V tomto videu chci zjistit plochu této oblasti, kterou stínuji žlutě.
Výzva je v tom, že oblast je ohraničena funkcí pod osou x.
Funkce níže je y se rovná (x na druhou lomeno 4) minus 1.
Ale mám jinou horní hranici.
Způsob, jak se s tím vypořádáme, je, že tuto plochu rozdělíme na dvě sekce
neboli rozdělíme tuto oblast na dvě oblasti,
čili na oblast vlevo a oblast vpravo,
kde pro první oblast, kterou...
...vybarvím ji žlutě... první oblast celého intervalu x.
A vypadá to, že ‚x‛ je mezi 0 a 1.
y se rovná… Když je x rovno 1, tak je tahle funkce rovna 1,
a když je x rovno 1, tak je i tahle funkce rovna 1.
Toto je bod [1; 1]. Tady se protínají.
V této sekci, v této podoblasti,
je ,y rovno odmocnina z x' celou dobu horní funkcí.
A pak můžeme...můžeme nastavit různé...
můžeme odděleně vyřešit plochu této oblasti.
Od ‚x‛ je rovno 1 do ‚x‛ je rovno 2,
kde y rovno (2 minus x) je horní funkcí.
Udělejme to.
Nejprve se zamysleme nad touto oblastí.
Bude to určitý integrál od ‚x‛ rovno 0 do ‚x‛ rovno 1.
A naše horní funkce je odmocnina z x.
A od tohoto chceme odečíst naši spodní funkci...
...(odmocnina z x) minus ((x na druhou lomeno 4) minus 1).
A samozřejmě máme naše ‚dx‛.
Toto zde popisuje tu žlutě vybarvenou plochu.
A můžete si představit, že tato část zde, čili rozdíl obou funkcí, je výška.
Vybarvím to jinou barvou.
A pak to vynásobte krát ‚dx‛.
Dostanete malý obdélník široký ‚dx‛. A uděláte to pro každé ‚x‛.
Pro každé ‚x‛ dostanete jiný obdélník. A pak je všechny sečtete.
A hledáme limitu, kdy se ‚změna x‛ bude blížit 0.
Když dostanete ultra tenké obdélníky, budete jich mít nekonečně mnoho.
A to je naše, respektive Riemannova, definice toho, co je určitý integrál.
A toto je plocha levé oblasti.
Stejnou logikou můžeme najít plochu oblasti vpravo.
Oblast vpravo... ...a pak můžeme obě oblasti sečíst.
Oblast vpravo od ‚x‛ je rovno 0 do ‚x‛...
...promiňte, od ‚x‛ rovno 1 do ‚x‛ rovno 2. Čili od 1 do 2.
Vrchní funkce je 2 minus x.
A od tohoto odečteme dolní funkci, což je (x na druhou lomeno 4) minus 1.
A nyní to vypočítáme.
Nejprve zjednodušíme tohle vpravo.
Je to rovno určitému integrálu od 0 do 1 funkce
(odmocnina z x) minus ((x na druhou lomeno 4) plus 1) dx...
...nyní to napíši jednou barvou...
...plus určitý integrál od 1 do 2 funkce 2 minus x minus (x na druhou lomeno 4).
Pak odečteme...minus -1 je kladná 3...teda 1.
Můžeme to přičíst k této 2. A z této 2 se stane 3.
Řekl jsem, že 2 minus -1 je 3…dx.
A nyní musíme vzít primitivní funkci a vyhodnotit ji pro 1 a 0.
Primitivní funkce tohoto je... ...Tohle je x na 1/2.
Přírůstek o 1.
Mocnina se zvýší o 1, takže dostanete x na 3/2
a vynásobíte to obrácenou hodnotou nového exponentu...tudíž je to 2/3 x na 3/2.
Minus...primitivní funkce x na druhou lomeno 4
je x na třetí děleno 3, to celé děleno 4, takže děleno 12…plus x.
To je primitivní funkce 1.
Vyhodnotíme to v 1 a 0.
A zde bude primitivní funkce
3x minus (x na druhou lomeno 2) minus (x na třetí lomeno 12).
Znovu to vyhodnotíme...vlastně ne.
Nyní to vyhodnotíme v 2 a 1.
Zde to všechno vyhodnotíme pro 1. Dostanete 2/3 minus 1/12 plus 1.
A od tohoto odečtete tuto hodnotu v 0.
Ale je to jen 0, takže nedostanete nic.
Takže to zjednoduší žlutou plochu.
A tato fialová nebo purpurová nebo lila nebo co to je za barvu...
...nejprve ji vyhodnotíme v 2.
Dostanete 6 minus...podívejte, 2 na druhou lomeno 2 je 2...minus 8 lomeno 12.
A od tohoto odečtete hodnotu v 1.
Takže to bude 3 krát 1...to je 3... ...minus 1/2 minus (1 lomeno 12).
A nyní nám zůstalo několik zlomků.
Podívejme se, jak to zvládneme.
Vypadá to, že 12 by mohl být společný jmenovatel.
Zde máte 8/12 minus 1/12 plus 12/12.
Takže se to zjednodušilo...na co?
Tato žlutá část je 19/12.
A pak toto...udělám to jinou barvou.
6 minus 2, to bude 4.
Můžeme to napsat jako 48/12... ...čili 4...minus 8/12.
A pak odečteme 3, což je 36/12.
A pak přičteme 1/2, což je plus 6/12, a pak přidáme 1/12.
Toto vše se zjednoduší... ...podívejte...48 minus 8 je 40...
minus 36 je 4... ...plus 6 je 10...plus 1 je 11.
Takže dostaneme 11/12.
Zkontroluji to.
48 minus 8 je 40, minus 36 je 4...10...11.
Vypadá to správně.
A jsme připravení tyto dva sečíst.
19 plus 11 je rovno 30/12.
Pokud to chceme trochu zjednodušit, můžeme vydělit čitatele a jmenovatele 6.
Toto je rovno 5/2 nebo 2 a 1/2.
Jsme hotovi.
Zjistili jsme, že plocha celé oblasti je 2 a 1/2.