WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.520


00:00:00.520 --> 00:00:04.050
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้
คือหาพื้นที่ของเขตนี้

00:00:04.050 --> 00:00:07.200
ที่ผมแรเงาด้วยสีเหลือง

00:00:07.200 --> 00:00:11.140
และสิ่งที่ดูท้าทายคือว่าในเขตนี้

00:00:11.140 --> 00:00:12.810
ผมมีฟังก์ชันตัวล่างเดียวกัน

00:00:12.810 --> 00:00:14.540
หรือจะเรียกว่าขอบล่างก็ได้ คือ y

00:00:14.540 --> 00:00:16.870
เท่ากับ x กำลังสองส่วน 4 ลบ 1

00:00:16.870 --> 00:00:19.242
แต่ผมมีขอบบนต่างกัน

00:00:19.242 --> 00:00:20.700
วิธีที่เราแก้ปัญหานี้

00:00:20.700 --> 00:00:23.290
คือการแบ่งพื้นที่นี้เป็นสองส่วน

00:00:23.290 --> 00:00:26.640
หรือแบ่งเขตนี้เป็นสองเขต เขตทางซ้าย

00:00:26.640 --> 00:00:28.250
กับเขตทางขวา โดย

00:00:28.250 --> 00:00:30.730
สำหรับเขตแรกนี้ ผมจะ --

00:00:30.730 --> 00:00:34.310
ผมจะระบายสีด้วยสีเหลืองอีก 
-- สำหรับเขตแรกนี้

00:00:34.310 --> 00:00:35.950
ตลอดช่วงทั้งหมดของ x นั้น

00:00:35.950 --> 00:00:40.360
มันดูเหมือนว่า x จะไปจาก 0 ถึง 1

00:00:40.360 --> 00:00:44.280
y เท่ากับ -- เมื่อ x เท่ากับ 1, ฟังก์ชันนี้เท่ากับ 1

00:00:44.280 --> 00:00:47.220
เมื่อ x เท่ากับ 1, ฟังก์ชันนี้ก็เท่ากับ 1 ด้วย

00:00:47.220 --> 00:00:48.810
นี่คือจุด (1, 1)

00:00:48.810 --> 00:00:50.320
นี่คือจุดที่พวกมันตัดกัน

00:00:50.320 --> 00:00:53.250
สำหรับส่วนนี้ เขตย่อยนี่ตรงนี้

00:00:53.250 --> 00:00:57.420
y เท่ากับรากที่สองของของ x 
เป็นฟังก์ชันบนตลอดเวลา

00:00:57.420 --> 00:00:59.230
แล้วเรามี -- เราตั้ง

00:00:59.230 --> 00:01:02.860
อีกตัว -- เราแยกหา

00:01:02.860 --> 00:01:04.920
พื้นที่ของเขตนี้ได้

00:01:04.920 --> 00:01:07.960
จาก x เท่ากับ 1 ถึง x เท่ากับ 2

00:01:07.960 --> 00:01:10.890
เมื่อ y เท่ากับ 2 ลบ x เป็นฟังก์ชันบน

00:01:10.890 --> 00:01:12.450
ลองทำดู

00:01:12.450 --> 00:01:14.710
ลองคิดถึงเขตแรกก่อน

00:01:14.710 --> 00:01:17.050
มันจะเท่ากับอินทิกรัลจำกัดเขตจาก x

00:01:17.050 --> 00:01:19.640
เท่ากับ 0 ถึง x เท่ากับ 1

00:01:19.640 --> 00:01:25.120
และฟังก์ชันบนของเราคือรากที่สองของ x
รากที่สองของ x

00:01:25.120 --> 00:01:28.390
แล้วจากนั้น เราอยากลบฟังก์ชันล่าง --

00:01:28.390 --> 00:01:32.320
รากที่สองของ x ลบ x กำลังสองส่วน 4 ลบ 1

00:01:32.320 --> 00:01:39.200


00:01:39.200 --> 00:01:42.400
แล้วแน่นอน เรามี dx

00:01:42.400 --> 00:01:46.350
อันนี้ตรงนี้ อันนี้บรรยายพื้นที่สีเหลือง

00:01:46.350 --> 00:01:49.730
และคุณคงนึกออก ส่วนนี่ตรงนี้

00:01:49.730 --> 00:01:51.660
ผลต่างระหว่างฟังก์ชันสองตัวนี้

00:01:51.660 --> 00:01:53.164
ก็คือความสูง

00:01:53.164 --> 00:01:54.580
ขอผมใช้อีกสีนะ

00:01:54.580 --> 00:01:57.820


00:01:57.820 --> 00:01:59.680
แล้วคุณคูณมันด้วย dx

00:01:59.680 --> 00:02:03.390
คุณจะได้สี่เหลี่ยมเล็กๆ กว้าง dx

00:02:03.390 --> 00:02:06.600
แล้วคุณทำไปสำหรับแต่ละ x

00:02:06.600 --> 00:02:08.860
แต่ละ x คุณจะได้สี่เหลี่ยมมุมฉากต่างๆ กัน

00:02:08.860 --> 00:02:10.650
แล้วคุณบวกพวกมันเข้า

00:02:10.650 --> 00:02:14.570
คุณหาลิมิตเมื่อ
การเปลี่ยนแปลงของ x เข้าใกล้ 0

00:02:14.570 --> 00:02:16.664
แล้วคุณจะได้สี่เหลี่ยมมุมฉากบางเฉียบสุดๆ

00:02:16.664 --> 00:02:18.330
และคุณมีจำนวนสี่เหลี่ยมนับไม่ถ้วน

00:02:18.330 --> 00:02:21.060
นั่นคือนิยามของเรา หรือนิยามรีมานน์

00:02:21.060 --> 00:02:22.820
ว่าอินทิกรัลจำกัดเขตคืออะไร

00:02:22.820 --> 00:02:25.370
และนี่คือพื้นที่ของเขตซ้าย

00:02:25.370 --> 00:02:27.370
ด้วยเหตุผลเดียวกัน เราก็หา

00:02:27.370 --> 00:02:28.972
พื้นที่ของเขตขวาได้

00:02:28.972 --> 00:02:30.680
เขตขวา -- เราแค่

00:02:30.680 --> 00:02:32.127
บวกสองตัวนี้เข้าด้วยกัน

00:02:32.127 --> 00:02:34.210
เขตขวา เราจะไปจาก x เท่ากับ 0

00:02:34.210 --> 00:02:38.530
ถึง x -- โทษที x เท่ากับ 1 
ถึง x เท่ากับ 2, 1 ถึง 2

00:02:38.530 --> 00:02:42.130
ฟังก์ชันบนคือ 2 ลบ x

00:02:42.130 --> 00:02:47.220
แล้วจากนั้น เราจะลบฟังก์ชันล่าง

00:02:47.220 --> 00:02:49.660
ซึ่งก็คือ x กำลังสองส่วน 4 ลบ 1

00:02:49.660 --> 00:02:53.780


00:02:53.780 --> 00:02:56.060
และตอนนี้เราต้องหาค่า

00:02:56.060 --> 00:02:58.800
ลองจัดรูปอันนี้ตรงนี้ให้ง่ายลง

00:02:58.800 --> 00:03:02.100
อันนี้เท่ากับอินทิกรัลจำกัดเขต

00:03:02.100 --> 00:03:09.220
จาก 0 ถึง 1 ของรากที่สองของ x ลบ 
x กำลังสองส่วน 4 บวก 1

00:03:09.220 --> 00:03:12.020
dx -- ผมเขียนทั้งหมดด้วยสีเดียวแล้ว --

00:03:12.020 --> 00:03:18.710
บวกอินทิกรัลจำกัดเขต
จาก 1 ถึง 2 ของ 2 ลบ x

00:03:18.710 --> 00:03:21.330
ลบ x กำลังสองส่วน 4

00:03:21.330 --> 00:03:25.330
แล้วลบลบเป็นบวก 3 -- หรือบวก 1

00:03:25.330 --> 00:03:26.650
เราบวกมันกับ 2 นี้ได้

00:03:26.650 --> 00:03:29.330
แล้ว 2 นี้กลายเป็น 3

00:03:29.330 --> 00:03:34.747
ผมบอกว่า 2 ลบลบ 1 เป็น 3 dx

00:03:34.747 --> 00:03:36.705
และตอนนี้เราต้องหาปฏิยานุพันธ์

00:03:36.705 --> 00:03:39.310
และหาค่าที่ 1 กับ 0

00:03:39.310 --> 00:03:42.130
ปฏิยานุพันธ์ขอองตัวนี้คือ --

00:03:42.130 --> 00:03:43.480
นี่คือ x กำลัง 1/2

00:03:43.480 --> 00:03:44.730
เพิ่มขึ้น 1

00:03:44.730 --> 00:03:47.500
เพิ่มเลขชี้กำลังขึ้น 1 คุณจะได้ x กำลัง 3/2

00:03:47.500 --> 00:03:49.200
แล้วคูณมันด้วยส่วนกลับ

00:03:49.200 --> 00:03:53.650
ของเลขชี้กำลังใหม่ -- มันก็คือ 2/3 x กำลัง 3/2

00:03:53.650 --> 00:03:56.410
ลบ -- ปฏิยานุพันธ์ของ x กำลังสองส่วน 4

00:03:56.410 --> 00:04:02.160
ได้ x กำลัง 3, หารด้วย 3, หารด้วย 4, 
ได้หารด้วย 12

00:04:02.160 --> 00:04:03.660
บวก x

00:04:03.660 --> 00:04:05.510
นั่นคือปฏิยานุพันธ์ของ 1

00:04:05.510 --> 00:04:09.590
เราจะหาค่ามันที่ 1 กับ 0

00:04:09.590 --> 00:04:11.640
แล้วตรงนี้ ปฏิยานุพันธ์คือ

00:04:11.640 --> 00:04:19.670
3x ลบ x กำลังสองส่วน 2 ลบ x

00:04:19.670 --> 00:04:22.029
กำลัง 3 ส่วน 12

00:04:22.029 --> 00:04:24.450
เหมือนเดิม หาค่ามันที่ -- ไม่ใช่เหมือนเดิมสิ

00:04:24.450 --> 00:04:28.460
ตอนนี้เราจะหาค่ามันที่ 2 กับ 1 แทน

00:04:28.460 --> 00:04:30.610
ตรงนี้ คุณหาค่าทั้งหมดนี้ที่ 1

00:04:30.610 --> 00:04:35.690
คุณจะได้ 2/3 ลบ 1/12 บวก 1

00:04:35.690 --> 00:04:38.410
แล้วจากนั้น คุณลบค่านี้ที่ 0

00:04:38.410 --> 00:04:41.010
แต่นี่ก็แค่ 0 คุณจึงไม่ได้อะไร

00:04:41.010 --> 00:04:44.260
นี่คือสิ่งที่ลดรูปจากตัวสีเหลือง

00:04:44.260 --> 00:04:46.740
แล้วตัวสีม่วงนี้ สีบานเย็นนี้

00:04:46.740 --> 00:04:51.070
หรือสีชมพู สีอะไรก็ช่าง ก่อนอื่นคุณหาค่าที่ 2

00:04:51.070 --> 00:04:58.330
คุณได้ 6 ลบ -- ลองดู 
2 กำลังสองส่วน 2 ได้ 2, ลบ 8

00:04:58.330 --> 00:04:58.920
ส่วน 12

00:04:58.920 --> 00:05:01.520


00:05:01.520 --> 00:05:03.650
แล้วจากนั้น คุณจะลบ

00:05:03.650 --> 00:05:05.460
ตัวนี้หาค่าที่ 1

00:05:05.460 --> 00:05:13.270
มันจึงเท่ากับ 3 คูณ 1 -- 
นั่นคือ 3 -- ลบ 1/2 ลบ 1

00:05:13.270 --> 00:05:14.604
ส่วน 12

00:05:14.604 --> 00:05:16.270
และตอนนี้ เราจะเหลือ

00:05:16.270 --> 00:05:17.889
แค่บวกเศษส่วนต่างๆ

00:05:17.889 --> 00:05:19.180
ลองดูว่าเราทำได้ไหม

00:05:19.180 --> 00:05:20.930
มันดูเหมือนว่า 12 จะเป็น

00:05:20.930 --> 00:05:22.300
ตัวส่วนร่วมที่ชัดที่สุด

00:05:22.300 --> 00:05:29.430
ตรงนี้ คุณมี 8/12 ลบ 1/ 12 บวก 12/12

00:05:29.430 --> 00:05:31.310
อันนี้ลดรูปเหลือ -- นี่คืออะไร?

00:05:31.310 --> 00:05:36.440
นี่คือ 19/12 ส่วนที่เราเขียนด้วยสีเหลือง

00:05:36.440 --> 00:05:40.190
แล้วตัวนี้ ขอผมใช้สีนี้นะ

00:05:40.190 --> 00:05:43.280
6 ลบ 2 นี่ก็แค่ 4

00:05:43.280 --> 00:05:51.100
เราเขียนได้เป็น 48/12 -- นั่นคือ 4 -- ลบ 8/12

00:05:51.100 --> 00:05:54.460
แล้วเราจะต้องลบ 3 ซึ่งก็คือ 36/12

00:05:54.460 --> 00:05:57.170


00:05:57.170 --> 00:06:02.410
แล้วเราจะบวก 1/2 ซึ่งก็คือบวก 6/12

00:06:02.410 --> 00:06:06.030
แล้วเราจะบวก 1/12

00:06:06.030 --> 00:06:10.730
อันนี้จึงลดรูปหมดเเหลือ -- ลองดู 48 ลบ 8

00:06:10.730 --> 00:06:18.410
ได้ 40, ลบ 36 ได้ 4, บวก 6 ได้ 10,
บวก 1 ได้ 11

00:06:18.410 --> 00:06:21.614
อันนี้จึงกลายเป็นบวก 11/12

00:06:21.614 --> 00:06:23.030
ขอผมดูหน่อยว่าผมทำถูกจริง

00:06:23.030 --> 00:06:28.830
48 ลบ 8 ได้ 40, ลบ 36 ได้ 4, 10, 11

00:06:28.830 --> 00:06:30.040
มันดูใช้ได้แล้ว

00:06:30.040 --> 00:06:31.955
แล้วเราก็พร้อมบวกสองตัวนี้

00:06:31.955 --> 00:06:36.010
19 บวก 11 เท่ากับ 30/12

00:06:36.010 --> 00:06:38.290
หรือถ้าเราอยากจัดรูปอันนี้หน่อย

00:06:38.290 --> 00:06:40.990
เราก็หารตัวเศษกับตัวส่วนด้วย 6 ได้

00:06:40.990 --> 00:06:44.960
อันนี้เท่ากับ 5/2 หรือ 2 1/2

00:06:44.960 --> 00:06:45.630
เราก็เสร็จแล้ว

00:06:45.630 --> 00:06:50.560
เราหาพื้นที่ของเขตทั้งหมดนี้ได้แล้ว

00:06:50.560 --> 00:06:53.255
มันคือ 2 1/2

00:06:53.255 --> 00:06:53.755