,860
квадратен корен от х
минус (х^2/4 – 1).

34
00:01:39,200 --> 00:01:42,400
И накрая имаме dх.

35
00:01:42,400 --> 00:01:46,350
Това описва тази жълта област.

36
00:01:46,350 --> 00:01:49,730
Вероятно се досещаш, че
в тази част ето тук,

37
00:01:49,730 --> 00:01:51,660
разликата между тези
две функции

38
00:01:51,660 --> 00:01:53,164
е всъщност тази височина.

39
00:01:53,164 --> 00:01:57,740
Ще го оцветя с друг цвят.

40
00:01:57,820 --> 00:01:59,680
И после умножаваме по dх.

41
00:01:59,680 --> 00:02:03,390
Имаме малък правоъгълник
с широчина dх.

42
00:02:03,390 --> 00:02:06,600
И правим това за всяко х.

43
00:02:06,600 --> 00:02:08,860
Всяко х е различен 
правоъгълник.

44
00:02:08,860 --> 00:02:10,650
И после ги сумираме.

45
00:02:10,650 --> 00:02:14,570
И взимаме границата, когато
промяната на х клони към 0.

46
00:02:14,570 --> 00:02:16,664
Това са супер, супер тънки
правоъгълници,

47
00:02:16,664 --> 00:02:18,330
безкрайно много такива.

48
00:02:18,330 --> 00:02:21,060
Това е нашето определение
или Римановото определение

49
00:02:21,060 --> 00:02:22,820
какво представлява
определен интеграл.

50
00:02:22,820 --> 00:02:25,370
Значи това е областта отляво.

51
00:02:25,370 --> 00:02:28,900
По същата логика можем
да намерим площта на тази част.

52
00:02:28,980 --> 00:02:31,980
Областта отдясно –
и после просто събираме двете.

53
00:02:32,120 --> 00:02:34,200
Дясната област е 
от х = 0 до...

54
00:02:34,210 --> 00:02:38,530
извинявам се, от х = 1 до х = 2.

55
00:02:38,530 --> 00:02:42,130
Горната функция е 2 – х.

56
00:02:42,130 --> 00:02:47,220
От нея вадим долната функция,

57
00:02:47,220 --> 00:02:53,020
х^2/4 – 1.

58
00:02:53,780 --> 00:02:56,060
И сега просто трябва
да ги сметнем.

59
00:02:56,060 --> 00:02:58,800
Да опростим това тук.

60
00:02:58,800 --> 00:03:02,100
Това е равно на определен интеграл

61
00:03:02,100 --> 00:03:09,960
от 0 до 1 от квадратен корен от х
минус х^2/4 – 1, dх.

62
00:03:09,960 --> 00:03:12,020
Ще запиша всичко с един цвят.

63
00:03:12,020 --> 00:03:18,710
Плюс определен интеграл
от 1 до 2 от 2 минус х,

64
00:03:18,710 --> 00:03:21,330
минус х^2/4.

65
00:03:21,330 --> 00:03:25,330
Изваждаме отрицателно, значи
става положително 3, т.е. +1.

66
00:03:25,330 --> 00:03:26,650
Можем да го прибавим към това 2.

67
00:03:26,650 --> 00:03:29,330
И това 2 става 3.

68
00:03:29,330 --> 00:03:34,747
Казах, че 2 минус –1 е 3, dх.

69
00:03:34,747 --> 00:03:36,705
И сега трябва само да намерим
примитивната функция

70
00:03:36,705 --> 00:03:39,310
и да я сметнем от 1 до 0.

71
00:03:39,310 --> 00:03:42,130
Примитивната функция от това...

72
00:03:42,130 --> 00:03:43,480
това е х на степен 1/2.

73
00:03:43,480 --> 00:03:44,730
Увеличаваме го с 1.

74
00:03:44,730 --> 00:03:47,500
Увеличаваме степенния показател
с 1, става х на степен 3/2.

75
00:03:47,500 --> 00:03:49,200
Това умножаваме по
реципрочната стойност

76
00:03:49,200 --> 00:03:53,650
на новия степенен показател –
значи 2/3х^(3/2).

77
00:03:53,650 --> 00:03:56,410
Минус... примитивната функция
на х^2/4

78
00:03:56,410 --> 00:04:02,160
е х^3 върху 3, делено на 4,
значи делено на 12,

79
00:04:02,160 --> 00:04:03,660
плюс х.

80
00:04:03,660 --> 00:04:05,510
Това е примитивната
функция на първия интеграл.

81
00:04:05,510 --> 00:04:09,590
Ще сметнем за 1 и 0.

82
00:04:09,590 --> 00:04:11,640
После за втория интеграл
примитивната функция

83
00:04:11,640 --> 00:04:21,920
ще бъде 3х – х^2/2 – х^3/12.

84
00:04:22,020 --> 00:04:24,440
Още веднъж го изчисляваме...
всъщност не отново.

85
00:04:24,450 --> 00:04:28,460
Сега ще го изчислим
за 2 и за 1.

86
00:04:28,460 --> 00:04:30,610
Тук ще сметнем
това за х= 1.

87
00:04:30,610 --> 00:04:35,690
Става 2/3 минус 1/12 плюс 1.

88
00:04:35,690 --> 00:04:38,410
После от това вадим
това, сметнато за 0.

89
00:04:38,410 --> 00:04:41,010
Но това е просто нула, 
така че не получаваме нищо.

90
00:04:41,010 --> 00:04:44,260
Ето до това се опростява
жълтия израз.

91
00:04:44,260 --> 00:04:46,740
Сега виолетовият израз
или този в цикламено,

92
00:04:46,740 --> 00:04:51,070
или пепел от рози, както искаш
наречи цвета, смятам го първо за 2.

93
00:04:51,070 --> 00:05:01,380
Получаваме 6 минус... да видим,
2^2/2 е 2, минус 8/12.

94
00:05:01,520 --> 00:05:05,280
И от това ще извадим
този израз, сметнат за х = 1.

95
00:05:05,460 --> 00:05:14,540
Става 3 по 1, това е 3,
минус 1/2, минус 1/12.

96
00:05:14,600 --> 00:05:17,780
И накрая ни остава да съберем
тези дроби.

97
00:05:17,880 --> 00:05:19,180
Да видим как ще стане.

98
00:05:19,180 --> 00:05:22,140
12 изглежда най-очевидният
общ знаменател.

99
00:05:22,300 --> 00:05:29,430
Тук става 8/12 – 1/12 + 12/12.

100
00:05:29,430 --> 00:05:31,310
Това се опростява до колко?

101
00:05:31,310 --> 00:05:36,440
Това са 19/12, частта в жълто.

102
00:05:36,440 --> 00:05:40,190
Сега да сметна това с
подходящия цвят.

103
00:05:40,190 --> 00:05:43,280
Значи 6 минус 2, което е 4.

104
00:05:43,280 --> 00:05:51,100
Можем да го представим
като 48/12, което е 4, минус 8/12.

105
00:05:51,100 --> 00:05:56,940
И сега трябва да извадим 3,
което е 36/12.

106
00:05:57,160 --> 00:06:02,400
Това събираме с 1/2,
което е 6/12.

107
00:06:02,410 --> 00:06:06,030
И после прибавяме 1/12.

108
00:06:06,030 --> 00:06:10,730
Всичко това се опростява до...
да видим, 48 –8 е 40,

109
00:06:10,730 --> 00:06:18,410
минус 36 е 4, плюс 6 е 10,
плюс 1 е 11.

110
00:06:18,410 --> 00:06:21,614
Значи това става 11/12.

111
00:06:21,614 --> 00:06:23,030
Да видим дали
го направих правилно.

112
00:06:23,030 --> 00:06:28,830
48 минус 8 е 40, 
минус 36 е 4, 10,11.

113
00:06:28,830 --> 00:06:30,040
Изглежда правилно.

114
00:06:30,040 --> 00:06:31,955
И сега да съберем тези двете.

115
00:06:31,955 --> 00:06:36,010
19 плюс 11 е 30/12.

116
00:06:36,010 --> 00:06:38,290
Ако искаме малко да опростим,

117
00:06:38,290 --> 00:06:40,990
можем да разделим числителя
и знаменателя на 6.

118
00:06:40,990 --> 00:06:44,960
Това е равно на 5/2, или 2 и 1/2.

119
00:06:44,960 --> 00:06:45,630
И сме готови.

120
00:06:45,630 --> 00:06:50,560
Намерихме площта
на цялата тази област.

121
00:06:50,560 --> 00:06:53,255
И тя е 2 и 1/2.

122
00:06:53,255 --> 00:06:53,755