0:00:00.000,0:00:01.025
-

0:00:01.025,0:00:04.050
O que quero fazer neste vídeo [br]é achar a área desta região

0:00:04.050,0:00:07.200
que estou sombreando em amarelo.

0:00:07.200,0:00:11.140
E o que pode parecer difícil é [br]que através desta região,

0:00:11.140,0:00:12.810
eu tenho a mesma função inferior.

0:00:12.810,0:00:14.540
Ou eu suponho que[br]o limite inferior é y

0:00:14.540,0:00:16.870
é igual a x ao quadrado[br]sobre 4 menos 1.

0:00:16.870,0:00:19.242
Mas eu tenho um limite superior diferente.

0:00:19.242,0:00:21.040
E a forma como [br]podemos resolver isso

0:00:21.040,0:00:23.290
é dividindo essa área em duas secções,

0:00:23.290,0:00:26.640
ou dividindo esta região em duas[br]regiões, a região da esquerda

0:00:26.640,0:00:28.250
e a região da direita, onde

0:00:28.250,0:00:30.730
para a primeira região, eu vou fazer --

0:00:30.730,0:00:34.310
eu vou colorir ainda mais com [br]amarelo -- para esta região

0:00:34.310,0:00:35.950
sobre todo o intervalo de x.

0:00:35.950,0:00:40.360
E parece que x se estende entre 0 e 1.

0:00:40.360,0:00:44.280
y é igual -- quando x é igual[br]a 1, esta função é igual a 1.

0:00:44.280,0:00:47.220
Quando x é igual a 1, esta [br]função também é igual a 1.

0:00:47.220,0:00:48.810
Então este é o ponto 1 virgula 1.

0:00:48.810,0:00:50.320
É onde elas se intersectam.

0:00:50.320,0:00:53.250
Então para esta secção, [br]esta sub região bem aqui,

0:00:53.250,0:00:57.160
y é igual à raiz quadrada de x, [br]é a função superior o tempo todo.

0:00:57.160,0:00:59.230
E então quando temos [br]um -- podemos definir

0:00:59.230,0:01:02.860
diferentes -- podemos resolver [br]calculando separadamente

0:01:02.860,0:01:04.920
a área desta região,

0:01:04.920,0:01:07.960
De x é igual a 1 para x é igual a 2,

0:01:07.960,0:01:10.890
onde y é igual a 2 menos x [br]é a função superior.

0:01:10.890,0:01:12.450
Então vamos fazê-lo.

0:01:12.450,0:01:14.710
Vamos primeiro considerar [br]esta primeira região.

0:01:14.710,0:01:17.050
Bem, esta vai ser a integral definida de x

0:01:17.050,0:01:19.640
é igual a 0 a x é igual a 1.

0:01:19.640,0:01:25.120
E a nossa função superior é raiz [br]quadrada de x, raiz quadrada de x.

0:01:25.120,0:01:28.390
E daí podemos subtrair [br]nossa função inferior --

0:01:28.390,0:01:36.960
raiz quadrada de x menos [br]x ao quadrado sobre 4 menos 1.

0:01:36.960,0:01:37.730
-

0:01:37.730,0:01:42.400
E é claro que temos o nosso dx.

0:01:42.400,0:01:46.350
Então isso bem aqui, isso está [br]descrevendo a área em amarelo.

0:01:46.350,0:01:49.730
E você pode imaginar [br]que esta parte bem aqui,

0:01:49.730,0:01:51.660
a diferença entre estas duas funções

0:01:51.660,0:01:53.164
é essencialmente esta altura.

0:01:53.164,0:01:57.020
Deixe-me usar um cor diferente.

0:01:57.020,0:01:57.820
--

0:01:57.820,0:01:59.680
E quando você multiplica por dx

0:01:59.680,0:02:03.390
você obtém um pequeno [br]retângulo de largura dx.

0:02:03.390,0:02:06.600
E quando você faz isso para cada x,

0:02:06.600,0:02:08.860
para cada x você obtém [br]um retângulo diferente.

0:02:08.860,0:02:10.650
E então você soma todos eles.

0:02:10.650,0:02:13.600
E você toma o limite quando sua [br]mudança em x se aproxima de 0.

0:02:13.600,0:02:15.844
E você obtém retângulos [br]ultra, ultra estreitos,

0:02:15.844,0:02:17.560
e você tem um número infinito deles.

0:02:17.560,0:02:21.090
Esta é a definição da integral de Riemann

0:02:21.090,0:02:22.820
ou do que é uma integral definida.

0:02:22.820,0:02:25.370
Estão esta é a área da região esquerda.

0:02:25.370,0:02:27.370
E usando a mesma lógica, podemos calcular

0:02:27.370,0:02:28.972
a área da região direita.

0:02:28.972,0:02:30.680
A região direita -- e então podemos

0:02:30.680,0:02:32.127
somar os dois resultados.

0:02:32.127,0:02:34.210
Na região direita, vamos de x é igual a 0

0:02:34.210,0:02:38.530
para -- perdão, x é igual a 1 [br]para x é igual a 2, 1 a 2.

0:02:38.530,0:02:42.130
A função superior é 2 menos x.

0:02:42.130,0:02:47.220
E daí vamos subtrair a função inferior,

0:02:47.220,0:02:53.020
que é x ao quadrado sobre 4 menos 1.

0:02:53.020,0:02:53.780
--

0:02:53.780,0:02:56.060
E agora temos apenas que calcular.

0:02:56.060,0:02:58.796
Vamos primeiro simplificar isso aqui.

0:02:58.796,0:03:02.100
Isso é igual a integral definida

0:03:02.100,0:03:09.220
de 0 a 1 da raiz quadrada de x, menos x [br]ao quadrado sobre 4, mais 1,

0:03:09.220,0:03:11.170
dx -- vou escrever em uma só cor agora --

0:03:11.170,0:03:17.770
mais a integral definida de [br]1 a 2 de 2 menos 2,

0:03:17.770,0:03:20.870
menos x ao quadrado sobre 4.

0:03:20.870,0:03:25.330
Então subtraindo um 1 negativo resulta [br]em um 3 positivo -- ou seja, um 1 positico

0:03:25.330,0:03:26.650
que podemos somar a este 2.

0:03:26.650,0:03:29.330
E isto resulta em um 3.

0:03:29.330,0:03:34.467
Eu disse que 2 menos menos 1 é 3, dx.

0:03:34.467,0:03:36.705
E agora temos apenas que [br]tomar a antiderivada

0:03:36.705,0:03:39.310
e calculá-la em 1 e 0.

0:03:39.310,0:03:42.130
E a antiderivada disso é -- bem,

0:03:42.130,0:03:43.480
isso é x elevado a 1/2

0:03:43.480,0:03:44.730
Somado com 1.

0:03:44.730,0:03:47.420
Somando a potência de 1[br]temos x elevado a 3/2,

0:03:47.420,0:03:49.200
e então multiplicando [br]pelo inverso do

0:03:49.200,0:03:53.650
do novo expoente -- que é [br]2/3 vezes x elevado a 3/2,

0:03:53.650,0:03:56.410
menos -- a antiderivada de [br]x ao quadrado sobre 4

0:03:56.410,0:04:02.160
é x à terceira, dividido por 3, [br]dividido por 4, ou dividido por 12,

0:04:02.160,0:04:03.660
mais x,

0:04:03.660,0:04:05.510
a antideriva da de 1.

0:04:05.510,0:04:09.590
Vamos calcular isso em 1 e 0.

0:04:09.590,0:04:11.640
E assim a antiderivada aqui vai ser

0:04:11.640,0:04:19.670
3x menos x ao quadrado sobre 2 menos

0:04:19.670,0:04:22.029
x à terceira sobre 12.

0:04:22.029,0:04:24.450
Mais uma vez, calcule isso em -- [br]ou melhor,

0:04:24.450,0:04:28.460
agora vamos calcular em 2 e 1.

0:04:28.460,0:04:30.610
A qui você calcula tudo isso em 1.

0:04:30.610,0:04:35.690
Você obtém 2/3 menos 1/12 mais 1.

0:04:35.690,0:04:38.410
A daí você subtrai isso calculado em 0.

0:04:38.410,0:04:41.010
Mas tudo isso é apenas 0, [br]então você não tem nada.

0:04:41.010,0:04:44.260
Então isso é o que a [br]parte amarela resultou.

0:04:44.260,0:04:46.740
E então essa parte púrpura, ou magenta,

0:04:46.740,0:04:51.070
ou roxa, o que quer que seja essa cor, [br]primeiro você calcula ela em 2.

0:04:51.070,0:04:58.330
Você obtém 6 menos -- vamos ver, [br]2 ao quadrado sobre 2 é 2, menos 8

0:04:58.330,0:05:00.760
sobre 12.

0:05:00.760,0:05:01.520
--

0:05:01.520,0:05:03.650
E daí você vai subtrair

0:05:03.650,0:05:05.460
isso calculado em 1.

0:05:05.460,0:05:13.270
Então vai ser 3 vezes 1 -- que é 3 -- [br]menos 1/2 menos 1

0:05:13.270,0:05:14.604
sobre 12.

0:05:14.604,0:05:16.270
E agora ficamos essencialmente com

0:05:16.270,0:05:17.819
a soma de uma porção de frações.

0:05:17.819,0:05:19.260
Vejamos se podemos [br]fazer isso.

0:05:19.260,0:05:20.930
Parece que 12 deve ser o

0:05:20.930,0:05:22.470
denominador comum [br]mais evidente.

0:05:22.470,0:05:29.430
Então aqui você tem 8/12 [br]menos 1/12 mais 12/12.

0:05:29.430,0:05:31.310
E isso resulta em -- que é isso?

0:05:31.310,0:05:36.440
Isso é 19/12, a parte [br]que temos em amarelo.

0:05:36.440,0:05:40.190
E então essa coisa, deixe [br]eu fazer isso nessa cor.

0:05:40.190,0:05:43.280
Então 6 menos 2, isso vai ser 4.

0:05:43.280,0:05:51.100
Podemos escrever isso como [br]48/12 -- isso é 4 -- menos 8/12.

0:05:51.100,0:05:56.460
E aí você vai ter que subtrair [br]um 3, que é 36/12.

0:05:56.460,0:05:57.170
--

0:05:57.170,0:06:02.410
Então você vai somar 1/2, que é mais 6/12,

0:06:02.410,0:06:06.030
e então você vai somar um 1/12.

0:06:06.030,0:06:10.730
Tudo isso vai se simplificar para -- [br]vamos ver, 48 menos 8

0:06:10.730,0:06:18.410
é 40, menos 36 é 4, mais 6 é 10, [br]mais 1 é 11.

0:06:18.410,0:06:21.074
E isso se torna mais 11/12.

0:06:21.074,0:06:23.030
Deixe eu me assegurar [br]que fiz tudo certo.

0:06:23.030,0:06:28.830
48 menos 8 é 40, menos 36 é 4, 10, 11.

0:06:28.830,0:06:30.040
Parece estar certo.

0:06:30.040,0:06:31.955
E estamos prontos para somar esses dois.

0:06:31.955,0:06:36.010
19 mais 11 é igual a 30/12.

0:06:36.010,0:06:38.290
Ou se quisermos simplificar um pouco,

0:06:38.290,0:06:40.990
podemos dividir o numerador [br]e o denominador por 6.

0:06:40.990,0:06:44.930
Isso é igual a 5/2, ou 2 e 1/2

0:06:44.930,0:06:45.630
E terminamos.

0:06:45.630,0:06:50.560
Calculamos a área de toda esta região.

0:06:50.560,0:06:53.255
Ela é 2 e 1/2.[br](Legendado por Luiz Fontenelle)