WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.520
 

00:00:00.520 --> 00:00:04.050
В това видео искам да намеря
площта на тази област,

00:00:04.050 --> 00:00:07.200
която оцветявам в жълто.

00:00:07.200 --> 00:00:11.140
Това изглежда доста трудно,
защото в тази област

00:00:11.140 --> 00:00:12.810
изглежда долната функция
е една и съща –

00:00:12.810 --> 00:00:16.900
долната граница е 
y = x^2/4 –1,

00:00:16.900 --> 00:00:19.240
но имаме различна горна граница.

00:00:19.242 --> 00:00:20.700
Начинът, по който можем
да се справим с това,

00:00:20.700 --> 00:00:23.290
е като разделим областта
на две части,

00:00:23.290 --> 00:00:26.640
или да я разделим на две 
подобласти, областта отляво,

00:00:26.640 --> 00:00:28.250
и областта отдясно,

00:00:28.250 --> 00:00:30.730
където тази първа област,
която аз

00:00:30.730 --> 00:00:34.310
ще оцветя даже още повече в жълто –
тази първа област

00:00:34.310 --> 00:00:35.950
ето тук в целият този
интервал за х.

00:00:35.950 --> 00:00:40.360
Изглежда така, сякаш х е
между 0 и 1.

00:00:40.360 --> 00:00:44.280
у е равно... когато х = 1,
тази функция е равна на 1.

00:00:44.280 --> 00:00:47.220
Когато х = 1, тази функция
също е равна на 1.

00:00:47.220 --> 00:00:48.810
Значи това е точката (1; 1).

00:00:48.810 --> 00:00:50.320
Тук се пресичат.

00:00:50.320 --> 00:00:53.250
За тази област, тази 
подобласт ето тук,

00:00:53.250 --> 00:00:57.420
у равно на корен квадратен от х
е горната граница през цялото време.

00:00:57.420 --> 00:00:59.230
И после имаме...
можем да направим

00:00:59.230 --> 00:01:02.860
можем отделно да разгледаме

00:01:02.860 --> 00:01:04.920
площта на тази област.

00:01:04.920 --> 00:01:07.960
От х = 1 до х = 2,

00:01:07.960 --> 00:01:10.890
където у = 2 – х е горната функция.

00:01:10.890 --> 00:01:12.450
Да го направим.

00:01:12.450 --> 00:01:14.710
Първо да разгледаме тази област

00:01:14.710 --> 00:01:17.050
Това е определен интеграл

00:01:17.050 --> 00:01:19.640
от х = 0 до х = 1.

00:01:19.640 --> 00:01:25.120
Горната ни функция е квадратен
корен от х.

00:01:25.120 --> 00:01:28.390
От това ще извадим
долната функция –

00:01:28.390 --> 00:01:38.860
квадратен корен от х
минус (х^2/4 – 1).

00:01:39.200 --> 00:01:42.400
И накрая имаме dх.

00:01:42.400 --> 00:01:46.350
Това описва тази жълта област.

00:01:46.350 --> 00:01:49.730
Вероятно се досещаш, че
в тази част ето тук,

00:01:49.730 --> 00:01:51.660
разликата между тези
две функции

00:01:51.660 --> 00:01:53.164
е всъщност тази височина.

00:01:53.164 --> 00:01:57.740
Ще го оцветя с друг цвят.

00:01:57.820 --> 00:01:59.680
И после умножаваме по dх.

00:01:59.680 --> 00:02:03.390
Имаме малък правоъгълник
с широчина dх.

00:02:03.390 --> 00:02:06.600
И правим това за всяко х.

00:02:06.600 --> 00:02:08.860
Всяко х е различен 
правоъгълник.

00:02:08.860 --> 00:02:10.650
И после ги сумираме.

00:02:10.650 --> 00:02:14.570
И взимаме границата, когато
промяната на х клони към 0.

00:02:14.570 --> 00:02:16.664
Това са супер, супер тънки
правоъгълници,

00:02:16.664 --> 00:02:18.330
безкрайно много такива.

00:02:18.330 --> 00:02:21.060
Това е нашето определение
или Римановото определение

00:02:21.060 --> 00:02:22.820
какво представлява
определен интеграл.

00:02:22.820 --> 00:02:25.370
Значи това е областта отляво.

00:02:25.370 --> 00:02:28.900
По същата логика можем
да намерим площта на тази част.

00:02:28.980 --> 00:02:31.980
Областта отдясно –
и после просто събираме двете.

00:02:32.120 --> 00:02:34.200
Дясната област е 
от х = 0 до...

00:02:34.210 --> 00:02:38.530
извинявам се, от х = 1 до х = 2.

00:02:38.530 --> 00:02:42.130
Горната функция е 2 – х.

00:02:42.130 --> 00:02:47.220
От нея вадим долната функция,

00:02:47.220 --> 00:02:53.020
х^2/4 – 1.

00:02:53.780 --> 00:02:56.060
И сега просто трябва
да ги сметнем.

00:02:56.060 --> 00:02:58.800
Да опростим това тук.

00:02:58.800 --> 00:03:02.100
Това е равно на определен интеграл

00:03:02.100 --> 00:03:09.960
от 0 до 1 от квадратен корен от х
минус х^2/4 – 1, dх.

00:03:09.960 --> 00:03:12.020
Ще запиша всичко с един цвят.

00:03:12.020 --> 00:03:18.710
Плюс определен интеграл
от 1 до 2 от 2 минус х,

00:03:18.710 --> 00:03:21.330
минус х^2/4.

00:03:21.330 --> 00:03:25.330
Изваждаме отрицателно, значи
става положително 3, т.е. +1.

00:03:25.330 --> 00:03:26.650
Можем да го прибавим към това 2.

00:03:26.650 --> 00:03:29.330
И това 2 става 3.

00:03:29.330 --> 00:03:34.747
Казах, че 2 минус –1 е 3, dх.

00:03:34.747 --> 00:03:36.705
И сега трябва само да намерим
примитивната функция

00:03:36.705 --> 00:03:39.310
и да я сметнем от 1 до 0.

00:03:39.310 --> 00:03:42.130
Примитивната функция от това...

00:03:42.130 --> 00:03:43.480
това е х на степен 1/2.

00:03:43.480 --> 00:03:44.730
Увеличаваме го с 1.

00:03:44.730 --> 00:03:47.500
Увеличаваме степенния показател
с 1, става х на степен 3/2.

00:03:47.500 --> 00:03:49.200
Това умножаваме по
реципрочната стойност

00:03:49.200 --> 00:03:53.650
на новия степенен показател –
значи 2/3х^(3/2).

00:03:53.650 --> 00:03:56.410
Минус... примитивната функция
на х^2/4

00:03:56.410 --> 00:04:02.160
е х^3 върху 3, делено на 4,
значи делено на 12,

00:04:02.160 --> 00:04:03.660
плюс х.

00:04:03.660 --> 00:04:05.510
Това е примитивната
функция на първия интеграл.

00:04:05.510 --> 00:04:09.590
Ще сметнем за 1 и 0.

00:04:09.590 --> 00:04:11.640
После за втория интеграл
примитивната функция

00:04:11.640 --> 00:04:21.920
ще бъде 3х – х^2/2 – х^3/12.

00:04:22.020 --> 00:04:24.440
Още веднъж го изчисляваме...
всъщност не отново.

00:04:24.450 --> 00:04:28.460
Сега ще го изчислим
за 2 и за 1.

00:04:28.460 --> 00:04:30.610
Тук ще сметнем
това за х= 1.

00:04:30.610 --> 00:04:35.690
Става 2/3 минус 1/12 плюс 1.

00:04:35.690 --> 00:04:38.410
После от това вадим
това, сметнато за 0.

00:04:38.410 --> 00:04:41.010
Но това е просто нула, 
така че не получаваме нищо.

00:04:41.010 --> 00:04:44.260
Ето до това се опростява
жълтия израз.

00:04:44.260 --> 00:04:46.740
Сега виолетовият израз
или този в цикламено,

00:04:46.740 --> 00:04:51.070
или пепел от рози, както искаш
наречи цвета, смятам го първо за 2.

00:04:51.070 --> 00:05:01.380
Получаваме 6 минус... да видим,
2^2/2 е 2, минус 8/12.

00:05:01.520 --> 00:05:05.280
И от това ще извадим
този израз, сметнат за х = 1.

00:05:05.460 --> 00:05:14.540
Става 3 по 1, това е 3,
минус 1/2, минус 1/12.

00:05:14.600 --> 00:05:17.780
И накрая ни остава да съберем
тези дроби.

00:05:17.880 --> 00:05:19.180
Да видим как ще стане.

00:05:19.180 --> 00:05:22.140
12 изглежда най-очевидният
общ знаменател.

00:05:22.300 --> 00:05:29.430
Тук става 8/12 – 1/12 + 12/12.

00:05:29.430 --> 00:05:31.310
Това се опростява до колко?

00:05:31.310 --> 00:05:36.440
Това са 19/12, частта в жълто.

00:05:36.440 --> 00:05:40.190
Сега да сметна това с
подходящия цвят.

00:05:40.190 --> 00:05:43.280
Значи 6 минус 2, което е 4.

00:05:43.280 --> 00:05:51.100
Можем да го представим
като 48/12, което е 4, минус 8/12.

00:05:51.100 --> 00:05:56.940
И сега трябва да извадим 3,
което е 36/12.

00:05:57.160 --> 00:06:02.400
Това събираме с 1/2,
което е 6/12.

00:06:02.410 --> 00:06:06.030
И после прибавяме 1/12.

00:06:06.030 --> 00:06:10.730
Всичко това се опростява до...
да видим, 48 –8 е 40,

00:06:10.730 --> 00:06:18.410
минус 36 е 4, плюс 6 е 10,
плюс 1 е 11.

00:06:18.410 --> 00:06:21.614
Значи това става 11/12.

00:06:21.614 --> 00:06:23.030
Да видим дали
го направих правилно.

00:06:23.030 --> 00:06:28.830
48 минус 8 е 40, 
минус 36 е 4, 10,11.

00:06:28.830 --> 00:06:30.040
Изглежда правилно.

00:06:30.040 --> 00:06:31.955
И сега да съберем тези двете.

00:06:31.955 --> 00:06:36.010
19 плюс 11 е 30/12.

00:06:36.010 --> 00:06:38.290
Ако искаме малко да опростим,

00:06:38.290 --> 00:06:40.990
можем да разделим числителя
и знаменателя на 6.

00:06:40.990 --> 00:06:44.960
Това е равно на 5/2, или 2 и 1/2.

00:06:44.960 --> 00:06:45.630
И сме готови.

00:06:45.630 --> 00:06:50.560
Намерихме площта
на цялата тази област.

00:06:50.560 --> 00:06:53.255
И тя е 2 и 1/2.

00:06:53.255 --> 00:06:53.755