0:00:00.204,0:00:02.519
이 동영상에서 알아 볼 내용은

0:00:02.519,0:00:07.200
노란색으로 칠하는 부분의[br]면적을 구하는 문제입니다

0:00:07.200,0:00:10.286
이 문제는 좀 어려워 보입니다

0:00:10.286,0:00:12.810
왜냐하면 면적의 아랫부분은 [br]하나의 함수로만 이루어져서

0:00:12.810,0:00:16.816
y = x²/4 - 1 의 그래프 하나만 [br]생각하면 되지만

0:00:16.816,0:00:19.242
윗부분은 두 개의 [br]함수로 이루어져 있기 때문입니다

0:00:19.242,0:00:20.700
이 문제를 풀기 위해서는

0:00:20.700,0:00:23.290
이 영역을 두 부분으로 나누거나

0:00:23.290,0:00:27.409
왼쪽, 오른쪽 두 영역으로 나누는 [br]방법을 써야 합니다

0:00:27.409,0:00:30.742
여기 더 노란색으로 칠하는 [br]첫번째 영역에서

0:00:30.742,0:00:34.310
x의 범위를 생각해 봅시다

0:00:34.310,0:00:35.950
이 영역의 x의 범위는

0:00:35.950,0:00:40.360
0에서 1사이인 것 같네요

0:00:40.360,0:00:44.280
x가 1일 때 이 함수의 y 값은 1이고

0:00:44.280,0:00:47.220
이 함수 역시 x = 1일때 [br]y 값이 1이 됩니다

0:00:47.220,0:00:48.810
이 점의 좌표는 (1,1)이 되겠죠

0:00:48.810,0:00:50.320
이 곳에서 영역이 나뉘어 집니다

0:00:50.320,0:00:53.250
여기 있는 이 부분은

0:00:53.250,0:00:57.420
영역의 윗부분이 [br]y = √x 입니다

0:00:57.420,0:00:59.230
전체 영역을 이제 두 부분으로 나눠서

0:00:59.230,0:01:05.036
문제를 풀어 보겠습니다

0:01:05.036,0:01:08.527
x의 범위가 [br]1에서 2까지인

0:01:08.527,0:01:10.306
이 부분은 윗부분이 [br]y = 2 - x 함수입니다

0:01:10.306,0:01:11.905
한 번 풀어봅시다

0:01:11.905,0:01:14.865
첫번째 영역을 먼저 생각해 보면

0:01:14.865,0:01:19.761
구간 0에서 1까지의 정적분

0:01:19.761,0:01:32.332
위에 있는 함수 √x 에서 [br]아랫부분에 있는 함수 x²/4 - 1을 빼줘야 합니다

0:01:32.332,0:01:39.200
따라서 x가 0에서 1까지 [br]∫(√x - ( x²/4 - 1))

0:01:39.200,0:01:42.400
이곳에 dx가 있어야 하겠죠

0:01:42.400,0:01:46.350
이 식은 이 노란색 부분의 면적을[br]나타내는 식입니다

0:01:46.350,0:01:51.499
이 영역에서 두 함수의 함수값 차이는

0:01:51.499,0:01:55.421
실제로 이 높이가 됩니다

0:01:55.421,0:01:57.820
다른 색으로 표시해 보겠습니다

0:01:57.820,0:01:59.680
이 높이에 [br]x의 변화율 dx를 곱하면

0:01:59.680,0:02:03.390
dx의 폭을 가진 직사각형의 넓이를 [br]구할 수 있습니다

0:02:03.390,0:02:06.600
이 직사각형을 각각의 x에 대해 [br]그려주면

0:02:06.600,0:02:08.860
서로 다른 크기의 직사각형을 [br]얻을 수 있습니다

0:02:08.860,0:02:10.650
그 넓이를 모두 더하면 전체 영역의 [br]넓이가 됩니다

0:02:10.650,0:02:14.570
그리고 x의 변화율을 [br]0에 가까운 극한으로 보내면

0:02:14.570,0:02:16.664
극도로 얇은 모양의 직사각형들을 [br]얻을 수 있습니다

0:02:16.664,0:02:18.330
직사각형의 갯수는 무한개가 됩니다

0:02:18.330,0:02:22.836
이것이 바로 리만의 정의 혹은[br]정적분의 정의 입니다

0:02:22.836,0:02:25.370
이 식은 왼쪽 부분의 넓이 입니다

0:02:25.370,0:02:28.977
같은 원리로 오른쪽 부분의 넓이도 [br]구할 수 있습니다

0:02:28.977,0:02:32.133
오른쪽 부분의 넓이를 구하는 식을[br]여기에 더하면 전체 넓이를 알 수 있습니다

0:02:32.133,0:02:35.594
오른쪽 부분의 넓이는 [br]x가 0에서 , 아니죠

0:02:35.594,0:02:38.530
x가 1에서 2사이 입니다

0:02:38.530,0:02:42.130
윗부분 함수는 2-x

0:02:42.130,0:02:51.796
여기에서 아랫부분의 함수 [br]x²/4 - 1을 빼주면 됩니다

0:02:51.796,0:02:53.780
x는 1에서 2까지 [br]∫(2 - x - ( x²/4 - 1) )dx

0:02:53.780,0:02:56.060
계산을 해 보겠습니다

0:02:56.060,0:02:58.800
먼저 이 식을 간단히 해 봅시다

0:02:58.800,0:03:12.123
x는 0에서 1까지 [br]∫(√x - x²/4 + 1) dx

0:03:12.123,0:03:13.304
이 식에 더하기

0:03:13.304,0:03:22.335
1에서 2까지 [br]∫(2 - x - x²/4

0:03:22.335,0:03:26.068
- (-1)은 +1과 같으므로

0:03:26.068,0:03:29.349
2에 1을 더하면 3

0:03:29.349,0:03:35.080
∫(3 - x - x²/4) dx 라는 식이 됩니다

0:03:35.080,0:03:42.177
적분을 풀어서 [br]0에서 1까지의 면적을 구해봅시다

0:03:42.177,0:03:44.583
√x는 x의 1/2 제곱이므로

0:03:44.583,0:03:47.933
지수가 1 증가하면[br]x의 3/2제곱이 되고

0:03:47.933,0:03:49.568
새로운 지수의 역수를 [br]앞에 곱해줘야 하므로

0:03:49.568,0:03:54.199
2/3x^3/2이 됩니다

0:03:54.199,0:03:58.846
x²을 적분하면 x³이 되고

0:03:58.846,0:04:02.888
3으로 나눠주는데 이미 1/4가 있으므로[br]12로 나눠줍니다

0:04:02.888,0:04:04.463
여기에 더하기 x

0:04:04.463,0:04:06.875
이것은 1을 적분한 것이죠

0:04:06.875,0:04:09.583
이 값을 0에서 1까지 구합니다

0:04:09.590,0:04:11.640
두번째 식은 적분하면

0:04:11.640,0:04:22.877
(3x - x²/2 - x³/12)가 되고

0:04:22.877,0:04:27.898
이 값을 1에서 2까지 구하면 됩니다

0:04:27.898,0:04:30.610
여기에 1을 대입하면

0:04:30.610,0:04:35.690
(2/3 - 1/12 +1) 이 되고

0:04:35.690,0:04:41.020
0을 대입한 값을 빼야 하는데[br]그 값이 0이므로

0:04:41.020,0:04:44.701
이렇게 간단히 할 수 있습니다

0:04:44.701,0:04:57.639
이 부분은 2를 대입하면 6이 되고[br]2의 제곱을 2로 나누면 2,

0:04:57.639,0:05:02.529
여기에 8/12를 빼면 됩니다

0:05:02.529,0:05:05.896
이 계산 결과에서[br]x가 1일 때의 값을 빼 줍니다

0:05:05.896,0:05:08.557
1을 넣으면 [br]3 X1 = 3이므로

0:05:08.557,0:05:14.882
(3 - 1/2 - 1/12)

0:05:14.882,0:05:19.185
이제 분수 계산만 잘 하면 됩니다

0:05:19.185,0:05:22.345
여기서는 12가 최소 공배수가 되겠죠

0:05:22.345,0:05:29.430
(8/12 - 1/12 + 12/12) 가 되고

0:05:29.430,0:05:31.310
답은 뭘까요?

0:05:31.310,0:05:37.305
19/12 입니다[br]여기 노란색 부분의 면적입니다

0:05:37.305,0:05:43.280
그리고 6 - 2 = 4

0:05:43.280,0:05:51.100
따라서 이 식은 [br]48/12 - 8/12 로 쓸 수 있겠죠

0:05:51.100,0:05:57.190
3은 36/12로 고쳐서 빼 줍니다

0:05:57.190,0:06:02.410
1/2 은 6/12가 되고

0:06:02.410,0:06:06.030
여기에 1/12를 더하겠습니다

0:06:06.030,0:06:15.353
48 - 8 = 40이고 [br]여기서 36을 빼면 4

0:06:15.353,0:06:18.410
더하기 6은 10[br]더하기 1은 11

0:06:18.410,0:06:22.137
따라서 답은 11/12 가 됩니다

0:06:22.137,0:06:24.183
맞게 계산했는지 검토해 봅시다

0:06:24.183,0:06:28.830
48 - 8 = 40[br]40 - 36 = 4, 10, 11

0:06:28.830,0:06:30.040
맞습니다

0:06:30.040,0:06:31.955
이 두 값을 더해야 합니다

0:06:31.955,0:06:36.010
19 + 11 = 30[br]따라서 30/12이 됩니다

0:06:36.010,0:06:38.290
약분이 필요하겠네요

0:06:38.290,0:06:40.990
분자와 분모를 6으로 나누면

0:06:40.990,0:06:44.960
5/2,[br]혹은 2와 1/2이 됩니다

0:06:44.960,0:06:46.722
답이 나왔습니다

0:06:46.722,0:06:50.560
전체 영역의 넓이는

0:06:50.560,0:06:53.255
2와 1/2입니다