0:00:00.180,0:00:07.130
V tomto videu chci zjistit plochu[br]této oblasti, kterou stínuji žlutě.

0:00:07.130,0:00:12.810
Výzva je v tom, že oblast je[br]ohraničena funkcí pod osou x.

0:00:12.810,0:00:16.660
Funkce níže je y se rovná[br](x na druhou lomeno 4) minus 1.

0:00:16.660,0:00:19.112
Ale mám jinou horní hranici.

0:00:19.112,0:00:23.180
Způsob, jak se s tím vypořádáme, je,[br]že tuto plochu rozdělíme na dvě sekce

0:00:23.180,0:00:25.550
neboli rozdělíme tuto[br]oblast na dvě oblasti,

0:00:25.550,0:00:27.740
čili na oblast vlevo a oblast vpravo,

0:00:27.740,0:00:30.330
kde pro první oblast, kterou...

0:00:30.330,0:00:35.570
...vybarvím ji žlutě...[br]první oblast celého intervalu x.

0:00:35.570,0:00:40.270
A vypadá to, že ‚x‛ je mezi 0 a 1.

0:00:40.270,0:00:43.970
y se rovná… Když je x rovno 1,[br]tak je tahle funkce rovna 1,

0:00:43.970,0:00:46.800
a když je x rovno 1, tak[br]je i tahle funkce rovna 1.

0:00:46.800,0:00:49.830
Toto je bod [1; 1].[br]Tady se protínají.

0:00:49.830,0:00:53.130
V této sekci, v této podoblasti,

0:00:53.130,0:00:57.270
je ,y rovno odmocnina z x'[br]celou dobu horní funkcí.

0:00:57.270,0:01:00.120
A pak můžeme...můžeme[br]nastavit různé...

0:01:00.120,0:01:04.590
můžeme odděleně vyřešit[br]plochu této oblasti.

0:01:04.590,0:01:07.830
Od ‚x‛ je rovno 1 do ‚x‛ je rovno 2,

0:01:07.830,0:01:10.580
kde y rovno (2 minus x) je horní funkcí.

0:01:10.580,0:01:12.290
Udělejme to.

0:01:12.290,0:01:14.620
Nejprve se zamysleme nad touto oblastí.

0:01:14.620,0:01:19.320
Bude to určitý integrál[br]od ‚x‛ rovno 0 do ‚x‛ rovno 1.

0:01:19.320,0:01:24.880
A naše horní funkce je odmocnina z x.

0:01:24.880,0:01:28.390
A od tohoto chceme[br]odečíst naši spodní funkci...

0:01:28.390,0:01:38.870
...(odmocnina z x) minus[br]((x na druhou lomeno 4) minus 1).

0:01:38.870,0:01:42.140
A samozřejmě máme naše ‚dx‛.

0:01:42.140,0:01:46.120
Toto zde popisuje[br]tu žlutě vybarvenou plochu.

0:01:46.120,0:01:53.160
A můžete si představit, že tato část zde,[br]čili rozdíl obou funkcí, je výška.

0:01:53.164,0:01:57.580
Vybarvím to jinou barvou.

0:01:57.580,0:01:59.420
A pak to vynásobte krát ‚dx‛.

0:01:59.420,0:02:06.500
Dostanete malý obdélník široký ‚dx‛.[br]A uděláte to pro každé ‚x‛.

0:02:06.500,0:02:10.410
Pro každé ‚x‛ dostanete jiný obdélník.[br]A pak je všechny sečtete.

0:02:10.410,0:02:14.240
A hledáme limitu,[br]kdy se ‚změna x‛ bude blížit 0.

0:02:14.240,0:02:17.914
Když dostanete ultra tenké obdélníky,[br]budete jich mít nekonečně mnoho.

0:02:17.914,0:02:22.630
A to je naše, respektive Riemannova,[br]definice toho, co je určitý integrál.

0:02:22.630,0:02:25.250
A toto je plocha levé oblasti.

0:02:25.250,0:02:28.770
Stejnou logikou můžeme[br]najít plochu oblasti vpravo.

0:02:28.770,0:02:31.930
Oblast vpravo...[br]...a pak můžeme obě oblasti sečíst.

0:02:31.930,0:02:34.480
Oblast vpravo od ‚x‛ je rovno 0 do ‚x‛...

0:02:34.480,0:02:38.250
...promiňte, od ‚x‛ rovno 1[br]do ‚x‛ rovno 2. Čili od 1 do 2.

0:02:38.250,0:02:41.770
Vrchní funkce je 2 minus x.

0:02:41.770,0:02:53.560
A od tohoto odečteme dolní funkci,[br]což je (x na druhou lomeno 4) minus 1.

0:02:53.560,0:02:55.900
A nyní to vypočítáme.

0:02:55.900,0:02:58.500
Nejprve zjednodušíme tohle vpravo.

0:02:58.500,0:03:03.900
Je to rovno určitému[br]integrálu od 0 do 1 funkce

0:03:03.900,0:03:09.500
(odmocnina z x) minus[br]((x na druhou lomeno 4) plus 1) dx...

0:03:09.500,0:03:11.840
...nyní to napíši jednou barvou...

0:03:11.840,0:03:21.020
...plus určitý integrál od 1 do 2 funkce[br]2 minus x minus (x na druhou lomeno 4).

0:03:21.020,0:03:24.970
Pak odečteme...minus -1[br]je kladná 3...teda 1.

0:03:24.970,0:03:29.030
Můžeme to přičíst k této 2.[br]A z této 2 se stane 3.

0:03:29.030,0:03:34.747
Řekl jsem, že 2 minus -1 je 3…dx.

0:03:34.747,0:03:38.935
A nyní musíme vzít primitivní funkci[br]a vyhodnotit ji pro 1 a 0.

0:03:38.935,0:03:43.290
Primitivní funkce tohoto je...[br]...Tohle je x na 1/2.

0:03:43.290,0:03:44.730
Přírůstek o 1.

0:03:44.730,0:03:47.240
Mocnina se zvýší o 1,[br]takže dostanete x na 3/2

0:03:47.240,0:03:53.500
a vynásobíte to obrácenou hodnotou nového[br]exponentu...tudíž je to 2/3 x na 3/2.

0:03:53.500,0:03:56.110
Minus...primitivní funkce[br]x na druhou lomeno 4

0:03:56.110,0:04:03.460
je x na třetí děleno 3, to celé děleno 4,[br]takže děleno 12…plus x.

0:04:03.460,0:04:05.260
To je primitivní funkce 1.

0:04:05.260,0:04:09.510
Vyhodnotíme to v 1 a 0.

0:04:09.510,0:04:12.180
A zde bude primitivní funkce

0:04:12.180,0:04:21.780
3x minus (x na druhou lomeno 2)[br]minus (x na třetí lomeno 12).

0:04:21.780,0:04:24.130
Znovu to vyhodnotíme...vlastně ne.

0:04:24.130,0:04:28.180
Nyní to vyhodnotíme v 2 a 1.

0:04:28.180,0:04:35.370
Zde to všechno vyhodnotíme pro 1.[br]Dostanete 2/3 minus 1/12 plus 1.

0:04:35.370,0:04:38.100
A od tohoto odečtete tuto hodnotu v 0.

0:04:38.100,0:04:40.750
Ale je to jen 0, takže nedostanete nic.

0:04:40.750,0:04:43.980
Takže to zjednoduší žlutou plochu.

0:04:43.980,0:04:48.530
A tato fialová nebo purpurová nebo lila[br]nebo co to je za barvu...

0:04:48.530,0:04:50.760
...nejprve ji vyhodnotíme v 2.

0:04:50.760,0:05:01.410
Dostanete 6 minus...podívejte, 2 na druhou[br]lomeno 2 je 2...minus 8 lomeno 12.

0:05:01.410,0:05:05.090
A od tohoto odečtete hodnotu v 1.

0:05:05.090,0:05:14.500
Takže to bude 3 krát 1...to je 3...[br]...minus 1/2 minus (1 lomeno 12).

0:05:14.500,0:05:17.700
A nyní nám zůstalo několik zlomků.

0:05:17.700,0:05:19.200
Podívejme se, jak to zvládneme.

0:05:19.200,0:05:21.970
Vypadá to, že 12 by mohl být[br]společný jmenovatel.

0:05:21.970,0:05:29.190
Zde máte 8/12 minus 1/12 plus 12/12.

0:05:29.190,0:05:30.870
Takže se to zjednodušilo...na co?

0:05:30.870,0:05:36.130
Tato žlutá část je 19/12.

0:05:36.130,0:05:40.010
A pak toto...udělám to jinou barvou.

0:05:40.010,0:05:42.970
6 minus 2, to bude 4.

0:05:42.970,0:05:50.860
Můžeme to napsat jako 48/12...[br]...čili 4...minus 8/12.

0:05:50.860,0:05:56.780
A pak odečteme 3, což je 36/12.

0:05:56.780,0:06:05.680
A pak přičteme 1/2, což je[br]plus 6/12, a pak přidáme 1/12.

0:06:05.680,0:06:12.270
Toto vše se zjednoduší...[br]...podívejte...48 minus 8 je 40...

0:06:12.270,0:06:18.020
minus 36 je 4...[br]...plus 6 je 10...plus 1 je 11.

0:06:18.020,0:06:21.614
Takže dostaneme 11/12.

0:06:21.614,0:06:22.880
Zkontroluji to.

0:06:22.880,0:06:28.610
48 minus 8 je 40, minus 36 je 4...10...11.

0:06:28.610,0:06:29.810
Vypadá to správně.

0:06:29.810,0:06:31.735
A jsme připravení tyto dva sečíst.

0:06:31.735,0:06:35.940
19 plus 11 je rovno 30/12.

0:06:35.940,0:06:40.660
Pokud to chceme trochu zjednodušit,[br]můžeme vydělit čitatele a jmenovatele 6.

0:06:40.660,0:06:44.860
Toto je rovno 5/2 nebo 2 a 1/2.

0:06:44.860,0:06:45.630
Jsme hotovi.

0:06:45.630,0:06:53.120
Zjistili jsme, že plocha celé oblasti[br]je 2 a 1/2.