1
00:00:00,180 --> 00:00:07,130
V tomto videu chci zjistit plochu
této oblasti, kterou stínuji žlutě.

2
00:00:07,130 --> 00:00:12,810
Výzva je v tom, že oblast je
ohraničena funkcí pod osou x.

3
00:00:12,810 --> 00:00:16,660
Funkce níže je y se rovná
(x na druhou lomeno 4) minus 1.

4
00:00:16,660 --> 00:00:19,112
Ale mám jinou horní hranici.

5
00:00:19,112 --> 00:00:23,180
Způsob, jak se s tím vypořádáme, je,
že tuto plochu rozdělíme na dvě sekce

6
00:00:23,180 --> 00:00:25,550
neboli rozdělíme tuto
oblast na dvě oblasti,

7
00:00:25,550 --> 00:00:27,740
čili na oblast vlevo a oblast vpravo,

8
00:00:27,740 --> 00:00:30,330
kde pro první oblast, kterou...

9
00:00:30,330 --> 00:00:35,570
...vybarvím ji žlutě...
první oblast celého intervalu x.

10
00:00:35,570 --> 00:00:40,270
A vypadá to, že ‚x‛ je mezi 0 a 1.

11
00:00:40,270 --> 00:00:43,970
y se rovná… Když je x rovno 1,
tak je tahle funkce rovna 1,

12
00:00:43,970 --> 00:00:46,800
a když je x rovno 1, tak
je i tahle funkce rovna 1.

13
00:00:46,800 --> 00:00:49,830
Toto je bod [1; 1].
Tady se protínají.

14
00:00:49,830 --> 00:00:53,130
V této sekci, v této podoblasti,

15
00:00:53,130 --> 00:00:57,270
je ,y rovno odmocnina z x'
celou dobu horní funkcí.

16
00:00:57,270 --> 00:01:00,120
A pak můžeme...můžeme
nastavit různé...

17
00:01:00,120 --> 00:01:04,590
můžeme odděleně vyřešit
plochu této oblasti.

18
00:01:04,590 --> 00:01:07,830
Od ‚x‛ je rovno 1 do ‚x‛ je rovno 2,

19
00:01:07,830 --> 00:01:10,580
kde y rovno (2 minus x) je horní funkcí.

20
00:01:10,580 --> 00:01:12,290
Udělejme to.

21
00:01:12,290 --> 00:01:14,620
Nejprve se zamysleme nad touto oblastí.

22
00:01:14,620 --> 00:01:19,320
Bude to určitý integrál
od ‚x‛ rovno 0 do ‚x‛ rovno 1.

23
00:01:19,320 --> 00:01:24,880
A naše horní funkce je odmocnina z x.

24
00:01:24,880 --> 00:01:28,390
A od tohoto chceme
odečíst naši spodní funkci...

25
00:01:28,390 --> 00:01:38,870
...(odmocnina z x) minus
((x na druhou lomeno 4) minus 1).

26
00:01:38,870 --> 00:01:42,140
A samozřejmě máme naše ‚dx‛.

27
00:01:42,140 --> 00:01:46,120
Toto zde popisuje
tu žlutě vybarvenou plochu.

28
00:01:46,120 --> 00:01:53,160
A můžete si představit, že tato část zde,
čili rozdíl obou funkcí, je výška.

29
00:01:53,164 --> 00:01:57,580
Vybarvím to jinou barvou.

30
00:01:57,580 --> 00:01:59,420
A pak to vynásobte krát ‚dx‛.

31
00:01:59,420 --> 00:02:06,500
Dostanete malý obdélník široký ‚dx‛.
A uděláte to pro každé ‚x‛.

32
00:02:06,500 --> 00:02:10,410
Pro každé ‚x‛ dostanete jiný obdélník.
A pak je všechny sečtete.

33
00:02:10,410 --> 00:02:14,240
A hledáme limitu,
kdy se ‚změna x‛ bude blížit 0.

34
00:02:14,240 --> 00:02:17,914
Když dostanete ultra tenké obdélníky,
budete jich mít nekonečně mnoho.

35
00:02:17,914 --> 00:02:22,630
A to je naše, respektive Riemannova,
definice toho, co je určitý integrál.

36
00:02:22,630 --> 00:02:25,250
A toto je plocha levé oblasti.

37
00:02:25,250 --> 00:02:28,770
Stejnou logikou můžeme
najít plochu oblasti vpravo.

38
00:02:28,770 --> 00:02:31,930
Oblast vpravo...
...a pak můžeme obě oblasti sečíst.

39
00:02:31,930 --> 00:02:34,480
Oblast vpravo od ‚x‛ je rovno 0 do ‚x‛...

40
00:02:34,480 --> 00:02:38,250
...promiňte, od ‚x‛ rovno 1
do ‚x‛ rovno 2. Čili od 1 do 2.

41
00:02:38,250 --> 00:02:41,770
Vrchní funkce je 2 minus x.

42
00:02:41,770 --> 00:02:53,560
A od tohoto odečteme dolní funkci,
což je (x na druhou lomeno 4) minus 1.

43
00:02:53,560 --> 00:02:55,900
A nyní to vypočítáme.

44
00:02:55,900 --> 00:02:58,500
Nejprve zjednodušíme tohle vpravo.

45
00:02:58,500 --> 00:03:03,900
Je to rovno určitému
integrálu od 0 do 1 funkce

46
00:03:03,900 --> 00:03:09,500
(odmocnina z x) minus
((x na druhou lomeno 4) plus 1) dx...

47
00:03:09,500 --> 00:03:11,840
...nyní to napíši jednou barvou...

48
00:03:11,840 --> 00:03:21,020
...plus určitý integrál od 1 do 2 funkce
2 minus x minus (x na druhou lomeno 4).

49
00:03:21,020 --> 00:03:24,970
Pak odečteme...minus -1
je kladná 3...teda 1.

50
00:03:24,970 --> 00:03:29,030
Můžeme to přičíst k této 2.
A z této 2 se stane 3.

51
00:03:29,030 --> 00:03:34,747
Řekl jsem, že 2 minus -1 je 3…dx.

52
00:03:34,747 --> 00:03:38,935
A nyní musíme vzít primitivní funkci
a vyhodnotit ji pro 1 a 0.

53
00:03:38,935 --> 00:03:43,290
Primitivní funkce tohoto je...
...Tohle je x na 1/2.

54
00:03:43,290 --> 00:03:44,730
Přírůstek o 1.

55
00:03:44,730 --> 00:03:47,240
Mocnina se zvýší o 1,
takže dostanete x na 3/2

56
00:03:47,240 --> 00:03:53,500
a vynásobíte to obrácenou hodnotou nového
exponentu...tudíž je to 2/3 x na 3/2.

57
00:03:53,500 --> 00:03:56,110
Minus...primitivní funkce
x na druhou lomeno 4

58
00:03:56,110 --> 00:04:03,460
je x na třetí děleno 3, to celé děleno 4,
takže děleno 12…plus x.

59
00:04:03,460 --> 00:04:05,260
To je primitivní funkce 1.

60
00:04:05,260 --> 00:04:09,510
Vyhodnotíme to v 1 a 0.

61
00:04:09,510 --> 00:04:12,180
A zde bude primitivní funkce

62
00:04:12,180 --> 00:04:21,780
3x minus (x na druhou lomeno 2)
minus (x na třetí lomeno 12).

63
00:04:21,780 --> 00:04:24,130
Znovu to vyhodnotíme...vlastně ne.

64
00:04:24,130 --> 00:04:28,180
Nyní to vyhodnotíme v 2 a 1.

65
00:04:28,180 --> 00:04:35,370
Zde to všechno vyhodnotíme pro 1.
Dostanete 2/3 minus 1/12 plus 1.

66
00:04:35,370 --> 00:04:38,100
A od tohoto odečtete tuto hodnotu v 0.

67
00:04:38,100 --> 00:04:40,750
Ale je to jen 0, takže nedostanete nic.

68
00:04:40,750 --> 00:04:43,980
Takže to zjednoduší žlutou plochu.

69
00:04:43,980 --> 00:04:48,530
A tato fialová nebo purpurová nebo lila
nebo co to je za barvu...

70
00:04:48,530 --> 00:04:50,760
...nejprve ji vyhodnotíme v 2.

71
00:04:50,760 --> 00:05:01,410
Dostanete 6 minus...podívejte, 2 na druhou
lomeno 2 je 2...minus 8 lomeno 12.

72
00:05:01,410 --> 00:05:05,090
A od tohoto odečtete hodnotu v 1.

73
00:05:05,090 --> 00:05:14,500
Takže to bude 3 krát 1...to je 3...
...minus 1/2 minus (1 lomeno 12).

74
00:05:14,500 --> 00:05:17,700
A nyní nám zůstalo několik zlomků.

75
00:05:17,700 --> 00:05:19,200
Podívejme se, jak to zvládneme.

76
00:05:19,200 --> 00:05:21,970
Vypadá to, že 12 by mohl být
společný jmenovatel.

77
00:05:21,970 --> 00:05:29,190
Zde máte 8/12 minus 1/12 plus 12/12.

78
00:05:29,190 --> 00:05:30,870
Takže se to zjednodušilo...na co?

79
00:05:30,870 --> 00:05:36,130
Tato žlutá část je 19/12.

80
00:05:36,130 --> 00:05:40,010
A pak toto...udělám to jinou barvou.

81
00:05:40,010 --> 00:05:42,970
6 minus 2, to bude 4.

82
00:05:42,970 --> 00:05:50,860
Můžeme to napsat jako 48/12...
...čili 4...minus 8/12.

83
00:05:50,860 --> 00:05:56,780
A pak odečteme 3, což je 36/12.

84
00:05:56,780 --> 00:06:05,680
A pak přičteme 1/2, což je
plus 6/12, a pak přidáme 1/12.

85
00:06:05,680 --> 00:06:12,270
Toto vše se zjednoduší...
...podívejte...48 minus 8 je 40...

86
00:06:12,270 --> 00:06:18,020
minus 36 je 4...
...plus 6 je 10...plus 1 je 11.

87
00:06:18,020 --> 00:06:21,614
Takže dostaneme 11/12.

88
00:06:21,614 --> 00:06:22,880
Zkontroluji to.

89
00:06:22,880 --> 00:06:28,610
48 minus 8 je 40, minus 36 je 4...10...11.

90
00:06:28,610 --> 00:06:29,810
Vypadá to správně.

91
00:06:29,810 --> 00:06:31,735
A jsme připravení tyto dva sečíst.

92
00:06:31,735 --> 00:06:35,940
19 plus 11 je rovno 30/12.

93
00:06:35,940 --> 00:06:40,660
Pokud to chceme trochu zjednodušit,
můžeme vydělit čitatele a jmenovatele 6.

94
00:06:40,660 --> 00:06:44,860
Toto je rovno 5/2 nebo 2 a 1/2.

95
00:06:44,860 --> 00:06:45,630
Jsme hotovi.

96
00:06:45,630 --> 00:06:53,120
Zjistili jsme, že plocha celé oblasti
je 2 a 1/2.