在这个视频里，我要算出这个
我正在涂上黄色阴影的区域的面积。
具有挑战性的是，在整个区域，
我有同样的下边界的函数，
下面的边界是
y = x 平方/4 - 1，
但是我有不同的上边界，
我们的处理方法就是
是要把这个面积分成两部分，
或者说，把这个区域分成两个区域，左边的区域
和右边的区域，
对于这第一个区域--我涂成
更多黄色--对这第一个区域，
它的整个的 x 的区间，
看起来 x 是在 0 到 1 之间，
y 等于 -- 当 x 等于 1 ，这个函数也等于 1，
当 x 等于 1 ，这个函数也等于 1，
所以，这个点就是 （1，1）
这是他们的交点，
所以，对这一部分，这里的这个分区域，
y = 根下 x 就是整个上面的边界，
这样我们就可以--我们可以
建立不同的--我们能分别处理，计算出
这个区域的的面积。
从 x=1 到 x=2 ,
y = 2 - x 是上边界的函数，
我们来做一下。
我们首先来考虑第一个区域，
它就是从
x=0 到 x=1 的定积分
我们的上边界的函数是 根下 x ，x 的平方根，
我们要从它减去我们的下边界函数，
根下 x 减去 x平方/4 减去1，
当然我们有我们的 dx 。
这里，它表示黄色的区域面积。
你可以想象，这一部分，
这两个函数的不同，
就是这个高度，
我用不同的颜色来做，
然后，你把它乘上 dx，
你得到一个宽度为 dx 的小矩形，
你对所有的 x 进行计算，
对不同的 x ，你得到不同的矩形，
然后，你把它们加在一起，
你求当 x 的变化趋于 0 的极限，
你就得到非常非常薄的矩形，
你有无限多的这样的矩形，
这就是我们对定积分的定义，
或者说就是黎曼定义，
这是左边区域的面积，
用完全相同的逻辑，
我们可以算出右边区域的面积，
这个右边的区域，--然后我们
只需把两个面积相加，
右边的区域，我们要从 x = 0 ，
到 x --对不起，是 x=1 到 x=2，
上面的函数 是 2 - x，
我们要从它减去下面的函数，
减去 x平方/4 -1，
现在我们只需求它的值。
这里，我们先对它进行简化，
这是 根下x - x平方/4 +1 dx
从 0 到 1 的定积分，
我把它们用一个颜色来写，
加上 2 - x
减 x 平方/4，
然后 减去负值就是正 3，--不对，正 1，
我们把它加上这个 2，
这个 2 就变成 3，
我是说，2 减 -1 就是 3，
现在，我们只需要求反导数，
求它在 1 和 0 的值。
那么，它的反导数就是，
这是 x 的 1/2 次方，
把它 加 1，
把指数加 1，你就得到 x 的 3/2次方，
然后乘以
新的指数的倒数，
减去-- x平方/4 的反导数
是 x 的 3 次方，除以 3，再除以 4，就是除以 12 ，
加 x 。
它就是 1 的反导数，
我们要计算它在 1 和 0 的值。
这里，反导数就是
3 x - x平方/2
- x 3次方/12，
再做一次，求它的值，--不应说再做一次--
我们要求 它在 2 和 1 的值，
在这里，你要求所有这些在 1 的值，
你得到 2/3 -1/12 + 1，
然后，你从中减去它们在 0 的值，
但它们都是 0，你啥也没得到。
这就是黄色部分简化的结果。
然后这个紫色区域，或者说这个品红色区域，
或者说浅紫色区域，不管叫它什么颜色吧，你先求它在 2 的值，
你得到 6 减去 --我们看看--2 的平方除以 2 就是 2，
减去 8/12，
然后，你要从它减去
它在 1 的值，
它就是 3乘以 1，就是 3，
减去 1/2 减去 1/12，
现在我们剩下的工作，就是
把这些分数相加，
我们看我们是否做出来，
看起来，
12 是最明显的通用分母
这里，你有 8/12 减去1/12 加上 12/12
它就简化为 --什么？
这就是 19/12，这是黄色部分，
然后计算它，
6 减 2，就是 4，
我们可以把它写成 48/12，就是 4，减去 8/12，
然后，我们要减去 3，也就是 36/12，
然后，我们要加上 1/2，也就是 6/12，
然后，我们要加上 1/12，
所有这些简化为--我们看，48 减 8，
是 40，减 36 是 4，加上 6 是 10，加1 是 11，
这样，它就成了 11/12，
我来确认我做对了，
48 减 8 是 40，减36 是 4， 10， 11，
看起来这是正确的，
现在我们可以把它两个相加了，
19 加 11 是 30/12，
如果我们想简化它，
我们可以把分子分母除以 6 ，
它就等于 5/2 或者说 2 又 1/2，
我们就做完了。
我们算出了整个区域的面积，
它就是 2 又 1/2。