WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:01.025
-

00:00:01.025 --> 00:00:04.050
O que quero fazer neste vídeo 
é achar a área desta região

00:00:04.050 --> 00:00:07.200
que estou sombreando em amarelo.

00:00:07.200 --> 00:00:11.140
E o que pode parecer difícil é 
que através desta região,

00:00:11.140 --> 00:00:12.810
eu tenho a mesma função inferior.

00:00:12.810 --> 00:00:14.540
Ou eu suponho que
o limite inferior é y

00:00:14.540 --> 00:00:16.870
é igual a x ao quadrado
sobre 4 menos 1.

00:00:16.870 --> 00:00:19.242
Mas eu tenho um limite superior diferente.

00:00:19.242 --> 00:00:21.040
E a forma como 
podemos resolver isso

00:00:21.040 --> 00:00:23.290
é dividindo essa área em duas secções,

00:00:23.290 --> 00:00:26.640
ou dividindo esta região em duas
regiões, a região da esquerda

00:00:26.640 --> 00:00:28.250
e a região da direita, onde

00:00:28.250 --> 00:00:30.730
para a primeira região, eu vou fazer --

00:00:30.730 --> 00:00:34.310
eu vou colorir ainda mais com 
amarelo -- para esta região

00:00:34.310 --> 00:00:35.950
sobre todo o intervalo de x.

00:00:35.950 --> 00:00:40.360
E parece que x se estende entre 0 e 1.

00:00:40.360 --> 00:00:44.280
y é igual -- quando x é igual
a 1, esta função é igual a 1.

00:00:44.280 --> 00:00:47.220
Quando x é igual a 1, esta 
função também é igual a 1.

00:00:47.220 --> 00:00:48.810
Então este é o ponto 1 virgula 1.

00:00:48.810 --> 00:00:50.320
É onde elas se intersectam.

00:00:50.320 --> 00:00:53.250
Então para esta secção, 
esta sub região bem aqui,

00:00:53.250 --> 00:00:57.160
y é igual à raiz quadrada de x, 
é a função superior o tempo todo.

00:00:57.160 --> 00:00:59.230
E então quando temos 
um -- podemos definir

00:00:59.230 --> 00:01:02.860
diferentes -- podemos resolver 
calculando separadamente

00:01:02.860 --> 00:01:04.920
a área desta região,

00:01:04.920 --> 00:01:07.960
De x é igual a 1 para x é igual a 2,

00:01:07.960 --> 00:01:10.890
onde y é igual a 2 menos x 
é a função superior.

00:01:10.890 --> 00:01:12.450
Então vamos fazê-lo.

00:01:12.450 --> 00:01:14.710
Vamos primeiro considerar 
esta primeira região.

00:01:14.710 --> 00:01:17.050
Bem, esta vai ser a integral definida de x

00:01:17.050 --> 00:01:19.640
é igual a 0 a x é igual a 1.

00:01:19.640 --> 00:01:25.120
E a nossa função superior é raiz 
quadrada de x, raiz quadrada de x.

00:01:25.120 --> 00:01:28.390
E daí podemos subtrair 
nossa função inferior --

00:01:28.390 --> 00:01:36.960
raiz quadrada de x menos 
x ao quadrado sobre 4 menos 1.

00:01:36.960 --> 00:01:37.730
-

00:01:37.730 --> 00:01:42.400
E é claro que temos o nosso dx.

00:01:42.400 --> 00:01:46.350
Então isso bem aqui, isso está 
descrevendo a área em amarelo.

00:01:46.350 --> 00:01:49.730
E você pode imaginar 
que esta parte bem aqui,

00:01:49.730 --> 00:01:51.660
a diferença entre estas duas funções

00:01:51.660 --> 00:01:53.164
é essencialmente esta altura.

00:01:53.164 --> 00:01:57.020
Deixe-me usar um cor diferente.

00:01:57.020 --> 00:01:57.820
--

00:01:57.820 --> 00:01:59.680
E quando você multiplica por dx

00:01:59.680 --> 00:02:03.390
você obtém um pequeno 
retângulo de largura dx.

00:02:03.390 --> 00:02:06.600
E quando você faz isso para cada x,

00:02:06.600 --> 00:02:08.860
para cada x você obtém 
um retângulo diferente.

00:02:08.860 --> 00:02:10.650
E então você soma todos eles.

00:02:10.650 --> 00:02:13.600
E você toma o limite quando sua 
mudança em x se aproxima de 0.

00:02:13.600 --> 00:02:15.844
E você obtém retângulos 
ultra, ultra estreitos,

00:02:15.844 --> 00:02:17.560
e você tem um número infinito deles.

00:02:17.560 --> 00:02:21.090
Esta é a definição da integral de Riemann

00:02:21.090 --> 00:02:22.820
ou do que é uma integral definida.

00:02:22.820 --> 00:02:25.370
Estão esta é a área da região esquerda.

00:02:25.370 --> 00:02:27.370
E usando a mesma lógica, podemos calcular

00:02:27.370 --> 00:02:28.972
a área da região direita.

00:02:28.972 --> 00:02:30.680
A região direita -- e então podemos

00:02:30.680 --> 00:02:32.127
somar os dois resultados.

00:02:32.127 --> 00:02:34.210
Na região direita, vamos de x é igual a 0

00:02:34.210 --> 00:02:38.530
para -- perdão, x é igual a 1 
para x é igual a 2, 1 a 2.

00:02:38.530 --> 00:02:42.130
A função superior é 2 menos x.

00:02:42.130 --> 00:02:47.220
E daí vamos subtrair a função inferior,

00:02:47.220 --> 00:02:53.020
que é x ao quadrado sobre 4 menos 1.

00:02:53.020 --> 00:02:53.780
--

00:02:53.780 --> 00:02:56.060
E agora temos apenas que calcular.

00:02:56.060 --> 00:02:58.796
Vamos primeiro simplificar isso aqui.

00:02:58.796 --> 00:03:02.100
Isso é igual a integral definida

00:03:02.100 --> 00:03:09.220
de 0 a 1 da raiz quadrada de x, menos x 
ao quadrado sobre 4, mais 1,

00:03:09.220 --> 00:03:11.170
dx -- vou escrever em uma só cor agora --

00:03:11.170 --> 00:03:17.770
mais a integral definida de 
1 a 2 de 2 menos 2,

00:03:17.770 --> 00:03:20.870
menos x ao quadrado sobre 4.

00:03:20.870 --> 00:03:25.330
Então subtraindo um 1 negativo resulta 
em um 3 positivo -- ou seja, um 1 positico

00:03:25.330 --> 00:03:26.650
que podemos somar a este 2.

00:03:26.650 --> 00:03:29.330
E isto resulta em um 3.

00:03:29.330 --> 00:03:34.467
Eu disse que 2 menos menos 1 é 3, dx.

00:03:34.467 --> 00:03:36.705
E agora temos apenas que 
tomar a antiderivada

00:03:36.705 --> 00:03:39.310
e calculá-la em 1 e 0.

00:03:39.310 --> 00:03:42.130
E a antiderivada disso é -- bem,

00:03:42.130 --> 00:03:43.480
isso é x elevado a 1/2

00:03:43.480 --> 00:03:44.730
Somado com 1.

00:03:44.730 --> 00:03:47.420
Somando a potência de 1
temos x elevado a 3/2,

00:03:47.420 --> 00:03:49.200
e então multiplicando 
pelo inverso do

00:03:49.200 --> 00:03:53.650
do novo expoente -- que é 
2/3 vezes x elevado a 3/2,

00:03:53.650 --> 00:03:56.410
menos -- a antiderivada de 
x ao quadrado sobre 4

00:03:56.410 --> 00:04:02.160
é x à terceira, dividido por 3, 
dividido por 4, ou dividido por 12,

00:04:02.160 --> 00:04:03.660
mais x,

00:04:03.660 --> 00:04:05.510
a antideriva da de 1.

00:04:05.510 --> 00:04:09.590
Vamos calcular isso em 1 e 0.

00:04:09.590 --> 00:04:11.640
E assim a antiderivada aqui vai ser

00:04:11.640 --> 00:04:19.670
3x menos x ao quadrado sobre 2 menos

00:04:19.670 --> 00:04:22.029
x à terceira sobre 12.

00:04:22.029 --> 00:04:24.450
Mais uma vez, calcule isso em -- 
ou melhor,

00:04:24.450 --> 00:04:28.460
agora vamos calcular em 2 e 1.

00:04:28.460 --> 00:04:30.610
A qui você calcula tudo isso em 1.

00:04:30.610 --> 00:04:35.690
Você obtém 2/3 menos 1/12 mais 1.

00:04:35.690 --> 00:04:38.410
A daí você subtrai isso calculado em 0.

00:04:38.410 --> 00:04:41.010
Mas tudo isso é apenas 0, 
então você não tem nada.

00:04:41.010 --> 00:04:44.260
Então isso é o que a 
parte amarela resultou.

00:04:44.260 --> 00:04:46.740
E então essa parte púrpura, ou magenta,

00:04:46.740 --> 00:04:51.070
ou roxa, o que quer que seja essa cor, 
primeiro você calcula ela em 2.

00:04:51.070 --> 00:04:58.330
Você obtém 6 menos -- vamos ver, 
2 ao quadrado sobre 2 é 2, menos 8

00:04:58.330 --> 00:05:00.760
sobre 12.

00:05:00.760 --> 00:05:01.520
--

00:05:01.520 --> 00:05:03.650
E daí você vai subtrair

00:05:03.650 --> 00:05:05.460
isso calculado em 1.

00:05:05.460 --> 00:05:13.270
Então vai ser 3 vezes 1 -- que é 3 -- 
menos 1/2 menos 1

00:05:13.270 --> 00:05:14.604
sobre 12.

00:05:14.604 --> 00:05:16.270
E agora ficamos essencialmente com

00:05:16.270 --> 00:05:17.819
a soma de uma porção de frações.

00:05:17.819 --> 00:05:19.260
Vejamos se podemos 
fazer isso.

00:05:19.260 --> 00:05:20.930
Parece que 12 deve ser o

00:05:20.930 --> 00:05:22.470
denominador comum 
mais evidente.

00:05:22.470 --> 00:05:29.430
Então aqui você tem 8/12 
menos 1/12 mais 12/12.

00:05:29.430 --> 00:05:31.310
E isso resulta em -- que é isso?

00:05:31.310 --> 00:05:36.440
Isso é 19/12, a parte 
que temos em amarelo.

00:05:36.440 --> 00:05:40.190
E então essa coisa, deixe 
eu fazer isso nessa cor.

00:05:40.190 --> 00:05:43.280
Então 6 menos 2, isso vai ser 4.

00:05:43.280 --> 00:05:51.100
Podemos escrever isso como 
48/12 -- isso é 4 -- menos 8/12.

00:05:51.100 --> 00:05:56.460
E aí você vai ter que subtrair 
um 3, que é 36/12.

00:05:56.460 --> 00:05:57.170
--

00:05:57.170 --> 00:06:02.410
Então você vai somar 1/2, que é mais 6/12,

00:06:02.410 --> 00:06:06.030
e então você vai somar um 1/12.

00:06:06.030 --> 00:06:10.730
Tudo isso vai se simplificar para -- 
vamos ver, 48 menos 8

00:06:10.730 --> 00:06:18.410
é 40, menos 36 é 4, mais 6 é 10, 
mais 1 é 11.

00:06:18.410 --> 00:06:21.074
E isso se torna mais 11/12.

00:06:21.074 --> 00:06:23.030
Deixe eu me assegurar 
que fiz tudo certo.

00:06:23.030 --> 00:06:28.830
48 menos 8 é 40, menos 36 é 4, 10, 11.

00:06:28.830 --> 00:06:30.040
Parece estar certo.

00:06:30.040 --> 00:06:31.955
E estamos prontos para somar esses dois.

00:06:31.955 --> 00:06:36.010
19 mais 11 é igual a 30/12.

00:06:36.010 --> 00:06:38.290
Ou se quisermos simplificar um pouco,

00:06:38.290 --> 00:06:40.990
podemos dividir o numerador 
e o denominador por 6.

00:06:40.990 --> 00:06:44.930
Isso é igual a 5/2, ou 2 e 1/2

00:06:44.930 --> 00:06:45.630
E terminamos.

00:06:45.630 --> 00:06:50.560
Calculamos a área de toda esta região.

00:06:50.560 --> 00:06:53.255
Ela é 2 e 1/2.
(Legendado por Luiz Fontenelle)