WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:02.025


00:00:02.025 --> 00:00:04.050
Co chcę zrobić w tym filmie,
to znaleźć pole tego obszaru,

00:00:04.050 --> 00:00:07.200
który maluję na żółto.

00:00:07.200 --> 00:00:11.140
I co może okazać się wyzwaniem,
to to, że przez ten obszar

00:00:11.140 --> 00:00:12.810
mam tu pewną dolną funkcję.

00:00:12.810 --> 00:00:14.540
I jak się zdaje,
dolne ograniczenie to y

00:00:14.540 --> 00:00:16.870
równy x do kwadratu
przez 4 odjąć 1.

00:00:16.870 --> 00:00:19.242
Ale mam inne ograniczenie górne.

00:00:19.242 --> 00:00:20.700
I sposób w jaki możemy 
sobie z tym poradzić

00:00:20.700 --> 00:00:23.290
to podział tego pola 
na dwie części,

00:00:23.290 --> 00:00:26.640
czy też tego obszaru
na dwa obszary, na obszar po lewej

00:00:26.640 --> 00:00:28.250
stronie i obszar po
prawej stronie, gdzie

00:00:28.250 --> 00:00:30.730
dla pierwszego obszaru,
który zrobię -

00:00:30.730 --> 00:00:34.310
nawet więcej pokoloruję na żółto -
dla tego pierwszego obszaru

00:00:34.310 --> 00:00:35.950
dla całego przedziału dla x.

00:00:35.950 --> 00:00:40.360
I wygląda na to, 
że x znajduje się między 0 i 1.

00:00:40.360 --> 00:00:44.280
y jest równy - gdy x jest równy 1,
to ta funkcja wynosi 1.

00:00:44.280 --> 00:00:47.220
Gdy x jest równy 1, to
ta funkcja także jest równa 1.

00:00:47.220 --> 00:00:48.810
Czyli to jest punkt 1 przecinek 1.

00:00:48.810 --> 00:00:50.320
Tu się nakładają.

00:00:50.320 --> 00:00:53.250
Więc ta sekcja,
ten podobszar,

00:00:53.250 --> 00:00:57.420
y równy pierwiastek z x jest 
funkcją ograniczającą z gówy

00:00:57.420 --> 00:00:59.230
cały czas. I możemy mieć
- pokolorujmy inaczej -

00:00:59.230 --> 00:01:02.860
możemy osobno zabrać się 
za znalezienie

00:01:02.860 --> 00:01:04.920
pola tego obszaru.

00:01:04.920 --> 00:01:07.960
Od x równego 1
do x równego 2,

00:01:07.960 --> 00:01:10.890
gdzie y równe 2 odjąć x,
jest górnym ograniczeniem.

00:01:10.890 --> 00:01:12.450
Zróbmy to.

00:01:12.450 --> 00:01:14.710
Pomyślmy wpierw 
o tym obszarze.

00:01:14.710 --> 00:01:17.050
Więc, to będzie całka
oznaczona od x równego 0

00:01:17.050 --> 00:01:19.640
do x równego 1.

00:01:19.640 --> 00:01:25.120
A nasze górne ograniczenie to pierwiastek
z x, tak więc pierwiastek z x.

00:01:25.120 --> 00:01:28.390
A teraz od tego chcemy
odjąć naszą niższą funkcję;

00:01:28.390 --> 00:01:33.060
pierwiastek z x odjąć x
do kwadratu przez 4 odjąć 1.

00:01:33.060 --> 00:01:37.730


00:01:37.730 --> 00:01:42.400
I oczywiście mamy nasze dx.

00:01:42.400 --> 00:01:46.350
Więc to po prawej , to
opisuje żółte pole.

00:01:46.350 --> 00:01:49.730
I jak można się domyśleć, 
że ta o to część,

00:01:49.730 --> 00:01:51.660
różnica między tymi
dwoma funkcjami

00:01:51.660 --> 00:01:53.164
jest w istocie tą wysokością.

00:01:53.164 --> 00:01:55.336
Pomaluję to na inny kolor.

00:01:55.336 --> 00:01:57.508


00:01:57.508 --> 00:01:59.680
A teraz mnożymy to przez dx.

00:01:59.680 --> 00:02:03.390
Otrzymujemy niewielki 
prostokąt o szerokości dx.

00:02:03.390 --> 00:02:06.600
I robimy to dla każdego x.

00:02:06.600 --> 00:02:08.860
Dla każdego x 
otrzymujemy inny prostokąt.

00:02:08.860 --> 00:02:10.650
Następnie je wszystkie sumujemy.

00:02:10.650 --> 00:02:14.570
Zbiegamy zmianą
x do zera.

00:02:14.570 --> 00:02:16.664
Czyli otrzymujemy super
super cienkie prostokąty

00:02:16.664 --> 00:02:18.330
i mamy ich nieskończoną liczbę.

00:02:18.330 --> 00:02:21.060
I to jest nasza definicja,
lub definicja Riemanna

00:02:21.060 --> 00:02:22.820
czym jest całka oznaczona.

00:02:22.820 --> 00:02:25.370
Czyli to jest pole lewego obszaru.

00:02:25.370 --> 00:02:27.370
I rozumując identycznie,
możemy znaleźć

00:02:27.370 --> 00:02:28.972
pole prawego obszaru.

00:02:28.972 --> 00:02:30.680
Prawy obszar, później 
będziemy mogli

00:02:30.680 --> 00:02:32.127
po prostu je do siebie dodać.

00:02:32.127 --> 00:02:34.210
Prawy obszar, zaczynamy 
od x równego 0 do x,

00:02:34.210 --> 00:02:38.530
wybaczcie, od x równego 1 do x równego 2,
od 1 do 2.

00:02:38.530 --> 00:02:42.130
Wyższa funkcja jest równa 
2 odjąć x.

00:02:42.130 --> 00:02:47.220
Od tego odejmiemy dolną funkcję,

00:02:47.220 --> 00:02:50.166
która wynosi x do kwadratu
przez 4 odjąć 1.

00:02:50.166 --> 00:02:53.112


00:02:53.112 --> 00:02:56.060
A teraz musimy tylko to obliczyć.

00:02:56.060 --> 00:02:58.800
Wpierw uprośćmy
to po prawej.

00:02:58.800 --> 00:03:02.100
Jest to równe całce oznaczonej

00:03:02.100 --> 00:03:09.220
od 0 do 1 z pierwiastka z x
odjąć x do kwadratu przez 4 dodać 1,

00:03:09.220 --> 00:03:12.020
dx - napiszę to wszystko w jednym kolorze -

00:03:12.020 --> 00:03:18.710
dodać całka oznaczona 
od 1 do 2 z 2 odjąć x,

00:03:18.710 --> 00:03:21.330
odjąć x do kwadratu przez 4.

00:03:21.330 --> 00:03:25.330
Dalej, odjęcie liczby ujemnej 
daje dodatnie 3 - lub dodatnie 1.

00:03:25.330 --> 00:03:26.650
Możemy po prostu dodać to do tej 2.

00:03:26.650 --> 00:03:29.330
Więc to 2 staje się 3.

00:03:29.330 --> 00:03:34.747
Powiedziałem 2 odjąć
minus 1 to 3, dx.

00:03:34.747 --> 00:03:36.705
A teraz wystarczy wziąć 
funkcję pierwotną

00:03:36.705 --> 00:03:39.310
i obliczyć ją dla 1 i 0.

00:03:39.310 --> 00:03:42.130
Więc funkcja pierwotna tego, to,

00:03:42.130 --> 00:03:43.480
to jest x do potęgi 1/2.

00:03:43.480 --> 00:03:44.730
Dodajemy 1.

00:03:44.730 --> 00:03:47.500
Po dodaniu 1 do potęgi,
mamy x do 3/2,

00:03:47.500 --> 00:03:49.200
później mnożymy przez odwrotność

00:03:49.200 --> 00:03:53.650
nowego wykładnika,
więc to jest 2/3 x do 3/2.

00:03:53.650 --> 00:03:56.410
Odejmujemy funkcję pierwotną
x do kwadratu przez 4

00:03:56.410 --> 00:04:02.160
to jest x do trzeciej przez 3,
podzielone przez 4, więc podzielone przez 12,

00:04:02.160 --> 00:04:03.660
dodać x.

00:04:03.660 --> 00:04:05.510
To funkcja pierwotna dla 1.

00:04:05.510 --> 00:04:09.590
Obliczymy to dla 1 i dla 0.

00:04:09.590 --> 00:04:11.640
Tak więc funkcja pierwotna

00:04:11.640 --> 00:04:19.670
to 3x minus x 
do kwadratu przez 2 minus x

00:04:19.670 --> 00:04:22.029
do 3 przez 12.

00:04:22.029 --> 00:04:24.450
Jeszcze raz policzymy to
- albo nie jeszcze raz.

00:04:24.450 --> 00:04:28.460
Teraz policzymy to dla 2
i dla 1.

00:04:28.460 --> 00:04:30.610
Tak więc tutaj wszystko
to liczymy w 1.

00:04:30.610 --> 00:04:35.690
Dostajemy 2/3 odjąć 1/12 dodać 1.

00:04:35.690 --> 00:04:38.410
I od tego odejmujemy to
obliczone dla 0.

00:04:38.410 --> 00:04:41.010
Ale to wszystko daje 0,
więc otrzymujemy nic.

00:04:41.010 --> 00:04:44.260
Czyli do tego uprościł
się żółty kawałek.

00:04:44.260 --> 00:04:46.740
A teraz ten fioletowy kawałek, 
czy też fuksjowy

00:04:46.740 --> 00:04:51.070
czy fiołkowy, czy jakikolwiek ten kolor jest,
wpierw obliczamy to w 2.

00:04:51.070 --> 00:04:58.330
Otrzymujemy, 6 odjąć, zobaczmy,
2 do kwadratu przez 2 to jest 2, odjąć 8

00:04:58.330 --> 00:05:00.103
przez 12.

00:05:00.103 --> 00:05:01.876


00:05:01.876 --> 00:05:03.650
A od tego odejmiemy

00:05:03.650 --> 00:05:05.460
to obliczone dla 1.

00:05:05.460 --> 00:05:13.270
Więc to będzie 3 razy 1 - to jest 3 -
odjąć 1/2 odjąć 1

00:05:13.270 --> 00:05:14.604
przez 12.

00:05:14.604 --> 00:05:16.270
I teraz w końcu 
co trzeba zrobić

00:05:16.270 --> 00:05:17.889
to dodać kilka funkcji.

00:05:17.889 --> 00:05:19.180
Zobaczmy czy potrafimy to zrobić.

00:05:19.180 --> 00:05:20.930
Wygląda na to, że 12 będzie
najbardziej oczywistym

00:05:20.930 --> 00:05:22.300
wspólnym mianownikiem.

00:05:22.300 --> 00:05:29.430
Czyli tutaj mamy 8/12
odjąć 1/12 dodać 12/12.

00:05:29.430 --> 00:05:31.310
Czyli to się upraszcza -
do czego?

00:05:31.310 --> 00:05:36.440
To jest 19/12, ta żółta część.

00:05:36.440 --> 00:05:40.190
A teraz ten kawałek,
zrobię to w tym kolorze.

00:05:40.190 --> 00:05:43.280
Tak więc 6 odjąć 2, to po 
prostu będzie 4.

00:05:43.280 --> 00:05:51.100
Czyli możemy to zapisać jako 
48/12 - to jest 4 - odjąć 8/12.

00:05:51.100 --> 00:05:54.870
I teraz będzie trzeba
odjąć 3, czyli 36/12.

00:05:54.870 --> 00:05:58.640


00:05:58.640 --> 00:06:02.410
Teraz dodamy do 1/2,
czyli po prostu 6/12,

00:06:02.410 --> 00:06:06.030
a teraz dodamy do 1/12.

00:06:06.030 --> 00:06:10.730
Czyli to wszystko się uprości do,
- zobaczmy, 48 odjąć 8

00:06:10.730 --> 00:06:18.410
to 40, odjąć 36 to 4, 
dodać 6 to 10, dodać 1 to 11.

00:06:18.410 --> 00:06:21.614
Czyli razem to 11/12 na plusie.

00:06:21.614 --> 00:06:23.030
Jeszcze się upewnię
czy dobrze policzyłem.

00:06:23.030 --> 00:06:28.830
48 odjąć 8 to 40,
odjąć 36 to 5, 10, 11.

00:06:28.830 --> 00:06:30.040
Wygląda, że dobrze.

00:06:30.040 --> 00:06:31.955
I jesteśmy gotowi by 
dodać te dwie rzeczy.

00:06:31.955 --> 00:06:36.010
19 dodać 11 daje 30/12.

00:06:36.010 --> 00:06:38.290
Lu b jeśli chcemy to trochę
uprościć,

00:06:38.290 --> 00:06:40.990
możemy podzielić licznik
i mianownik przez 6.

00:06:40.990 --> 00:06:44.960
To daje 5/2,
czy też 2 i 1/2.

00:06:44.960 --> 00:06:45.630
I gotowe.

00:06:45.630 --> 00:06:50.560
Obliczyliśmy pole tego całego obszaru.

00:06:50.560 --> 00:06:53.255
Jest to 2 i 1/2.