0:00:00.520,0:00:04.050
在这个视频里，我要算出这个

0:00:04.050,0:00:07.200
我正在涂上黄色阴影的区域的面积。

0:00:07.200,0:00:11.140
具有挑战性的是，在整个区域，

0:00:11.140,0:00:12.810
我有同样的下边界的函数，

0:00:12.810,0:00:14.540
下面的边界是

0:00:14.540,0:00:16.870
y = x 平方/4 - 1，

0:00:16.870,0:00:19.242
但是我有不同的上边界，

0:00:19.242,0:00:20.700
我们的处理方法就是

0:00:20.700,0:00:23.290
是要把这个面积分成两部分，

0:00:23.290,0:00:26.640
或者说，把这个区域分成两个区域，左边的区域

0:00:26.640,0:00:28.250
和右边的区域，

0:00:28.250,0:00:30.730
对于这第一个区域--我涂成

0:00:30.730,0:00:34.310
更多黄色--对这第一个区域，

0:00:34.310,0:00:35.950
它的整个的 x 的区间，

0:00:35.950,0:00:40.360
看起来 x 是在 0 到 1 之间，

0:00:40.360,0:00:44.280
y 等于 -- 当 x 等于 1 ，这个函数也等于 1，

0:00:44.280,0:00:47.220
当 x 等于 1 ，这个函数也等于 1，

0:00:47.220,0:00:48.810
所以，这个点就是 （1，1）

0:00:48.810,0:00:50.320
这是他们的交点，

0:00:50.320,0:00:53.250
所以，对这一部分，这里的这个分区域，

0:00:53.250,0:00:57.420
y = 根下 x 就是整个上面的边界，

0:00:57.420,0:00:59.230
这样我们就可以--我们可以

0:00:59.230,0:01:02.860
建立不同的--我们能分别处理，计算出

0:01:02.860,0:01:04.920
这个区域的的面积。

0:01:04.920,0:01:07.960
从 x=1 到 x=2 ,

0:01:07.960,0:01:10.890
y = 2 - x 是上边界的函数，

0:01:10.890,0:01:12.450
我们来做一下。

0:01:12.450,0:01:14.710
我们首先来考虑第一个区域，

0:01:14.710,0:01:17.050
它就是从

0:01:17.050,0:01:19.640
x=0 到 x=1 的定积分

0:01:19.640,0:01:25.120
我们的上边界的函数是 根下 x ，x 的平方根，

0:01:25.120,0:01:28.390
我们要从它减去我们的下边界函数，

0:01:28.390,0:01:32.320
根下 x 减去 x平方/4 减去1，

0:01:39.200,0:01:42.400
当然我们有我们的 dx 。

0:01:42.400,0:01:46.350
这里，它表示黄色的区域面积。

0:01:46.350,0:01:49.730
你可以想象，这一部分，

0:01:49.730,0:01:51.660
这两个函数的不同，

0:01:51.660,0:01:53.164
就是这个高度，

0:01:53.164,0:01:54.580
我用不同的颜色来做，

0:01:57.820,0:01:59.680
然后，你把它乘上 dx，

0:01:59.680,0:02:03.390
你得到一个宽度为 dx 的小矩形，

0:02:03.390,0:02:06.600
你对所有的 x 进行计算，

0:02:06.600,0:02:08.860
对不同的 x ，你得到不同的矩形，

0:02:08.860,0:02:10.650
然后，你把它们加在一起，

0:02:10.650,0:02:14.570
你求当 x 的变化趋于 0 的极限，

0:02:14.570,0:02:16.664
你就得到非常非常薄的矩形，

0:02:16.664,0:02:18.330
你有无限多的这样的矩形，

0:02:18.330,0:02:21.060
这就是我们对定积分的定义，

0:02:21.060,0:02:22.820
或者说就是黎曼定义，

0:02:22.820,0:02:25.370
这是左边区域的面积，

0:02:25.370,0:02:27.370
用完全相同的逻辑，

0:02:27.370,0:02:28.972
我们可以算出右边区域的面积，

0:02:28.972,0:02:30.680
这个右边的区域，--然后我们

0:02:30.680,0:02:32.127
只需把两个面积相加，

0:02:32.127,0:02:34.210
右边的区域，我们要从 x = 0 ，

0:02:34.210,0:02:38.530
到 x --对不起，是 x=1 到 x=2，

0:02:38.530,0:02:42.130
上面的函数 是 2 - x，

0:02:42.130,0:02:47.220
我们要从它减去下面的函数，

0:02:47.220,0:02:49.660
减去 x平方/4 -1，

0:02:53.780,0:02:56.060
现在我们只需求它的值。

0:02:56.060,0:02:58.800
这里，我们先对它进行简化，

0:02:58.800,0:03:02.100
这是 根下x - x平方/4 +1 dx

0:03:02.100,0:03:09.220
从 0 到 1 的定积分，

0:03:09.220,0:03:12.020
我把它们用一个颜色来写，

0:03:12.020,0:03:18.710
加上 2 - x

0:03:18.710,0:03:21.330
减 x 平方/4，

0:03:21.330,0:03:25.330
然后 减去负值就是正 3，--不对，正 1，

0:03:25.330,0:03:26.650
我们把它加上这个 2，

0:03:26.650,0:03:29.330
这个 2 就变成 3，

0:03:29.330,0:03:34.747
我是说，2 减 -1 就是 3，

0:03:34.747,0:03:36.705
现在，我们只需要求反导数，

0:03:36.705,0:03:39.310
求它在 1 和 0 的值。

0:03:39.310,0:03:42.130
那么，它的反导数就是，

0:03:42.130,0:03:43.480
这是 x 的 1/2 次方，

0:03:43.480,0:03:44.730
把它 加 1，

0:03:44.730,0:03:47.500
把指数加 1，你就得到 x 的 3/2次方，

0:03:47.500,0:03:49.200
然后乘以

0:03:49.200,0:03:53.650
新的指数的倒数，

0:03:53.650,0:03:56.410
减去-- x平方/4 的反导数

0:03:56.410,0:04:02.160
是 x 的 3 次方，除以 3，再除以 4，就是除以 12 ，

0:04:02.160,0:04:03.660
加 x 。

0:04:03.660,0:04:05.510
它就是 1 的反导数，

0:04:05.510,0:04:09.590
我们要计算它在 1 和 0 的值。

0:04:09.590,0:04:11.640
这里，反导数就是

0:04:11.640,0:04:19.670
3 x - x平方/2

0:04:19.670,0:04:22.029
- x 3次方/12，

0:04:22.029,0:04:24.450
再做一次，求它的值，--不应说再做一次--

0:04:24.450,0:04:28.460
我们要求 它在 2 和 1 的值，

0:04:28.460,0:04:30.610
在这里，你要求所有这些在 1 的值，

0:04:30.610,0:04:35.690
你得到 2/3 -1/12 + 1，

0:04:35.690,0:04:38.410
然后，你从中减去它们在 0 的值，

0:04:38.410,0:04:41.010
但它们都是 0，你啥也没得到。

0:04:41.010,0:04:44.260
这就是黄色部分简化的结果。

0:04:44.260,0:04:46.740


0:04:46.740,0:04:51.070


0:04:51.070,0:04:58.330


0:04:58.330,0:04:58.920


0:05:01.520,0:05:03.650


0:05:03.650,0:05:05.460


0:05:05.460,0:05:13.270


0:05:13.270,0:05:14.604


0:05:14.604,0:05:16.270


0:05:16.270,0:05:17.889


0:05:17.889,0:05:19.180


0:05:19.180,0:05:20.930


0:05:20.930,0:05:22.300


0:05:22.300,0:05:29.430


0:05:29.430,0:05:31.310


0:05:31.310,0:05:36.440


0:05:36.440,0:05:40.190


0:05:40.190,0:05:43.280


0:05:43.280,0:05:51.100


0:05:51.100,0:05:54.460


0:05:57.170,0:06:02.410


0:06:02.410,0:06:06.030


0:06:06.030,0:06:10.730


0:06:10.730,0:06:18.410


0:06:18.410,0:06:21.614


0:06:21.614,0:06:23.030


0:06:23.030,0:06:28.830


0:06:28.830,0:06:30.040


0:06:30.040,0:06:31.955


0:06:31.955,0:06:36.010


0:06:36.010,0:06:38.290


0:06:38.290,0:06:40.990


0:06:40.990,0:06:44.960


0:06:44.960,0:06:45.630


0:06:45.630,0:06:50.560


0:06:50.560,0:06:53.255