Co chcę zrobić w tym filmie,
to znaleźć pole tego obszaru,
który maluję na żółto.
I co może okazać się wyzwaniem,
to to, że przez ten obszar
mam tu pewną dolną funkcję.
I jak się zdaje,
dolne ograniczenie to y
równy x do kwadratu
przez 4 odjąć 1.
Ale mam inne ograniczenie górne.
I sposób w jaki możemy
sobie z tym poradzić
to podział tego pola
na dwie części,
czy też tego obszaru
na dwa obszary, na obszar po lewej
stronie i obszar po
prawej stronie, gdzie
dla pierwszego obszaru,
który zrobię -
nawet więcej pokoloruję na żółto -
dla tego pierwszego obszaru
dla całego przedziału dla x.
I wygląda na to,
że x znajduje się między 0 i 1.
y jest równy - gdy x jest równy 1,
to ta funkcja wynosi 1.
Gdy x jest równy 1, to
ta funkcja także jest równa 1.
Czyli to jest punkt 1 przecinek 1.
Tu się nakładają.
Więc ta sekcja,
ten podobszar,
y równy pierwiastek z x jest
funkcją ograniczającą z gówy
cały czas. I możemy mieć
- pokolorujmy inaczej -
możemy osobno zabrać się
za znalezienie
pola tego obszaru.
Od x równego 1
do x równego 2,
gdzie y równe 2 odjąć x,
jest górnym ograniczeniem.
Zróbmy to.
Pomyślmy wpierw
o tym obszarze.
Więc, to będzie całka
oznaczona od x równego 0
do x równego 1.
A nasze górne ograniczenie to pierwiastek
z x, tak więc pierwiastek z x.
A teraz od tego chcemy
odjąć naszą niższą funkcję;
pierwiastek z x odjąć x
do kwadratu przez 4 odjąć 1.
I oczywiście mamy nasze dx.
Więc to po prawej , to
opisuje żółte pole.
I jak można się domyśleć,
że ta o to część,
różnica między tymi
dwoma funkcjami
jest w istocie tą wysokością.
Pomaluję to na inny kolor.
A teraz mnożymy to przez dx.
Otrzymujemy niewielki
prostokąt o szerokości dx.
I robimy to dla każdego x.
Dla każdego x
otrzymujemy inny prostokąt.
Następnie je wszystkie sumujemy.
Zbiegamy zmianą
x do zera.
Czyli otrzymujemy super
super cienkie prostokąty
i mamy ich nieskończoną liczbę.
I to jest nasza definicja,
lub definicja Riemanna
czym jest całka oznaczona.
Czyli to jest pole lewego obszaru.
I rozumując identycznie,
możemy znaleźć
pole prawego obszaru.
Prawy obszar, później
będziemy mogli
po prostu je do siebie dodać.
Prawy obszar, zaczynamy
od x równego 0 do x,
wybaczcie, od x równego 1 do x równego 2,
od 1 do 2.
Wyższa funkcja jest równa
2 odjąć x.
Od tego odejmiemy dolną funkcję,
która wynosi x do kwadratu
przez 4 odjąć 1.
A teraz musimy tylko to obliczyć.
Wpierw uprośćmy
to po prawej.
Jest to równe całce oznaczonej
od 0 do 1 z pierwiastka z x
odjąć x do kwadratu przez 4 dodać 1,
dx - napiszę to wszystko w jednym kolorze -
dodać całka oznaczona
od 1 do 2 z 2 odjąć x,
odjąć x do kwadratu przez 4.
Dalej, odjęcie liczby ujemnej
daje dodatnie 3 - lub dodatnie 1.
Możemy po prostu dodać to do tej 2.
Więc to 2 staje się 3.
Powiedziałem 2 odjąć
minus 1 to 3, dx.
A teraz wystarczy wziąć
funkcję pierwotną
i obliczyć ją dla 1 i 0.
Więc funkcja pierwotna tego, to,
to jest x do potęgi 1/2.
Dodajemy 1.
Po dodaniu 1 do potęgi,
mamy x do 3/2,
później mnożymy przez odwrotność
nowego wykładnika,
więc to jest 2/3 x do 3/2.
Odejmujemy funkcję pierwotną
x do kwadratu przez 4
to jest x do trzeciej przez 3,
podzielone przez 4, więc podzielone przez 12,
dodać x.
To funkcja pierwotna dla 1.
Obliczymy to dla 1 i dla 0.
Tak więc funkcja pierwotna
to 3x minus x
do kwadratu przez 2 minus x
do 3 przez 12.
Jeszcze raz policzymy to
- albo nie jeszcze raz.
Teraz policzymy to dla 2
i dla 1.
Tak więc tutaj wszystko
to liczymy w 1.
Dostajemy 2/3 odjąć 1/12 dodać 1.
I od tego odejmujemy to
obliczone dla 0.
Ale to wszystko daje 0,
więc otrzymujemy nic.
Czyli do tego uprościł
się żółty kawałek.
A teraz ten fioletowy kawałek,
czy też fuksjowy
czy fiołkowy, czy jakikolwiek ten kolor jest,
wpierw obliczamy to w 2.
Otrzymujemy, 6 odjąć, zobaczmy,
2 do kwadratu przez 2 to jest 2, odjąć 8
przez 12.
A od tego odejmiemy
to obliczone dla 1.
Więc to będzie 3 razy 1 - to jest 3 -
odjąć 1/2 odjąć 1
przez 12.
I teraz w końcu
co trzeba zrobić
to dodać kilka funkcji.
Zobaczmy czy potrafimy to zrobić.
Wygląda na to, że 12 będzie
najbardziej oczywistym
wspólnym mianownikiem.
Czyli tutaj mamy 8/12
odjąć 1/12 dodać 12/12.
Czyli to się upraszcza -
do czego?
To jest 19/12, ta żółta część.
A teraz ten kawałek,
zrobię to w tym kolorze.
Tak więc 6 odjąć 2, to po
prostu będzie 4.
Czyli możemy to zapisać jako
48/12 - to jest 4 - odjąć 8/12.
I teraz będzie trzeba
odjąć 3, czyli 36/12.
Teraz dodamy do 1/2,
czyli po prostu 6/12,
a teraz dodamy do 1/12.
Czyli to wszystko się uprości do,
- zobaczmy, 48 odjąć 8
to 40, odjąć 36 to 4,
dodać 6 to 10, dodać 1 to 11.
Czyli razem to 11/12 na plusie.
Jeszcze się upewnię
czy dobrze policzyłem.
48 odjąć 8 to 40,
odjąć 36 to 5, 10, 11.
Wygląda, że dobrze.
I jesteśmy gotowi by
dodać te dwie rzeczy.
19 dodać 11 daje 30/12.
Lu b jeśli chcemy to trochę
uprościć,
możemy podzielić licznik
i mianownik przez 6.
To daje 5/2,
czy też 2 i 1/2.
I gotowe.
Obliczyliśmy pole tego całego obszaru.
Jest to 2 i 1/2.