1
00:00:00,000 --> 00:00:02,025


2
00:00:02,025 --> 00:00:04,050
Co chcę zrobić w tym filmie,
to znaleźć pole tego obszaru,

3
00:00:04,050 --> 00:00:07,200
który maluję na żółto.

4
00:00:07,200 --> 00:00:11,140
I co może okazać się wyzwaniem,
to to, że przez ten obszar

5
00:00:11,140 --> 00:00:12,810
mam tu pewną dolną funkcję.

6
00:00:12,810 --> 00:00:14,540
I jak się zdaje,
dolne ograniczenie to y

7
00:00:14,540 --> 00:00:16,870
równy x do kwadratu
przez 4 odjąć 1.

8
00:00:16,870 --> 00:00:19,242
Ale mam inne ograniczenie górne.

9
00:00:19,242 --> 00:00:20,700
I sposób w jaki możemy 
sobie z tym poradzić

10
00:00:20,700 --> 00:00:23,290
to podział tego pola 
na dwie części,

11
00:00:23,290 --> 00:00:26,640
czy też tego obszaru
na dwa obszary, na obszar po lewej

12
00:00:26,640 --> 00:00:28,250
stronie i obszar po
prawej stronie, gdzie

13
00:00:28,250 --> 00:00:30,730
dla pierwszego obszaru,
który zrobię -

14
00:00:30,730 --> 00:00:34,310
nawet więcej pokoloruję na żółto -
dla tego pierwszego obszaru

15
00:00:34,310 --> 00:00:35,950
dla całego przedziału dla x.

16
00:00:35,950 --> 00:00:40,360
I wygląda na to, 
że x znajduje się między 0 i 1.

17
00:00:40,360 --> 00:00:44,280
y jest równy - gdy x jest równy 1,
to ta funkcja wynosi 1.

18
00:00:44,280 --> 00:00:47,220
Gdy x jest równy 1, to
ta funkcja także jest równa 1.

19
00:00:47,220 --> 00:00:48,810
Czyli to jest punkt 1 przecinek 1.

20
00:00:48,810 --> 00:00:50,320
Tu się nakładają.

21
00:00:50,320 --> 00:00:53,250
Więc ta sekcja,
ten podobszar,

22
00:00:53,250 --> 00:00:57,420
y równy pierwiastek z x jest 
funkcją ograniczającą z gówy

23
00:00:57,420 --> 00:00:59,230
cały czas. I możemy mieć
- pokolorujmy inaczej -

24
00:00:59,230 --> 00:01:02,860
możemy osobno zabrać się 
za znalezienie

25
00:01:02,860 --> 00:01:04,920
pola tego obszaru.

26
00:01:04,920 --> 00:01:07,960
Od x równego 1
do x równego 2,

27
00:01:07,960 --> 00:01:10,890
gdzie y równe 2 odjąć x,
jest górnym ograniczeniem.

28
00:01:10,890 --> 00:01:12,450
Zróbmy to.

29
00:01:12,450 --> 00:01:14,710
Pomyślmy wpierw 
o tym obszarze.

30
00:01:14,710 --> 00:01:17,050
Więc, to będzie całka
oznaczona od x równego 0

31
00:01:17,050 --> 00:01:19,640
do x równego 1.

32
00:01:19,640 --> 00:01:25,120
A nasze górne ograniczenie to pierwiastek
z x, tak więc pierwiastek z x.

33
00:01:25,120 --> 00:01:28,390
A teraz od tego chcemy
odjąć naszą niższą funkcję;

34
00:01:28,390 --> 00:01:33,060
pierwiastek z x odjąć x
do kwadratu przez 4 odjąć 1.

35
00:01:33,060 --> 00:01:37,730


36
00:01:37,730 --> 00:01:42,400
I oczywiście mamy nasze dx.

37
00:01:42,400 --> 00:01:46,350
Więc to po prawej , to
opisuje żółte pole.

38
00:01:46,350 --> 00:01:49,730
I jak można się domyśleć, 
że ta o to część,

39
00:01:49,730 --> 00:01:51,660
różnica między tymi
dwoma funkcjami

40
00:01:51,660 --> 00:01:53,164
jest w istocie tą wysokością.

41
00:01:53,164 --> 00:01:55,336
Pomaluję to na inny kolor.

42
00:01:55,336 --> 00:01:57,508


43
00:01:57,508 --> 00:01:59,680
A teraz mnożymy to przez dx.

44
00:01:59,680 --> 00:02:03,390
Otrzymujemy niewielki 
prostokąt o szerokości dx.

45
00:02:03,390 --> 00:02:06,600
I robimy to dla każdego x.

46
00:02:06,600 --> 00:02:08,860
Dla każdego x 
otrzymujemy inny prostokąt.

47
00:02:08,860 --> 00:02:10,650
Następnie je wszystkie sumujemy.

48
00:02:10,650 --> 00:02:14,570
Zbiegamy zmianą
x do zera.

49
00:02:14,570 --> 00:02:16,664
Czyli otrzymujemy super
super cienkie prostokąty

50
00:02:16,664 --> 00:02:18,330
i mamy ich nieskończoną liczbę.

51
00:02:18,330 --> 00:02:21,060
I to jest nasza definicja,
lub definicja Riemanna

52
00:02:21,060 --> 00:02:22,820
czym jest całka oznaczona.

53
00:02:22,820 --> 00:02:25,370
Czyli to jest pole lewego obszaru.

54
00:02:25,370 --> 00:02:27,370
I rozumując identycznie,
możemy znaleźć

55
00:02:27,370 --> 00:02:28,972
pole prawego obszaru.

56
00:02:28,972 --> 00:02:30,680
Prawy obszar, później 
będziemy mogli

57
00:02:30,680 --> 00:02:32,127
po prostu je do siebie dodać.

58
00:02:32,127 --> 00:02:34,210
Prawy obszar, zaczynamy 
od x równego 0 do x,

59
00:02:34,210 --> 00:02:38,530
wybaczcie, od x równego 1 do x równego 2,
od 1 do 2.

60
00:02:38,530 --> 00:02:42,130
Wyższa funkcja jest równa 
2 odjąć x.

61
00:02:42,130 --> 00:02:47,220
Od tego odejmiemy dolną funkcję,

62
00:02:47,220 --> 00:02:50,166
która wynosi x do kwadratu
przez 4 odjąć 1.

63
00:02:50,166 --> 00:02:53,112


64
00:02:53,112 --> 00:02:56,060
A teraz musimy tylko to obliczyć.

65
00:02:56,060 --> 00:02:58,800
Wpierw uprośćmy
to po prawej.

66
00:02:58,800 --> 00:03:02,100
Jest to równe całce oznaczonej

67
00:03:02,100 --> 00:03:09,220
od 0 do 1 z pierwiastka z x
odjąć x do kwadratu przez 4 dodać 1,

68
00:03:09,220 --> 00:03:12,020
dx - napiszę to wszystko w jednym kolorze -

69
00:03:12,020 --> 00:03:18,710
dodać całka oznaczona 
od 1 do 2 z 2 odjąć x,

70
00:03:18,710 --> 00:03:21,330
odjąć x do kwadratu przez 4.

71
00:03:21,330 --> 00:03:25,330
Dalej, odjęcie liczby ujemnej 
daje dodatnie 3 - lub dodatnie 1.

72
00:03:25,330 --> 00:03:26,650
Możemy po prostu dodać to do tej 2.

73
00:03:26,650 --> 00:03:29,330
Więc to 2 staje się 3.

74
00:03:29,330 --> 00:03:34,747
Powiedziałem 2 odjąć
minus 1 to 3, dx.

75
00:03:34,747 --> 00:03:36,705
A teraz wystarczy wziąć 
funkcję pierwotną

76
00:03:36,705 --> 00:03:39,310
i obliczyć ją dla 1 i 0.

77
00:03:39,310 --> 00:03:42,130
Więc funkcja pierwotna tego, to,

78
00:03:42,130 --> 00:03:43,480
to jest x do potęgi 1/2.

79
00:03:43,480 --> 00:03:44,730
Dodajemy 1.

80
00:03:44,730 --> 00:03:47,500
Po dodaniu 1 do potęgi,
mamy x do 3/2,

81
00:03:47,500 --> 00:03:49,200
później mnożymy przez odwrotność

82
00:03:49,200 --> 00:03:53,650
nowego wykładnika,
więc to jest 2/3 x do 3/2.

83
00:03:53,650 --> 00:03:56,410
Odejmujemy funkcję pierwotną
x do kwadratu przez 4

84
00:03:56,410 --> 00:04:02,160
to jest x do trzeciej przez 3,
podzielone przez 4, więc podzielone przez 12,

85
00:04:02,160 --> 00:04:03,660
dodać x.

86
00:04:03,660 --> 00:04:05,510
To funkcja pierwotna dla 1.

87
00:04:05,510 --> 00:04:09,590
Obliczymy to dla 1 i dla 0.

88
00:04:09,590 --> 00:04:11,640
Tak więc funkcja pierwotna

89
00:04:11,640 --> 00:04:19,670
to 3x minus x 
do kwadratu przez 2 minus x

90
00:04:19,670 --> 00:04:22,029
do 3 przez 12.

91
00:04:22,029 --> 00:04:24,450
Jeszcze raz policzymy to
- albo nie jeszcze raz.

92
00:04:24,450 --> 00:04:28,460
Teraz policzymy to dla 2
i dla 1.

93
00:04:28,460 --> 00:04:30,610
Tak więc tutaj wszystko
to liczymy w 1.

94
00:04:30,610 --> 00:04:35,690
Dostajemy 2/3 odjąć 1/12 dodać 1.

95
00:04:35,690 --> 00:04:38,410
I od tego odejmujemy to
obliczone dla 0.

96
00:04:38,410 --> 00:04:41,010
Ale to wszystko daje 0,
więc otrzymujemy nic.

97
00:04:41,010 --> 00:04:44,260
Czyli do tego uprościł
się żółty kawałek.

98
00:04:44,260 --> 00:04:46,740
A teraz ten fioletowy kawałek, 
czy też fuksjowy

99
00:04:46,740 --> 00:04:51,070
czy fiołkowy, czy jakikolwiek ten kolor jest,
wpierw obliczamy to w 2.

100
00:04:51,070 --> 00:04:58,330
Otrzymujemy, 6 odjąć, zobaczmy,
2 do kwadratu przez 2 to jest 2, odjąć 8

101
00:04:58,330 --> 00:05:00,103
przez 12.

102
00:05:00,103 --> 00:05:01,876


103
00:05:01,876 --> 00:05:03,650
A od tego odejmiemy

104
00:05:03,650 --> 00:05:05,460
to obliczone dla 1.

105
00:05:05,460 --> 00:05:13,270
Więc to będzie 3 razy 1 - to jest 3 -
odjąć 1/2 odjąć 1

106
00:05:13,270 --> 00:05:14,604
przez 12.

107
00:05:14,604 --> 00:05:16,270
I teraz w końcu 
co trzeba zrobić

108
00:05:16,270 --> 00:05:17,889
to dodać kilka funkcji.

109
00:05:17,889 --> 00:05:19,180
Zobaczmy czy potrafimy to zrobić.

110
00:05:19,180 --> 00:05:20,930
Wygląda na to, że 12 będzie
najbardziej oczywistym

111
00:05:20,930 --> 00:05:22,300
wspólnym mianownikiem.

112
00:05:22,300 --> 00:05:29,430
Czyli tutaj mamy 8/12
odjąć 1/12 dodać 12/12.

113
00:05:29,430 --> 00:05:31,310
Czyli to się upraszcza -
do czego?

114
00:05:31,310 --> 00:05:36,440
To jest 19/12, ta żółta część.

115
00:05:36,440 --> 00:05:40,190
A teraz ten kawałek,
zrobię to w tym kolorze.

116
00:05:40,190 --> 00:05:43,280
Tak więc 6 odjąć 2, to po 
prostu będzie 4.

117
00:05:43,280 --> 00:05:51,100
Czyli możemy to zapisać jako 
48/12 - to jest 4 - odjąć 8/12.

118
00:05:51,100 --> 00:05:54,870
I teraz będzie trzeba
odjąć 3, czyli 36/12.

119
00:05:54,870 --> 00:05:58,640


120
00:05:58,640 --> 00:06:02,410
Teraz dodamy do 1/2,
czyli po prostu 6/12,

121
00:06:02,410 --> 00:06:06,030
a teraz dodamy do 1/12.

122
00:06:06,030 --> 00:06:10,730
Czyli to wszystko się uprości do,
- zobaczmy, 48 odjąć 8

123
00:06:10,730 --> 00:06:18,410
to 40, odjąć 36 to 4, 
dodać 6 to 10, dodać 1 to 11.

124
00:06:18,410 --> 00:06:21,614
Czyli razem to 11/12 na plusie.

125
00:06:21,614 --> 00:06:23,030
Jeszcze się upewnię
czy dobrze policzyłem.

126
00:06:23,030 --> 00:06:28,830
48 odjąć 8 to 40,
odjąć 36 to 5, 10, 11.

127
00:06:28,830 --> 00:06:30,040
Wygląda, że dobrze.

128
00:06:30,040 --> 00:06:31,955
I jesteśmy gotowi by 
dodać te dwie rzeczy.

129
00:06:31,955 --> 00:06:36,010
19 dodać 11 daje 30/12.

130
00:06:36,010 --> 00:06:38,290
Lu b jeśli chcemy to trochę
uprościć,

131
00:06:38,290 --> 00:06:40,990
możemy podzielić licznik
i mianownik przez 6.

132
00:06:40,990 --> 00:06:44,960
To daje 5/2,
czy też 2 i 1/2.

133
00:06:44,960 --> 00:06:45,630
I gotowe.

134
00:06:45,630 --> 00:06:50,560
Obliczyliśmy pole tego całego obszaru.

135
00:06:50,560 --> 00:06:53,255
Jest to 2 i 1/2.