0:00:00.000,0:00:02.025 0:00:02.025,0:00:04.050 Co chcę zrobić w tym filmie,[br]to znaleźć pole tego obszaru, 0:00:04.050,0:00:07.200 który maluję na żółto. 0:00:07.200,0:00:11.140 I co może okazać się wyzwaniem,[br]to to, że przez ten obszar 0:00:11.140,0:00:12.810 mam tu pewną dolną funkcję. 0:00:12.810,0:00:14.540 I jak się zdaje,[br]dolne ograniczenie to y 0:00:14.540,0:00:16.870 równy x do kwadratu[br]przez 4 odjąć 1. 0:00:16.870,0:00:19.242 Ale mam inne ograniczenie górne. 0:00:19.242,0:00:20.700 I sposób w jaki możemy [br]sobie z tym poradzić 0:00:20.700,0:00:23.290 to podział tego pola [br]na dwie części, 0:00:23.290,0:00:26.640 czy też tego obszaru[br]na dwa obszary, na obszar po lewej 0:00:26.640,0:00:28.250 stronie i obszar po[br]prawej stronie, gdzie 0:00:28.250,0:00:30.730 dla pierwszego obszaru,[br]który zrobię - 0:00:30.730,0:00:34.310 nawet więcej pokoloruję na żółto -[br]dla tego pierwszego obszaru 0:00:34.310,0:00:35.950 dla całego przedziału dla x. 0:00:35.950,0:00:40.360 I wygląda na to, [br]że x znajduje się między 0 i 1. 0:00:40.360,0:00:44.280 y jest równy - gdy x jest równy 1,[br]to ta funkcja wynosi 1. 0:00:44.280,0:00:47.220 Gdy x jest równy 1, to[br]ta funkcja także jest równa 1. 0:00:47.220,0:00:48.810 Czyli to jest punkt 1 przecinek 1. 0:00:48.810,0:00:50.320 Tu się nakładają. 0:00:50.320,0:00:53.250 Więc ta sekcja,[br]ten podobszar, 0:00:53.250,0:00:57.420 y równy pierwiastek z x jest [br]funkcją ograniczającą z gówy 0:00:57.420,0:00:59.230 cały czas. I możemy mieć[br]- pokolorujmy inaczej - 0:00:59.230,0:01:02.860 możemy osobno zabrać się [br]za znalezienie 0:01:02.860,0:01:04.920 pola tego obszaru. 0:01:04.920,0:01:07.960 Od x równego 1[br]do x równego 2, 0:01:07.960,0:01:10.890 gdzie y równe 2 odjąć x,[br]jest górnym ograniczeniem. 0:01:10.890,0:01:12.450 Zróbmy to. 0:01:12.450,0:01:14.710 Pomyślmy wpierw [br]o tym obszarze. 0:01:14.710,0:01:17.050 Więc, to będzie całka[br]oznaczona od x równego 0 0:01:17.050,0:01:19.640 do x równego 1. 0:01:19.640,0:01:25.120 A nasze górne ograniczenie to pierwiastek[br]z x, tak więc pierwiastek z x. 0:01:25.120,0:01:28.390 A teraz od tego chcemy[br]odjąć naszą niższą funkcję; 0:01:28.390,0:01:33.060 pierwiastek z x odjąć x[br]do kwadratu przez 4 odjąć 1. 0:01:33.060,0:01:37.730 0:01:37.730,0:01:42.400 I oczywiście mamy nasze dx. 0:01:42.400,0:01:46.350 Więc to po prawej , to[br]opisuje żółte pole. 0:01:46.350,0:01:49.730 I jak można się domyśleć, [br]że ta o to część, 0:01:49.730,0:01:51.660 różnica między tymi[br]dwoma funkcjami 0:01:51.660,0:01:53.164 jest w istocie tą wysokością. 0:01:53.164,0:01:55.336 Pomaluję to na inny kolor. 0:01:55.336,0:01:57.508 0:01:57.508,0:01:59.680 A teraz mnożymy to przez dx. 0:01:59.680,0:02:03.390 Otrzymujemy niewielki [br]prostokąt o szerokości dx. 0:02:03.390,0:02:06.600 I robimy to dla każdego x. 0:02:06.600,0:02:08.860 Dla każdego x [br]otrzymujemy inny prostokąt. 0:02:08.860,0:02:10.650 Następnie je wszystkie sumujemy. 0:02:10.650,0:02:14.570 Zbiegamy zmianą[br]x do zera. 0:02:14.570,0:02:16.664 Czyli otrzymujemy super[br]super cienkie prostokąty 0:02:16.664,0:02:18.330 i mamy ich nieskończoną liczbę. 0:02:18.330,0:02:21.060 I to jest nasza definicja,[br]lub definicja Riemanna 0:02:21.060,0:02:22.820 czym jest całka oznaczona. 0:02:22.820,0:02:25.370 Czyli to jest pole lewego obszaru. 0:02:25.370,0:02:27.370 I rozumując identycznie,[br]możemy znaleźć 0:02:27.370,0:02:28.972 pole prawego obszaru. 0:02:28.972,0:02:30.680 Prawy obszar, później [br]będziemy mogli 0:02:30.680,0:02:32.127 po prostu je do siebie dodać. 0:02:32.127,0:02:34.210 Prawy obszar, zaczynamy [br]od x równego 0 do x, 0:02:34.210,0:02:38.530 wybaczcie, od x równego 1 do x równego 2,[br]od 1 do 2. 0:02:38.530,0:02:42.130 Wyższa funkcja jest równa [br]2 odjąć x. 0:02:42.130,0:02:47.220 Od tego odejmiemy dolną funkcję, 0:02:47.220,0:02:50.166 która wynosi x do kwadratu[br]przez 4 odjąć 1. 0:02:50.166,0:02:53.112 0:02:53.112,0:02:56.060 A teraz musimy tylko to obliczyć. 0:02:56.060,0:02:58.800 Wpierw uprośćmy[br]to po prawej. 0:02:58.800,0:03:02.100 Jest to równe całce oznaczonej 0:03:02.100,0:03:09.220 od 0 do 1 z pierwiastka z x[br]odjąć x do kwadratu przez 4 dodać 1, 0:03:09.220,0:03:12.020 dx - napiszę to wszystko w jednym kolorze - 0:03:12.020,0:03:18.710 dodać całka oznaczona [br]od 1 do 2 z 2 odjąć x, 0:03:18.710,0:03:21.330 odjąć x do kwadratu przez 4. 0:03:21.330,0:03:25.330 Dalej, odjęcie liczby ujemnej [br]daje dodatnie 3 - lub dodatnie 1. 0:03:25.330,0:03:26.650 Możemy po prostu dodać to do tej 2. 0:03:26.650,0:03:29.330 Więc to 2 staje się 3. 0:03:29.330,0:03:34.747 Powiedziałem 2 odjąć[br]minus 1 to 3, dx. 0:03:34.747,0:03:36.705 A teraz wystarczy wziąć [br]funkcję pierwotną 0:03:36.705,0:03:39.310 i obliczyć ją dla 1 i 0. 0:03:39.310,0:03:42.130 Więc funkcja pierwotna tego, to, 0:03:42.130,0:03:43.480 to jest x do potęgi 1/2. 0:03:43.480,0:03:44.730 Dodajemy 1. 0:03:44.730,0:03:47.500 Po dodaniu 1 do potęgi,[br]mamy x do 3/2, 0:03:47.500,0:03:49.200 później mnożymy przez odwrotność 0:03:49.200,0:03:53.650 nowego wykładnika,[br]więc to jest 2/3 x do 3/2. 0:03:53.650,0:03:56.410 Odejmujemy funkcję pierwotną[br]x do kwadratu przez 4 0:03:56.410,0:04:02.160 to jest x do trzeciej przez 3,[br]podzielone przez 4, więc podzielone przez 12, 0:04:02.160,0:04:03.660 dodać x. 0:04:03.660,0:04:05.510 To funkcja pierwotna dla 1. 0:04:05.510,0:04:09.590 Obliczymy to dla 1 i dla 0. 0:04:09.590,0:04:11.640 Tak więc funkcja pierwotna 0:04:11.640,0:04:19.670 to 3x minus x [br]do kwadratu przez 2 minus x 0:04:19.670,0:04:22.029 do 3 przez 12. 0:04:22.029,0:04:24.450 Jeszcze raz policzymy to[br]- albo nie jeszcze raz. 0:04:24.450,0:04:28.460 Teraz policzymy to dla 2[br]i dla 1. 0:04:28.460,0:04:30.610 Tak więc tutaj wszystko[br]to liczymy w 1. 0:04:30.610,0:04:35.690 Dostajemy 2/3 odjąć 1/12 dodać 1. 0:04:35.690,0:04:38.410 I od tego odejmujemy to[br]obliczone dla 0. 0:04:38.410,0:04:41.010 Ale to wszystko daje 0,[br]więc otrzymujemy nic. 0:04:41.010,0:04:44.260 Czyli do tego uprościł[br]się żółty kawałek. 0:04:44.260,0:04:46.740 A teraz ten fioletowy kawałek, [br]czy też fuksjowy 0:04:46.740,0:04:51.070 czy fiołkowy, czy jakikolwiek ten kolor jest,[br]wpierw obliczamy to w 2. 0:04:51.070,0:04:58.330 Otrzymujemy, 6 odjąć, zobaczmy,[br]2 do kwadratu przez 2 to jest 2, odjąć 8 0:04:58.330,0:05:00.103 przez 12. 0:05:00.103,0:05:01.876 0:05:01.876,0:05:03.650 A od tego odejmiemy 0:05:03.650,0:05:05.460 to obliczone dla 1. 0:05:05.460,0:05:13.270 Więc to będzie 3 razy 1 - to jest 3 -[br]odjąć 1/2 odjąć 1 0:05:13.270,0:05:14.604 przez 12. 0:05:14.604,0:05:16.270 I teraz w końcu [br]co trzeba zrobić 0:05:16.270,0:05:17.889 to dodać kilka funkcji. 0:05:17.889,0:05:19.180 Zobaczmy czy potrafimy to zrobić. 0:05:19.180,0:05:20.930 Wygląda na to, że 12 będzie[br]najbardziej oczywistym 0:05:20.930,0:05:22.300 wspólnym mianownikiem. 0:05:22.300,0:05:29.430 Czyli tutaj mamy 8/12[br]odjąć 1/12 dodać 12/12. 0:05:29.430,0:05:31.310 Czyli to się upraszcza -[br]do czego? 0:05:31.310,0:05:36.440 To jest 19/12, ta żółta część. 0:05:36.440,0:05:40.190 A teraz ten kawałek,[br]zrobię to w tym kolorze. 0:05:40.190,0:05:43.280 Tak więc 6 odjąć 2, to po [br]prostu będzie 4. 0:05:43.280,0:05:51.100 Czyli możemy to zapisać jako [br]48/12 - to jest 4 - odjąć 8/12. 0:05:51.100,0:05:54.870 I teraz będzie trzeba[br]odjąć 3, czyli 36/12. 0:05:54.870,0:05:58.640 0:05:58.640,0:06:02.410 Teraz dodamy do 1/2,[br]czyli po prostu 6/12, 0:06:02.410,0:06:06.030 a teraz dodamy do 1/12. 0:06:06.030,0:06:10.730 Czyli to wszystko się uprości do,[br]- zobaczmy, 48 odjąć 8 0:06:10.730,0:06:18.410 to 40, odjąć 36 to 4, [br]dodać 6 to 10, dodać 1 to 11. 0:06:18.410,0:06:21.614 Czyli razem to 11/12 na plusie. 0:06:21.614,0:06:23.030 Jeszcze się upewnię[br]czy dobrze policzyłem. 0:06:23.030,0:06:28.830 48 odjąć 8 to 40,[br]odjąć 36 to 5, 10, 11. 0:06:28.830,0:06:30.040 Wygląda, że dobrze. 0:06:30.040,0:06:31.955 I jesteśmy gotowi by [br]dodać te dwie rzeczy. 0:06:31.955,0:06:36.010 19 dodać 11 daje 30/12. 0:06:36.010,0:06:38.290 Lu b jeśli chcemy to trochę[br]uprościć, 0:06:38.290,0:06:40.990 możemy podzielić licznik[br]i mianownik przez 6. 0:06:40.990,0:06:44.960 To daje 5/2,[br]czy też 2 i 1/2. 0:06:44.960,0:06:45.630 I gotowe. 0:06:45.630,0:06:50.560 Obliczyliśmy pole tego całego obszaru. 0:06:50.560,0:06:53.255 Jest to 2 i 1/2.