1
00:00:00,204 --> 00:00:02,519
이 동영상에서 알아 볼 내용은

2
00:00:02,519 --> 00:00:07,200
노란색으로 칠하는 부분의
면적을 구하는 문제입니다

3
00:00:07,200 --> 00:00:10,286
이 문제는 좀 어려워 보입니다

4
00:00:10,286 --> 00:00:12,810
왜냐하면 면적의 아랫부분은 
하나의 함수로만 이루어져서

5
00:00:12,810 --> 00:00:16,816
y = x²/4 - 1 의 그래프 하나만 
생각하면 되지만

6
00:00:16,816 --> 00:00:19,242
윗부분은 두 개의 
함수로 이루어져 있기 때문입니다

7
00:00:19,242 --> 00:00:20,700
이 문제를 풀기 위해서는

8
00:00:20,700 --> 00:00:23,290
이 영역을 두 부분으로 나누거나

9
00:00:23,290 --> 00:00:27,409
왼쪽, 오른쪽 두 영역으로 나누는 
방법을 써야 합니다

10
00:00:27,409 --> 00:00:30,742
여기 더 노란색으로 칠하는 
첫번째 영역에서

11
00:00:30,742 --> 00:00:34,310
x의 범위를 생각해 봅시다

12
00:00:34,310 --> 00:00:35,950
이 영역의 x의 범위는

13
00:00:35,950 --> 00:00:40,360
0에서 1사이인 것 같네요

14
00:00:40,360 --> 00:00:44,280
x가 1일 때 이 함수의 y 값은 1이고

15
00:00:44,280 --> 00:00:47,220
이 함수 역시 x = 1일때 
y 값이 1이 됩니다

16
00:00:47,220 --> 00:00:48,810
이 점의 좌표는 (1,1)이 되겠죠

17
00:00:48,810 --> 00:00:50,320
이 곳에서 영역이 나뉘어 집니다

18
00:00:50,320 --> 00:00:53,250
여기 있는 이 부분은

19
00:00:53,250 --> 00:00:57,420
영역의 윗부분이 
y = √x 입니다

20
00:00:57,420 --> 00:00:59,230
전체 영역을 이제 두 부분으로 나눠서

21
00:00:59,230 --> 00:01:05,036
문제를 풀어 보겠습니다

22
00:01:05,036 --> 00:01:08,527
x의 범위가 
1에서 2까지인

23
00:01:08,527 --> 00:01:10,306
이 부분은 윗부분이 
y = 2 - x 함수입니다

24
00:01:10,306 --> 00:01:11,905
한 번 풀어봅시다

25
00:01:11,905 --> 00:01:14,865
첫번째 영역을 먼저 생각해 보면

26
00:01:14,865 --> 00:01:19,761
구간 0에서 1까지의 정적분

27
00:01:19,761 --> 00:01:32,332
위에 있는 함수 √x 에서 
아랫부분에 있는 함수 x²/4 - 1을 빼줘야 합니다

28
00:01:32,332 --> 00:01:39,200
따라서 x가 0에서 1까지 
∫(√x - ( x²/4 - 1))

29
00:01:39,200 --> 00:01:42,400
이곳에 dx가 있어야 하겠죠

30
00:01:42,400 --> 00:01:46,350
이 식은 이 노란색 부분의 면적을
나타내는 식입니다

31
00:01:46,350 --> 00:01:51,499
이 영역에서 두 함수의 함수값 차이는

32
00:01:51,499 --> 00:01:55,421
실제로 이 높이가 됩니다

33
00:01:55,421 --> 00:01:57,820
다른 색으로 표시해 보겠습니다

34
00:01:57,820 --> 00:01:59,680
이 높이에 
x의 변화율 dx를 곱하면

35
00:01:59,680 --> 00:02:03,390
dx의 폭을 가진 직사각형의 넓이를 
구할 수 있습니다

36
00:02:03,390 --> 00:02:06,600
이 직사각형을 각각의 x에 대해 
그려주면

37
00:02:06,600 --> 00:02:08,860
서로 다른 크기의 직사각형을 
얻을 수 있습니다

38
00:02:08,860 --> 00:02:10,650
그 넓이를 모두 더하면 전체 영역의 
넓이가 됩니다

39
00:02:10,650 --> 00:02:14,570
그리고 x의 변화율을 
0에 가까운 극한으로 보내면

40
00:02:14,570 --> 00:02:16,664
극도로 얇은 모양의 직사각형들을 
얻을 수 있습니다

41
00:02:16,664 --> 00:02:18,330
직사각형의 갯수는 무한개가 됩니다

42
00:02:18,330 --> 00:02:22,836
이것이 바로 리만의 정의 혹은
정적분의 정의 입니다

43
00:02:22,836 --> 00:02:25,370
이 식은 왼쪽 부분의 넓이 입니다

44
00:02:25,370 --> 00:02:28,977
같은 원리로 오른쪽 부분의 넓이도 
구할 수 있습니다

45
00:02:28,977 --> 00:02:32,133
오른쪽 부분의 넓이를 구하는 식을
여기에 더하면 전체 넓이를 알 수 있습니다

46
00:02:32,133 --> 00:02:35,594
오른쪽 부분의 넓이는 
x가 0에서 , 아니죠

47
00:02:35,594 --> 00:02:38,530
x가 1에서 2사이 입니다

48
00:02:38,530 --> 00:02:42,130
윗부분 함수는 2-x

49
00:02:42,130 --> 00:02:51,796
여기에서 아랫부분의 함수 
x²/4 - 1을 빼주면 됩니다

50
00:02:51,796 --> 00:02:53,780
x는 1에서 2까지 
∫(2 - x - ( x²/4 - 1) )dx

51
00:02:53,780 --> 00:02:56,060
계산을 해 보겠습니다

52
00:02:56,060 --> 00:02:58,800
먼저 이 식을 간단히 해 봅시다

53
00:02:58,800 --> 00:03:12,123
x는 0에서 1까지 
∫(√x - x²/4 + 1) dx

54
00:03:12,123 --> 00:03:13,304
이 식에 더하기

55
00:03:13,304 --> 00:03:22,335
1에서 2까지 
∫(2 - x - x²/4

56
00:03:22,335 --> 00:03:26,068
- (-1)은 +1과 같으므로

57
00:03:26,068 --> 00:03:29,349
2에 1을 더하면 3

58
00:03:29,349 --> 00:03:35,080
∫(3 - x - x²/4) dx 라는 식이 됩니다

59
00:03:35,080 --> 00:03:42,177
적분을 풀어서 
0에서 1까지의 면적을 구해봅시다

60
00:03:42,177 --> 00:03:44,583
√x는 x의 1/2 제곱이므로

61
00:03:44,583 --> 00:03:47,933
지수가 1 증가하면
x의 3/2제곱이 되고

62
00:03:47,933 --> 00:03:49,568
새로운 지수의 역수를 
앞에 곱해줘야 하므로

63
00:03:49,568 --> 00:03:54,199
2/3x^3/2이 됩니다

64
00:03:54,199 --> 00:03:58,846
x²을 적분하면 x³이 되고

65
00:03:58,846 --> 00:04:02,888
3으로 나눠주는데 이미 1/4가 있으므로
12로 나눠줍니다

66
00:04:02,888 --> 00:04:04,463
여기에 더하기 x

67
00:04:04,463 --> 00:04:06,875
이것은 1을 적분한 것이죠

68
00:04:06,875 --> 00:04:09,583
이 값을 0에서 1까지 구합니다

69
00:04:09,590 --> 00:04:11,640
두번째 식은 적분하면

70
00:04:11,640 --> 00:04:22,877
(3x - x²/2 - x³/12)가 되고

71
00:04:22,877 --> 00:04:27,898
이 값을 1에서 2까지 구하면 됩니다

72
00:04:27,898 --> 00:04:30,610
여기에 1을 대입하면

73
00:04:30,610 --> 00:04:35,690
(2/3 - 1/12 +1) 이 되고

74
00:04:35,690 --> 00:04:41,020
0을 대입한 값을 빼야 하는데
그 값이 0이므로

75
00:04:41,020 --> 00:04:44,701
이렇게 간단히 할 수 있습니다

76
00:04:44,701 --> 00:04:57,639
이 부분은 2를 대입하면 6이 되고
2의 제곱을 2로 나누면 2,

77
00:04:57,639 --> 00:05:02,529
여기에 8/12를 빼면 됩니다

78
00:05:02,529 --> 00:05:05,896
이 계산 결과에서
x가 1일 때의 값을 빼 줍니다

79
00:05:05,896 --> 00:05:08,557
1을 넣으면 
3 X1 = 3이므로

80
00:05:08,557 --> 00:05:14,882
(3 - 1/2 - 1/12)

81
00:05:14,882 --> 00:05:19,185
이제 분수 계산만 잘 하면 됩니다

82
00:05:19,185 --> 00:05:22,345
여기서는 12가 최소 공배수가 되겠죠

83
00:05:22,345 --> 00:05:29,430
(8/12 - 1/12 + 12/12) 가 되고

84
00:05:29,430 --> 00:05:31,310
답은 뭘까요?

85
00:05:31,310 --> 00:05:37,305
19/12 입니다
여기 노란색 부분의 면적입니다

86
00:05:37,305 --> 00:05:43,280
그리고 6 - 2 = 4

87
00:05:43,280 --> 00:05:51,100
따라서 이 식은 
48/12 - 8/12 로 쓸 수 있겠죠

88
00:05:51,100 --> 00:05:57,190
3은 36/12로 고쳐서 빼 줍니다

89
00:05:57,190 --> 00:06:02,410
1/2 은 6/12가 되고

90
00:06:02,410 --> 00:06:06,030
여기에 1/12를 더하겠습니다

91
00:06:06,030 --> 00:06:15,353
48 - 8 = 40이고 
여기서 36을 빼면 4

92
00:06:15,353 --> 00:06:18,410
더하기 6은 10
더하기 1은 11

93
00:06:18,410 --> 00:06:22,137
따라서 답은 11/12 가 됩니다

94
00:06:22,137 --> 00:06:24,183
맞게 계산했는지 검토해 봅시다

95
00:06:24,183 --> 00:06:28,830
48 - 8 = 40
40 - 36 = 4, 10, 11

96
00:06:28,830 --> 00:06:30,040
맞습니다

97
00:06:30,040 --> 00:06:31,955
이 두 값을 더해야 합니다

98
00:06:31,955 --> 00:06:36,010
19 + 11 = 30
따라서 30/12이 됩니다

99
00:06:36,010 --> 00:06:38,290
약분이 필요하겠네요

100
00:06:38,290 --> 00:06:40,990
분자와 분모를 6으로 나누면

101
00:06:40,990 --> 00:06:44,960
5/2,
혹은 2와 1/2이 됩니다

102
00:06:44,960 --> 00:06:46,722
답이 나왔습니다

103
00:06:46,722 --> 00:06:50,560
전체 영역의 넓이는

104
00:06:50,560 --> 00:06:53,255
2와 1/2입니다