0:00:00.000,0:00:00.520


0:00:00.520,0:00:04.050
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้[br]คือหาพื้นที่ของเขตนี้

0:00:04.050,0:00:07.200
ที่ผมแรเงาด้วยสีเหลือง

0:00:07.200,0:00:11.140
และสิ่งที่ดูท้าทายคือว่าในเขตนี้

0:00:11.140,0:00:12.810
ผมมีฟังก์ชันตัวล่างเดียวกัน

0:00:12.810,0:00:14.540
หรือจะเรียกว่าขอบล่างก็ได้ คือ y

0:00:14.540,0:00:16.870
เท่ากับ x กำลังสองส่วน 4 ลบ 1

0:00:16.870,0:00:19.242
แต่ผมมีขอบบนต่างกัน

0:00:19.242,0:00:20.700
วิธีที่เราแก้ปัญหานี้

0:00:20.700,0:00:23.290
คือการแบ่งพื้นที่นี้เป็นสองส่วน

0:00:23.290,0:00:26.640
หรือแบ่งเขตนี้เป็นสองเขต เขตทางซ้าย

0:00:26.640,0:00:28.250
กับเขตทางขวา โดย

0:00:28.250,0:00:30.730
สำหรับเขตแรกนี้ ผมจะ --

0:00:30.730,0:00:34.310
ผมจะระบายสีด้วยสีเหลืองอีก [br]-- สำหรับเขตแรกนี้

0:00:34.310,0:00:35.950
ตลอดช่วงทั้งหมดของ x นั้น

0:00:35.950,0:00:40.360
มันดูเหมือนว่า x จะไปจาก 0 ถึง 1

0:00:40.360,0:00:44.280
y เท่ากับ -- เมื่อ x เท่ากับ 1, ฟังก์ชันนี้เท่ากับ 1

0:00:44.280,0:00:47.220
เมื่อ x เท่ากับ 1, ฟังก์ชันนี้ก็เท่ากับ 1 ด้วย

0:00:47.220,0:00:48.810
นี่คือจุด (1, 1)

0:00:48.810,0:00:50.320
นี่คือจุดที่พวกมันตัดกัน

0:00:50.320,0:00:53.250
สำหรับส่วนนี้ เขตย่อยนี่ตรงนี้

0:00:53.250,0:00:57.420
y เท่ากับรากที่สองของของ x [br]เป็นฟังก์ชันบนตลอดเวลา

0:00:57.420,0:00:59.230
แล้วเรามี -- เราตั้ง

0:00:59.230,0:01:02.860
อีกตัว -- เราแยกหา

0:01:02.860,0:01:04.920
พื้นที่ของเขตนี้ได้

0:01:04.920,0:01:07.960
จาก x เท่ากับ 1 ถึง x เท่ากับ 2

0:01:07.960,0:01:10.890
เมื่อ y เท่ากับ 2 ลบ x เป็นฟังก์ชันบน

0:01:10.890,0:01:12.450
ลองทำดู

0:01:12.450,0:01:14.710
ลองคิดถึงเขตแรกก่อน

0:01:14.710,0:01:17.050
มันจะเท่ากับอินทิกรัลจำกัดเขตจาก x

0:01:17.050,0:01:19.640
เท่ากับ 0 ถึง x เท่ากับ 1

0:01:19.640,0:01:25.120
และฟังก์ชันบนของเราคือรากที่สองของ x[br]รากที่สองของ x

0:01:25.120,0:01:28.390
แล้วจากนั้น เราอยากลบฟังก์ชันล่าง --

0:01:28.390,0:01:32.320
รากที่สองของ x ลบ x กำลังสองส่วน 4 ลบ 1

0:01:32.320,0:01:39.200


0:01:39.200,0:01:42.400
แล้วแน่นอน เรามี dx

0:01:42.400,0:01:46.350
อันนี้ตรงนี้ อันนี้บรรยายพื้นที่สีเหลือง

0:01:46.350,0:01:49.730
และคุณคงนึกออก ส่วนนี่ตรงนี้

0:01:49.730,0:01:51.660
ผลต่างระหว่างฟังก์ชันสองตัวนี้

0:01:51.660,0:01:53.164
ก็คือความสูง

0:01:53.164,0:01:54.580
ขอผมใช้อีกสีนะ

0:01:54.580,0:01:57.820


0:01:57.820,0:01:59.680
แล้วคุณคูณมันด้วย dx

0:01:59.680,0:02:03.390
คุณจะได้สี่เหลี่ยมเล็กๆ กว้าง dx

0:02:03.390,0:02:06.600
แล้วคุณทำไปสำหรับแต่ละ x

0:02:06.600,0:02:08.860
แต่ละ x คุณจะได้สี่เหลี่ยมมุมฉากต่างๆ กัน

0:02:08.860,0:02:10.650
แล้วคุณบวกพวกมันเข้า

0:02:10.650,0:02:14.570
คุณหาลิมิตเมื่อ[br]การเปลี่ยนแปลงของ x เข้าใกล้ 0

0:02:14.570,0:02:16.664
แล้วคุณจะได้สี่เหลี่ยมมุมฉากบางเฉียบสุดๆ

0:02:16.664,0:02:18.330
และคุณมีจำนวนสี่เหลี่ยมนับไม่ถ้วน

0:02:18.330,0:02:21.060
นั่นคือนิยามของเรา หรือนิยามรีมานน์

0:02:21.060,0:02:22.820
ว่าอินทิกรัลจำกัดเขตคืออะไร

0:02:22.820,0:02:25.370
และนี่คือพื้นที่ของเขตซ้าย

0:02:25.370,0:02:27.370
ด้วยเหตุผลเดียวกัน เราก็หา

0:02:27.370,0:02:28.972
พื้นที่ของเขตขวาได้

0:02:28.972,0:02:30.680
เขตขวา -- เราแค่

0:02:30.680,0:02:32.127
บวกสองตัวนี้เข้าด้วยกัน

0:02:32.127,0:02:34.210
เขตขวา เราจะไปจาก x เท่ากับ 0

0:02:34.210,0:02:38.530
ถึง x -- โทษที x เท่ากับ 1 [br]ถึง x เท่ากับ 2, 1 ถึง 2

0:02:38.530,0:02:42.130
ฟังก์ชันบนคือ 2 ลบ x

0:02:42.130,0:02:47.220
แล้วจากนั้น เราจะลบฟังก์ชันล่าง

0:02:47.220,0:02:49.660
ซึ่งก็คือ x กำลังสองส่วน 4 ลบ 1

0:02:49.660,0:02:53.780


0:02:53.780,0:02:56.060
และตอนนี้เราต้องหาค่า

0:02:56.060,0:02:58.800
ลองจัดรูปอันนี้ตรงนี้ให้ง่ายลง

0:02:58.800,0:03:02.100
อันนี้เท่ากับอินทิกรัลจำกัดเขต

0:03:02.100,0:03:09.220
จาก 0 ถึง 1 ของรากที่สองของ x ลบ [br]x กำลังสองส่วน 4 บวก 1

0:03:09.220,0:03:12.020
dx -- ผมเขียนทั้งหมดด้วยสีเดียวแล้ว --

0:03:12.020,0:03:18.710
บวกอินทิกรัลจำกัดเขต[br]จาก 1 ถึง 2 ของ 2 ลบ x

0:03:18.710,0:03:21.330
ลบ x กำลังสองส่วน 4

0:03:21.330,0:03:25.330
แล้วลบลบเป็นบวก 3 -- หรือบวก 1

0:03:25.330,0:03:26.650
เราบวกมันกับ 2 นี้ได้

0:03:26.650,0:03:29.330
แล้ว 2 นี้กลายเป็น 3

0:03:29.330,0:03:34.747
ผมบอกว่า 2 ลบลบ 1 เป็น 3 dx

0:03:34.747,0:03:36.705
และตอนนี้เราต้องหาปฏิยานุพันธ์

0:03:36.705,0:03:39.310
และหาค่าที่ 1 กับ 0

0:03:39.310,0:03:42.130
ปฏิยานุพันธ์ขอองตัวนี้คือ --

0:03:42.130,0:03:43.480
นี่คือ x กำลัง 1/2

0:03:43.480,0:03:44.730
เพิ่มขึ้น 1

0:03:44.730,0:03:47.500
เพิ่มเลขชี้กำลังขึ้น 1 คุณจะได้ x กำลัง 3/2

0:03:47.500,0:03:49.200
แล้วคูณมันด้วยส่วนกลับ

0:03:49.200,0:03:53.650
ของเลขชี้กำลังใหม่ -- มันก็คือ 2/3 x กำลัง 3/2

0:03:53.650,0:03:56.410
ลบ -- ปฏิยานุพันธ์ของ x กำลังสองส่วน 4

0:03:56.410,0:04:02.160
ได้ x กำลัง 3, หารด้วย 3, หารด้วย 4, [br]ได้หารด้วย 12

0:04:02.160,0:04:03.660
บวก x

0:04:03.660,0:04:05.510
นั่นคือปฏิยานุพันธ์ของ 1

0:04:05.510,0:04:09.590
เราจะหาค่ามันที่ 1 กับ 0

0:04:09.590,0:04:11.640
แล้วตรงนี้ ปฏิยานุพันธ์คือ

0:04:11.640,0:04:19.670
3x ลบ x กำลังสองส่วน 2 ลบ x

0:04:19.670,0:04:22.029
กำลัง 3 ส่วน 12

0:04:22.029,0:04:24.450
เหมือนเดิม หาค่ามันที่ -- ไม่ใช่เหมือนเดิมสิ

0:04:24.450,0:04:28.460
ตอนนี้เราจะหาค่ามันที่ 2 กับ 1 แทน

0:04:28.460,0:04:30.610
ตรงนี้ คุณหาค่าทั้งหมดนี้ที่ 1

0:04:30.610,0:04:35.690
คุณจะได้ 2/3 ลบ 1/12 บวก 1

0:04:35.690,0:04:38.410
แล้วจากนั้น คุณลบค่านี้ที่ 0

0:04:38.410,0:04:41.010
แต่นี่ก็แค่ 0 คุณจึงไม่ได้อะไร

0:04:41.010,0:04:44.260
นี่คือสิ่งที่ลดรูปจากตัวสีเหลือง

0:04:44.260,0:04:46.740
แล้วตัวสีม่วงนี้ สีบานเย็นนี้

0:04:46.740,0:04:51.070
หรือสีชมพู สีอะไรก็ช่าง ก่อนอื่นคุณหาค่าที่ 2

0:04:51.070,0:04:58.330
คุณได้ 6 ลบ -- ลองดู [br]2 กำลังสองส่วน 2 ได้ 2, ลบ 8

0:04:58.330,0:04:58.920
ส่วน 12

0:04:58.920,0:05:01.520


0:05:01.520,0:05:03.650
แล้วจากนั้น คุณจะลบ

0:05:03.650,0:05:05.460
ตัวนี้หาค่าที่ 1

0:05:05.460,0:05:13.270
มันจึงเท่ากับ 3 คูณ 1 -- [br]นั่นคือ 3 -- ลบ 1/2 ลบ 1

0:05:13.270,0:05:14.604
ส่วน 12

0:05:14.604,0:05:16.270
และตอนนี้ เราจะเหลือ

0:05:16.270,0:05:17.889
แค่บวกเศษส่วนต่างๆ

0:05:17.889,0:05:19.180
ลองดูว่าเราทำได้ไหม

0:05:19.180,0:05:20.930
มันดูเหมือนว่า 12 จะเป็น

0:05:20.930,0:05:22.300
ตัวส่วนร่วมที่ชัดที่สุด

0:05:22.300,0:05:29.430
ตรงนี้ คุณมี 8/12 ลบ 1/ 12 บวก 12/12

0:05:29.430,0:05:31.310
อันนี้ลดรูปเหลือ -- นี่คืออะไร?

0:05:31.310,0:05:36.440
นี่คือ 19/12 ส่วนที่เราเขียนด้วยสีเหลือง

0:05:36.440,0:05:40.190
แล้วตัวนี้ ขอผมใช้สีนี้นะ

0:05:40.190,0:05:43.280
6 ลบ 2 นี่ก็แค่ 4

0:05:43.280,0:05:51.100
เราเขียนได้เป็น 48/12 -- นั่นคือ 4 -- ลบ 8/12

0:05:51.100,0:05:54.460
แล้วเราจะต้องลบ 3 ซึ่งก็คือ 36/12

0:05:54.460,0:05:57.170


0:05:57.170,0:06:02.410
แล้วเราจะบวก 1/2 ซึ่งก็คือบวก 6/12

0:06:02.410,0:06:06.030
แล้วเราจะบวก 1/12

0:06:06.030,0:06:10.730
อันนี้จึงลดรูปหมดเเหลือ -- ลองดู 48 ลบ 8

0:06:10.730,0:06:18.410
ได้ 40, ลบ 36 ได้ 4, บวก 6 ได้ 10,[br]บวก 1 ได้ 11

0:06:18.410,0:06:21.614
อันนี้จึงกลายเป็นบวก 11/12

0:06:21.614,0:06:23.030
ขอผมดูหน่อยว่าผมทำถูกจริง

0:06:23.030,0:06:28.830
48 ลบ 8 ได้ 40, ลบ 36 ได้ 4, 10, 11

0:06:28.830,0:06:30.040
มันดูใช้ได้แล้ว

0:06:30.040,0:06:31.955
แล้วเราก็พร้อมบวกสองตัวนี้

0:06:31.955,0:06:36.010
19 บวก 11 เท่ากับ 30/12

0:06:36.010,0:06:38.290
หรือถ้าเราอยากจัดรูปอันนี้หน่อย

0:06:38.290,0:06:40.990
เราก็หารตัวเศษกับตัวส่วนด้วย 6 ได้

0:06:40.990,0:06:44.960
อันนี้เท่ากับ 5/2 หรือ 2 1/2

0:06:44.960,0:06:45.630
เราก็เสร็จแล้ว

0:06:45.630,0:06:50.560
เราหาพื้นที่ของเขตทั้งหมดนี้ได้แล้ว

0:06:50.560,0:06:53.255
มันคือ 2 1/2

0:06:53.255,0:06:53.755