WEBVTT

00:00:00.204 --> 00:00:02.519
이 동영상에서 알아 볼 내용은

00:00:02.519 --> 00:00:07.200
노란색으로 칠하는 부분의
면적을 구하는 문제입니다

00:00:07.200 --> 00:00:10.286
이 문제는 좀 어려워 보입니다

00:00:10.286 --> 00:00:12.810
왜냐하면 면적의 아랫부분은 
하나의 함수로만 이루어져서

00:00:12.810 --> 00:00:16.816
y = x²/4 - 1 의 그래프 하나만 
생각하면 되지만

00:00:16.816 --> 00:00:19.242
윗부분은 두 개의 
함수로 이루어져 있기 때문입니다

00:00:19.242 --> 00:00:20.700
이 문제를 풀기 위해서는

00:00:20.700 --> 00:00:23.290
이 영역을 두 부분으로 나누거나

00:00:23.290 --> 00:00:27.409
왼쪽, 오른쪽 두 영역으로 나누는 
방법을 써야 합니다

00:00:27.409 --> 00:00:30.742
여기 더 노란색으로 칠하는 
첫번째 영역에서

00:00:30.742 --> 00:00:34.310
x의 범위를 생각해 봅시다

00:00:34.310 --> 00:00:35.950
이 영역의 x의 범위는

00:00:35.950 --> 00:00:40.360
0에서 1사이인 것 같네요

00:00:40.360 --> 00:00:44.280
x가 1일 때 이 함수의 y 값은 1이고

00:00:44.280 --> 00:00:47.220
이 함수 역시 x = 1일때 
y 값이 1이 됩니다

00:00:47.220 --> 00:00:48.810
이 점의 좌표는 (1,1)이 되겠죠

00:00:48.810 --> 00:00:50.320
이 곳에서 영역이 나뉘어 집니다

00:00:50.320 --> 00:00:53.250
여기 있는 이 부분은

00:00:53.250 --> 00:00:57.420
영역의 윗부분이 
y = √x 입니다

00:00:57.420 --> 00:00:59.230
전체 영역을 이제 두 부분으로 나눠서

00:00:59.230 --> 00:01:05.036
문제를 풀어 보겠습니다

00:01:05.036 --> 00:01:08.527
x의 범위가 
1에서 2까지인

00:01:08.527 --> 00:01:10.306
이 부분은 윗부분이 
y = 2 - x 함수입니다

00:01:10.306 --> 00:01:11.905
한 번 풀어봅시다

00:01:11.905 --> 00:01:14.865
첫번째 영역을 먼저 생각해 보면

00:01:14.865 --> 00:01:19.761
구간 0에서 1까지의 정적분

00:01:19.761 --> 00:01:32.332
위에 있는 함수 √x 에서 
아랫부분에 있는 함수 x²/4 - 1을 빼줘야 합니다

00:01:32.332 --> 00:01:39.200
따라서 x가 0에서 1까지 
∫(√x - ( x²/4 - 1))

00:01:39.200 --> 00:01:42.400
이곳에 dx가 있어야 하겠죠

00:01:42.400 --> 00:01:46.350
이 식은 이 노란색 부분의 면적을
나타내는 식입니다

00:01:46.350 --> 00:01:51.499
이 영역에서 두 함수의 함수값 차이는

00:01:51.499 --> 00:01:55.421
실제로 이 높이가 됩니다

00:01:55.421 --> 00:01:57.820
다른 색으로 표시해 보겠습니다

00:01:57.820 --> 00:01:59.680
이 높이에 
x의 변화율 dx를 곱하면

00:01:59.680 --> 00:02:03.390
dx의 폭을 가진 직사각형의 넓이를 
구할 수 있습니다

00:02:03.390 --> 00:02:06.600
이 직사각형을 각각의 x에 대해 
그려주면

00:02:06.600 --> 00:02:08.860
서로 다른 크기의 직사각형을 
얻을 수 있습니다

00:02:08.860 --> 00:02:10.650
그 넓이를 모두 더하면 전체 영역의 
넓이가 됩니다

00:02:10.650 --> 00:02:14.570
그리고 x의 변화율을 
0에 가까운 극한으로 보내면

00:02:14.570 --> 00:02:16.664
극도로 얇은 모양의 직사각형들을 
얻을 수 있습니다

00:02:16.664 --> 00:02:18.330
직사각형의 갯수는 무한개가 됩니다

00:02:18.330 --> 00:02:22.836
이것이 바로 리만의 정의 혹은
정적분의 정의 입니다

00:02:22.836 --> 00:02:25.370
이 식은 왼쪽 부분의 넓이 입니다

00:02:25.370 --> 00:02:28.977
같은 원리로 오른쪽 부분의 넓이도 
구할 수 있습니다

00:02:28.977 --> 00:02:32.133
오른쪽 부분의 넓이를 구하는 식을
여기에 더하면 전체 넓이를 알 수 있습니다

00:02:32.133 --> 00:02:35.594
오른쪽 부분의 넓이는 
x가 0에서 , 아니죠

00:02:35.594 --> 00:02:38.530
x가 1에서 2사이 입니다

00:02:38.530 --> 00:02:42.130
윗부분 함수는 2-x

00:02:42.130 --> 00:02:51.796
여기에서 아랫부분의 함수 
x²/4 - 1을 빼주면 됩니다

00:02:51.796 --> 00:02:53.780
x는 1에서 2까지 
∫(2 - x - ( x²/4 - 1) )dx

00:02:53.780 --> 00:02:56.060
계산을 해 보겠습니다

00:02:56.060 --> 00:02:58.800
먼저 이 식을 간단히 해 봅시다

00:02:58.800 --> 00:03:12.123
x는 0에서 1까지 
∫(√x - x²/4 + 1) dx

00:03:12.123 --> 00:03:13.304
이 식에 더하기

00:03:13.304 --> 00:03:22.335
1에서 2까지 
∫(2 - x - x²/4

00:03:22.335 --> 00:03:26.068
- (-1)은 +1과 같으므로

00:03:26.068 --> 00:03:29.349
2에 1을 더하면 3

00:03:29.349 --> 00:03:35.080
∫(3 - x - x²/4) dx 라는 식이 됩니다

00:03:35.080 --> 00:03:42.177
적분을 풀어서 
0에서 1까지의 면적을 구해봅시다

00:03:42.177 --> 00:03:44.583
√x는 x의 1/2 제곱이므로

00:03:44.583 --> 00:03:47.933
지수가 1 증가하면
x의 3/2제곱이 되고

00:03:47.933 --> 00:03:49.568
새로운 지수의 역수를 
앞에 곱해줘야 하므로

00:03:49.568 --> 00:03:54.199
2/3x^3/2이 됩니다

00:03:54.199 --> 00:03:58.846
x²을 적분하면 x³이 되고

00:03:58.846 --> 00:04:02.888
3으로 나눠주는데 이미 1/4가 있으므로
12로 나눠줍니다

00:04:02.888 --> 00:04:04.463
여기에 더하기 x

00:04:04.463 --> 00:04:06.875
이것은 1을 적분한 것이죠

00:04:06.875 --> 00:04:09.583
이 값을 0에서 1까지 구합니다

00:04:09.590 --> 00:04:11.640
두번째 식은 적분하면

00:04:11.640 --> 00:04:22.877
(3x - x²/2 - x³/12)가 되고

00:04:22.877 --> 00:04:27.898
이 값을 1에서 2까지 구하면 됩니다

00:04:27.898 --> 00:04:30.610
여기에 1을 대입하면

00:04:30.610 --> 00:04:35.690
(2/3 - 1/12 +1) 이 되고

00:04:35.690 --> 00:04:41.020
0을 대입한 값을 빼야 하는데
그 값이 0이므로

00:04:41.020 --> 00:04:44.701
이렇게 간단히 할 수 있습니다

00:04:44.701 --> 00:04:57.639
이 부분은 2를 대입하면 6이 되고
2의 제곱을 2로 나누면 2,

00:04:57.639 --> 00:05:02.529
여기에 8/12를 빼면 됩니다

00:05:02.529 --> 00:05:05.896
이 계산 결과에서
x가 1일 때의 값을 빼 줍니다

00:05:05.896 --> 00:05:08.557
1을 넣으면 
3 X1 = 3이므로

00:05:08.557 --> 00:05:14.882
(3 - 1/2 - 1/12)

00:05:14.882 --> 00:05:19.185
이제 분수 계산만 잘 하면 됩니다

00:05:19.185 --> 00:05:22.345
여기서는 12가 최소 공배수가 되겠죠

00:05:22.345 --> 00:05:29.430
(8/12 - 1/12 + 12/12) 가 되고

00:05:29.430 --> 00:05:31.310
답은 뭘까요?

00:05:31.310 --> 00:05:37.305
19/12 입니다
여기 노란색 부분의 면적입니다

00:05:37.305 --> 00:05:43.280
그리고 6 - 2 = 4

00:05:43.280 --> 00:05:51.100
따라서 이 식은 
48/12 - 8/12 로 쓸 수 있겠죠

00:05:51.100 --> 00:05:57.190
3은 36/12로 고쳐서 빼 줍니다

00:05:57.190 --> 00:06:02.410
1/2 은 6/12가 되고

00:06:02.410 --> 00:06:06.030
여기에 1/12를 더하겠습니다

00:06:06.030 --> 00:06:15.353
48 - 8 = 40이고 
여기서 36을 빼면 4

00:06:15.353 --> 00:06:18.410
더하기 6은 10
더하기 1은 11

00:06:18.410 --> 00:06:22.137
따라서 답은 11/12 가 됩니다

00:06:22.137 --> 00:06:24.183
맞게 계산했는지 검토해 봅시다

00:06:24.183 --> 00:06:28.830
48 - 8 = 40
40 - 36 = 4, 10, 11

00:06:28.830 --> 00:06:30.040
맞습니다

00:06:30.040 --> 00:06:31.955
이 두 값을 더해야 합니다

00:06:31.955 --> 00:06:36.010
19 + 11 = 30
따라서 30/12이 됩니다

00:06:36.010 --> 00:06:38.290
약분이 필요하겠네요

00:06:38.290 --> 00:06:40.990
분자와 분모를 6으로 나누면

00:06:40.990 --> 00:06:44.960
5/2,
혹은 2와 1/2이 됩니다

00:06:44.960 --> 00:06:46.722
답이 나왔습니다

00:06:46.722 --> 00:06:50.560
전체 영역의 넓이는

00:06:50.560 --> 00:06:53.255
2와 1/2입니다