สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้ คือหาพื้นที่ของเขตนี้
ที่ผมแรเงาด้วยสีเหลือง
และสิ่งที่ดูท้าทายคือว่าในเขตนี้
ผมมีฟังก์ชันตัวล่างเดียวกัน
หรือจะเรียกว่าขอบล่างก็ได้ คือ y
เท่ากับ x กำลังสองส่วน 4 ลบ 1
แต่ผมมีขอบบนต่างกัน
วิธีที่เราแก้ปัญหานี้
คือการแบ่งพื้นที่นี้เป็นสองส่วน
หรือแบ่งเขตนี้เป็นสองเขต เขตทางซ้าย
กับเขตทางขวา โดย
สำหรับเขตแรกนี้ ผมจะ --
ผมจะระบายสีด้วยสีเหลืองอีก -- สำหรับเขตแรกนี้
ตลอดช่วงทั้งหมดของ x นั้น
มันดูเหมือนว่า x จะไปจาก 0 ถึง 1
y เท่ากับ -- เมื่อ x เท่ากับ 1, ฟังก์ชันนี้เท่ากับ 1
เมื่อ x เท่ากับ 1, ฟังก์ชันนี้ก็เท่ากับ 1 ด้วย
นี่คือจุด (1, 1)
นี่คือจุดที่พวกมันตัดกัน
สำหรับส่วนนี้ เขตย่อยนี่ตรงนี้
y เท่ากับรากที่สองของของ x เป็นฟังก์ชันบนตลอดเวลา
แล้วเรามี -- เราตั้ง
อีกตัว -- เราแยกหา
พื้นที่ของเขตนี้ได้
จาก x เท่ากับ 1 ถึง x เท่ากับ 2
เมื่อ y เท่ากับ 2 ลบ x เป็นฟังก์ชันบน
ลองทำดู
ลองคิดถึงเขตแรกก่อน
มันจะเท่ากับอินทิกรัลจำกัดเขตจาก x
เท่ากับ 0 ถึง x เท่ากับ 1
และฟังก์ชันบนของเราคือรากที่สองของ x รากที่สองของ x
แล้วจากนั้น เราอยากลบฟังก์ชันล่าง --
รากที่สองของ x ลบ x กำลังสองส่วน 4 ลบ 1
แล้วแน่นอน เรามี dx
อันนี้ตรงนี้ อันนี้บรรยายพื้นที่สีเหลือง
และคุณคงนึกออก ส่วนนี่ตรงนี้
ผลต่างระหว่างฟังก์ชันสองตัวนี้
ก็คือความสูง
ขอผมใช้อีกสีนะ
แล้วคุณคูณมันด้วย dx
คุณจะได้สี่เหลี่ยมเล็กๆ กว้าง dx
แล้วคุณทำไปสำหรับแต่ละ x
แต่ละ x คุณจะได้สี่เหลี่ยมมุมฉากต่างๆ กัน
แล้วคุณบวกพวกมันเข้า
คุณหาลิมิตเมื่อ การเปลี่ยนแปลงของ x เข้าใกล้ 0
แล้วคุณจะได้สี่เหลี่ยมมุมฉากบางเฉียบสุดๆ
และคุณมีจำนวนสี่เหลี่ยมนับไม่ถ้วน
นั่นคือนิยามของเรา หรือนิยามรีมานน์
ว่าอินทิกรัลจำกัดเขตคืออะไร
และนี่คือพื้นที่ของเขตซ้าย
ด้วยเหตุผลเดียวกัน เราก็หา
พื้นที่ของเขตขวาได้
เขตขวา -- เราแค่
บวกสองตัวนี้เข้าด้วยกัน
เขตขวา เราจะไปจาก x เท่ากับ 0
ถึง x -- โทษที x เท่ากับ 1 ถึง x เท่ากับ 2, 1 ถึง 2
ฟังก์ชันบนคือ 2 ลบ x
แล้วจากนั้น เราจะลบฟังก์ชันล่าง
ซึ่งก็คือ x กำลังสองส่วน 4 ลบ 1
และตอนนี้เราต้องหาค่า
ลองจัดรูปอันนี้ตรงนี้ให้ง่ายลง
อันนี้เท่ากับอินทิกรัลจำกัดเขต
จาก 0 ถึง 1 ของรากที่สองของ x ลบ x กำลังสองส่วน 4 บวก 1
dx -- ผมเขียนทั้งหมดด้วยสีเดียวแล้ว --
บวกอินทิกรัลจำกัดเขต จาก 1 ถึง 2 ของ 2 ลบ x
ลบ x กำลังสองส่วน 4
แล้วลบลบเป็นบวก 3 -- หรือบวก 1
เราบวกมันกับ 2 นี้ได้
แล้ว 2 นี้กลายเป็น 3
ผมบอกว่า 2 ลบลบ 1 เป็น 3 dx
และตอนนี้เราต้องหาปฏิยานุพันธ์
และหาค่าที่ 1 กับ 0
ปฏิยานุพันธ์ขอองตัวนี้คือ --
นี่คือ x กำลัง 1/2
เพิ่มขึ้น 1
เพิ่มเลขชี้กำลังขึ้น 1 คุณจะได้ x กำลัง 3/2
แล้วคูณมันด้วยส่วนกลับ
ของเลขชี้กำลังใหม่ -- มันก็คือ 2/3 x กำลัง 3/2
ลบ -- ปฏิยานุพันธ์ของ x กำลังสองส่วน 4
ได้ x กำลัง 3, หารด้วย 3, หารด้วย 4, ได้หารด้วย 12
บวก x
นั่นคือปฏิยานุพันธ์ของ 1
เราจะหาค่ามันที่ 1 กับ 0
แล้วตรงนี้ ปฏิยานุพันธ์คือ
3x ลบ x กำลังสองส่วน 2 ลบ x
กำลัง 3 ส่วน 12
เหมือนเดิม หาค่ามันที่ -- ไม่ใช่เหมือนเดิมสิ
ตอนนี้เราจะหาค่ามันที่ 2 กับ 1 แทน
ตรงนี้ คุณหาค่าทั้งหมดนี้ที่ 1
คุณจะได้ 2/3 ลบ 1/12 บวก 1
แล้วจากนั้น คุณลบค่านี้ที่ 0
แต่นี่ก็แค่ 0 คุณจึงไม่ได้อะไร
นี่คือสิ่งที่ลดรูปจากตัวสีเหลือง
แล้วตัวสีม่วงนี้ สีบานเย็นนี้
หรือสีชมพู สีอะไรก็ช่าง ก่อนอื่นคุณหาค่าที่ 2
คุณได้ 6 ลบ -- ลองดู 2 กำลังสองส่วน 2 ได้ 2, ลบ 8
ส่วน 12
แล้วจากนั้น คุณจะลบ
ตัวนี้หาค่าที่ 1
มันจึงเท่ากับ 3 คูณ 1 -- นั่นคือ 3 -- ลบ 1/2 ลบ 1
ส่วน 12
และตอนนี้ เราจะเหลือ
แค่บวกเศษส่วนต่างๆ
ลองดูว่าเราทำได้ไหม
มันดูเหมือนว่า 12 จะเป็น
ตัวส่วนร่วมที่ชัดที่สุด
ตรงนี้ คุณมี 8/12 ลบ 1/ 12 บวก 12/12
อันนี้ลดรูปเหลือ -- นี่คืออะไร?
นี่คือ 19/12 ส่วนที่เราเขียนด้วยสีเหลือง
แล้วตัวนี้ ขอผมใช้สีนี้นะ
6 ลบ 2 นี่ก็แค่ 4
เราเขียนได้เป็น 48/12 -- นั่นคือ 4 -- ลบ 8/12
แล้วเราจะต้องลบ 3 ซึ่งก็คือ 36/12
แล้วเราจะบวก 1/2 ซึ่งก็คือบวก 6/12
แล้วเราจะบวก 1/12
อันนี้จึงลดรูปหมดเเหลือ -- ลองดู 48 ลบ 8
ได้ 40, ลบ 36 ได้ 4, บวก 6 ได้ 10, บวก 1 ได้ 11
อันนี้จึงกลายเป็นบวก 11/12
ขอผมดูหน่อยว่าผมทำถูกจริง
48 ลบ 8 ได้ 40, ลบ 36 ได้ 4, 10, 11
มันดูใช้ได้แล้ว
แล้วเราก็พร้อมบวกสองตัวนี้
19 บวก 11 เท่ากับ 30/12
หรือถ้าเราอยากจัดรูปอันนี้หน่อย
เราก็หารตัวเศษกับตัวส่วนด้วย 6 ได้
อันนี้เท่ากับ 5/2 หรือ 2 1/2
เราก็เสร็จแล้ว
เราหาพื้นที่ของเขตทั้งหมดนี้ได้แล้ว
มันคือ 2 1/2