WEBVTT

00:00:00.180 --> 00:00:07.130
V tomto videu chci zjistit plochu
této oblasti, kterou stínuji žlutě.

00:00:07.130 --> 00:00:12.810
Výzva je v tom, že oblast je
ohraničena funkcí pod osou x.

00:00:12.810 --> 00:00:16.660
Funkce níže je y se rovná
(x na druhou lomeno 4) minus 1.

00:00:16.660 --> 00:00:19.112
Ale mám jinou horní hranici.

00:00:19.112 --> 00:00:23.180
Způsob, jak se s tím vypořádáme, je,
že tuto plochu rozdělíme na dvě sekce

00:00:23.180 --> 00:00:25.550
neboli rozdělíme tuto
oblast na dvě oblasti,

00:00:25.550 --> 00:00:27.740
čili na oblast vlevo a oblast vpravo,

00:00:27.740 --> 00:00:30.330
kde pro první oblast, kterou...

00:00:30.330 --> 00:00:35.570
...vybarvím ji žlutě...
první oblast celého intervalu x.

00:00:35.570 --> 00:00:40.270
A vypadá to, že ‚x‛ je mezi 0 a 1.

00:00:40.270 --> 00:00:43.970
y se rovná… Když je x rovno 1,
tak je tahle funkce rovna 1,

00:00:43.970 --> 00:00:46.800
a když je x rovno 1, tak
je i tahle funkce rovna 1.

00:00:46.800 --> 00:00:49.830
Toto je bod [1; 1].
Tady se protínají.

00:00:49.830 --> 00:00:53.130
V této sekci, v této podoblasti,

00:00:53.130 --> 00:00:57.270
je ,y rovno odmocnina z x'
celou dobu horní funkcí.

00:00:57.270 --> 00:01:00.120
A pak můžeme...můžeme
nastavit různé...

00:01:00.120 --> 00:01:04.590
můžeme odděleně vyřešit
plochu této oblasti.

00:01:04.590 --> 00:01:07.830
Od ‚x‛ je rovno 1 do ‚x‛ je rovno 2,

00:01:07.830 --> 00:01:10.580
kde y rovno (2 minus x) je horní funkcí.

00:01:10.580 --> 00:01:12.290
Udělejme to.

00:01:12.290 --> 00:01:14.620
Nejprve se zamysleme nad touto oblastí.

00:01:14.620 --> 00:01:19.320
Bude to určitý integrál
od ‚x‛ rovno 0 do ‚x‛ rovno 1.

00:01:19.320 --> 00:01:24.880
A naše horní funkce je odmocnina z x.

00:01:24.880 --> 00:01:28.390
A od tohoto chceme
odečíst naši spodní funkci...

00:01:28.390 --> 00:01:38.870
...(odmocnina z x) minus
((x na druhou lomeno 4) minus 1).

00:01:38.870 --> 00:01:42.140
A samozřejmě máme naše ‚dx‛.

00:01:42.140 --> 00:01:46.120
Toto zde popisuje
tu žlutě vybarvenou plochu.

00:01:46.120 --> 00:01:53.160
A můžete si představit, že tato část zde,
čili rozdíl obou funkcí, je výška.

00:01:53.164 --> 00:01:57.580
Vybarvím to jinou barvou.

00:01:57.580 --> 00:01:59.420
A pak to vynásobte krát ‚dx‛.

00:01:59.420 --> 00:02:06.500
Dostanete malý obdélník široký ‚dx‛.
A uděláte to pro každé ‚x‛.

00:02:06.500 --> 00:02:10.410
Pro každé ‚x‛ dostanete jiný obdélník.
A pak je všechny sečtete.

00:02:10.410 --> 00:02:14.240
A hledáme limitu,
kdy se ‚změna x‛ bude blížit 0.

00:02:14.240 --> 00:02:17.914
Když dostanete ultra tenké obdélníky,
budete jich mít nekonečně mnoho.

00:02:17.914 --> 00:02:22.630
A to je naše, respektive Riemannova,
definice toho, co je určitý integrál.

00:02:22.630 --> 00:02:25.250
A toto je plocha levé oblasti.

00:02:25.250 --> 00:02:28.770
Stejnou logikou můžeme
najít plochu oblasti vpravo.

00:02:28.770 --> 00:02:31.930
Oblast vpravo...
...a pak můžeme obě oblasti sečíst.

00:02:31.930 --> 00:02:34.480
Oblast vpravo od ‚x‛ je rovno 0 do ‚x‛...

00:02:34.480 --> 00:02:38.250
...promiňte, od ‚x‛ rovno 1
do ‚x‛ rovno 2. Čili od 1 do 2.

00:02:38.250 --> 00:02:41.770
Vrchní funkce je 2 minus x.

00:02:41.770 --> 00:02:53.560
A od tohoto odečteme dolní funkci,
což je (x na druhou lomeno 4) minus 1.

00:02:53.560 --> 00:02:55.900
A nyní to vypočítáme.

00:02:55.900 --> 00:02:58.500
Nejprve zjednodušíme tohle vpravo.

00:02:58.500 --> 00:03:03.900
Je to rovno určitému
integrálu od 0 do 1 funkce

00:03:03.900 --> 00:03:09.500
(odmocnina z x) minus
((x na druhou lomeno 4) plus 1) dx...

00:03:09.500 --> 00:03:11.840
...nyní to napíši jednou barvou...

00:03:11.840 --> 00:03:21.020
...plus určitý integrál od 1 do 2 funkce
2 minus x minus (x na druhou lomeno 4).

00:03:21.020 --> 00:03:24.970
Pak odečteme...minus -1
je kladná 3...teda 1.

00:03:24.970 --> 00:03:29.030
Můžeme to přičíst k této 2.
A z této 2 se stane 3.

00:03:29.030 --> 00:03:34.747
Řekl jsem, že 2 minus -1 je 3…dx.

00:03:34.747 --> 00:03:38.935
A nyní musíme vzít primitivní funkci
a vyhodnotit ji pro 1 a 0.

00:03:38.935 --> 00:03:43.290
Primitivní funkce tohoto je...
...Tohle je x na 1/2.

00:03:43.290 --> 00:03:44.730
Přírůstek o 1.

00:03:44.730 --> 00:03:47.240
Mocnina se zvýší o 1,
takže dostanete x na 3/2

00:03:47.240 --> 00:03:53.500
a vynásobíte to obrácenou hodnotou nového
exponentu...tudíž je to 2/3 x na 3/2.

00:03:53.500 --> 00:03:56.110
Minus...primitivní funkce
x na druhou lomeno 4

00:03:56.110 --> 00:04:03.460
je x na třetí děleno 3, to celé děleno 4,
takže děleno 12…plus x.

00:04:03.460 --> 00:04:05.260
To je primitivní funkce 1.

00:04:05.260 --> 00:04:09.510
Vyhodnotíme to v 1 a 0.

00:04:09.510 --> 00:04:12.180
A zde bude primitivní funkce

00:04:12.180 --> 00:04:21.780
3x minus (x na druhou lomeno 2)
minus (x na třetí lomeno 12).

00:04:21.780 --> 00:04:24.130
Znovu to vyhodnotíme...vlastně ne.

00:04:24.130 --> 00:04:28.180
Nyní to vyhodnotíme v 2 a 1.

00:04:28.180 --> 00:04:35.370
Zde to všechno vyhodnotíme pro 1.
Dostanete 2/3 minus 1/12 plus 1.

00:04:35.370 --> 00:04:38.100
A od tohoto odečtete tuto hodnotu v 0.

00:04:38.100 --> 00:04:40.750
Ale je to jen 0, takže nedostanete nic.

00:04:40.750 --> 00:04:43.980
Takže to zjednoduší žlutou plochu.

00:04:43.980 --> 00:04:48.530
A tato fialová nebo purpurová nebo lila
nebo co to je za barvu...

00:04:48.530 --> 00:04:50.760
...nejprve ji vyhodnotíme v 2.

00:04:50.760 --> 00:05:01.410
Dostanete 6 minus...podívejte, 2 na druhou
lomeno 2 je 2...minus 8 lomeno 12.

00:05:01.410 --> 00:05:05.090
A od tohoto odečtete hodnotu v 1.

00:05:05.090 --> 00:05:14.500
Takže to bude 3 krát 1...to je 3...
...minus 1/2 minus (1 lomeno 12).

00:05:14.500 --> 00:05:17.700
A nyní nám zůstalo několik zlomků.

00:05:17.700 --> 00:05:19.200
Podívejme se, jak to zvládneme.

00:05:19.200 --> 00:05:21.970
Vypadá to, že 12 by mohl být
společný jmenovatel.

00:05:21.970 --> 00:05:29.190
Zde máte 8/12 minus 1/12 plus 12/12.

00:05:29.190 --> 00:05:30.870
Takže se to zjednodušilo...na co?

00:05:30.870 --> 00:05:36.130
Tato žlutá část je 19/12.

00:05:36.130 --> 00:05:40.010
A pak toto...udělám to jinou barvou.

00:05:40.010 --> 00:05:42.970
6 minus 2, to bude 4.

00:05:42.970 --> 00:05:50.860
Můžeme to napsat jako 48/12...
...čili 4...minus 8/12.

00:05:50.860 --> 00:05:56.780
A pak odečteme 3, což je 36/12.

00:05:56.780 --> 00:06:05.680
A pak přičteme 1/2, což je
plus 6/12, a pak přidáme 1/12.

00:06:05.680 --> 00:06:12.270
Toto vše se zjednoduší...
...podívejte...48 minus 8 je 40...

00:06:12.270 --> 00:06:18.020
minus 36 je 4...
...plus 6 je 10...plus 1 je 11.

00:06:18.020 --> 00:06:21.614
Takže dostaneme 11/12.

00:06:21.614 --> 00:06:22.880
Zkontroluji to.

00:06:22.880 --> 00:06:28.610
48 minus 8 je 40, minus 36 je 4...10...11.

00:06:28.610 --> 00:06:29.810
Vypadá to správně.

00:06:29.810 --> 00:06:31.735
A jsme připravení tyto dva sečíst.

00:06:31.735 --> 00:06:35.940
19 plus 11 je rovno 30/12.

00:06:35.940 --> 00:06:40.660
Pokud to chceme trochu zjednodušit,
můžeme vydělit čitatele a jmenovatele 6.

00:06:40.660 --> 00:06:44.860
Toto je rovno 5/2 nebo 2 a 1/2.

00:06:44.860 --> 00:06:45.630
Jsme hotovi.

00:06:45.630 --> 00:06:53.120
Zjistili jsme, že plocha celé oblasti
je 2 a 1/2.