-
O que quero fazer neste vídeo é achar a área desta região
que estou sombreando em amarelo.
E o que pode parecer difícil é que através desta região,
eu tenho a mesma função inferior.
Ou eu suponho que o limite inferior é y
é igual a x ao quadrado sobre 4 menos 1.
Mas eu tenho um limite superior diferente.
E a forma como podemos resolver isso
é dividindo essa área em duas secções,
ou dividindo esta região em duas regiões, a região da esquerda
e a região da direita, onde
para a primeira região, eu vou fazer --
eu vou colorir ainda mais com amarelo -- para esta região
sobre todo o intervalo de x.
E parece que x se estende entre 0 e 1.
y é igual -- quando x é igual a 1, esta função é igual a 1.
Quando x é igual a 1, esta função também é igual a 1.
Então este é o ponto 1 virgula 1.
É onde elas se intersectam.
Então para esta secção, esta sub região bem aqui,
y é igual à raiz quadrada de x, é a função superior o tempo todo.
E então quando temos um -- podemos definir
diferentes -- podemos resolver calculando separadamente
a área desta região,
De x é igual a 1 para x é igual a 2,
onde y é igual a 2 menos x é a função superior.
Então vamos fazê-lo.
Vamos primeiro considerar esta primeira região.
Bem, esta vai ser a integral definida de x
é igual a 0 a x é igual a 1.
E a nossa função superior é raiz quadrada de x, raiz quadrada de x.
E daí podemos subtrair nossa função inferior --
raiz quadrada de x menos x ao quadrado sobre 4 menos 1.
-
E é claro que temos o nosso dx.
Então isso bem aqui, isso está descrevendo a área em amarelo.
E você pode imaginar que esta parte bem aqui,
a diferença entre estas duas funções
é essencialmente esta altura.
Deixe-me usar um cor diferente.
--
E quando você multiplica por dx
você obtém um pequeno retângulo de largura dx.
E quando você faz isso para cada x,
para cada x você obtém um retângulo diferente.
E então você soma todos eles.
E você toma o limite quando sua mudança em x se aproxima de 0.
E você obtém retângulos ultra, ultra estreitos,
e você tem um número infinito deles.
Esta é a definição da integral de Riemann
ou do que é uma integral definida.
Estão esta é a área da região esquerda.
E usando a mesma lógica, podemos calcular
a área da região direita.
A região direita -- e então podemos
somar os dois resultados.
Na região direita, vamos de x é igual a 0
para -- perdão, x é igual a 1 para x é igual a 2, 1 a 2.
A função superior é 2 menos x.
E daí vamos subtrair a função inferior,
que é x ao quadrado sobre 4 menos 1.
--
E agora temos apenas que calcular.
Vamos primeiro simplificar isso aqui.
Isso é igual a integral definida
de 0 a 1 da raiz quadrada de x, menos x ao quadrado sobre 4, mais 1,
dx -- vou escrever em uma só cor agora --
mais a integral definida de 1 a 2 de 2 menos 2,
menos x ao quadrado sobre 4.
Então subtraindo um 1 negativo resulta em um 3 positivo -- ou seja, um 1 positico
que podemos somar a este 2.
E isto resulta em um 3.
Eu disse que 2 menos menos 1 é 3, dx.
E agora temos apenas que tomar a antiderivada
e calculá-la em 1 e 0.
E a antiderivada disso é -- bem,
isso é x elevado a 1/2
Somado com 1.
Somando a potência de 1 temos x elevado a 3/2,
e então multiplicando pelo inverso do
do novo expoente -- que é 2/3 vezes x elevado a 3/2,
menos -- a antiderivada de x ao quadrado sobre 4
é x à terceira, dividido por 3, dividido por 4, ou dividido por 12,
mais x,
a antideriva da de 1.
Vamos calcular isso em 1 e 0.
E assim a antiderivada aqui vai ser
3x menos x ao quadrado sobre 2 menos
x à terceira sobre 12.
Mais uma vez, calcule isso em -- ou melhor,
agora vamos calcular em 2 e 1.
A qui você calcula tudo isso em 1.
Você obtém 2/3 menos 1/12 mais 1.
A daí você subtrai isso calculado em 0.
Mas tudo isso é apenas 0, então você não tem nada.
Então isso é o que a parte amarela resultou.
E então essa parte púrpura, ou magenta,
ou roxa, o que quer que seja essa cor, primeiro você calcula ela em 2.
Você obtém 6 menos -- vamos ver, 2 ao quadrado sobre 2 é 2, menos 8
sobre 12.
--
E daí você vai subtrair
isso calculado em 1.
Então vai ser 3 vezes 1 -- que é 3 -- menos 1/2 menos 1
sobre 12.
E agora ficamos essencialmente com
a soma de uma porção de frações.
Vejamos se podemos fazer isso.
Parece que 12 deve ser o
denominador comum mais evidente.
Então aqui você tem 8/12 menos 1/12 mais 12/12.
E isso resulta em -- que é isso?
Isso é 19/12, a parte que temos em amarelo.
E então essa coisa, deixe eu fazer isso nessa cor.
Então 6 menos 2, isso vai ser 4.
Podemos escrever isso como 48/12 -- isso é 4 -- menos 8/12.
E aí você vai ter que subtrair um 3, que é 36/12.
--
Então você vai somar 1/2, que é mais 6/12,
e então você vai somar um 1/12.
Tudo isso vai se simplificar para -- vamos ver, 48 menos 8
é 40, menos 36 é 4, mais 6 é 10, mais 1 é 11.
E isso se torna mais 11/12.
Deixe eu me assegurar que fiz tudo certo.
48 menos 8 é 40, menos 36 é 4, 10, 11.
Parece estar certo.
E estamos prontos para somar esses dois.
19 mais 11 é igual a 30/12.
Ou se quisermos simplificar um pouco,
podemos dividir o numerador e o denominador por 6.
Isso é igual a 5/2, ou 2 e 1/2
E terminamos.
Calculamos a área de toda esta região.
Ela é 2 e 1/2. (Legendado por Luiz Fontenelle)