在这个视频里，我要算出这个 我正在涂上黄色阴影的区域的面积。 具有挑战性的是，在整个区域， 我有同样的下边界的函数， 下面的边界是 y = x 平方/4 - 1， 但是我有不同的上边界， 我们的处理方法就是 是要把这个面积分成两部分， 或者说，把这个区域分成两个区域，左边的区域 和右边的区域， 对于这第一个区域--我涂成 更多黄色--对这第一个区域， 它的整个的 x 的区间， 看起来 x 是在 0 到 1 之间， y 等于 -- 当 x 等于 1 ，这个函数也等于 1， 当 x 等于 1 ，这个函数也等于 1， 所以，这个点就是 （1，1） 这是他们的交点， 所以，对这一部分，这里的这个分区域， y = 根下 x 就是整个上面的边界， 这样我们就可以--我们可以 建立不同的--我们能分别处理，计算出 这个区域的的面积。 从 x=1 到 x=2 , y = 2 - x 是上边界的函数， 我们来做一下。 我们首先来考虑第一个区域， 它就是从 x=0 到 x=1 的定积分 我们的上边界的函数是 根下 x ，x 的平方根， 我们要从它减去我们的下边界函数， 根下 x 减去 x平方/4 减去1， 当然我们有我们的 dx 。 这里，它表示黄色的区域面积。 你可以想象，这一部分， 这两个函数的不同， 就是这个高度， 我用不同的颜色来做， 然后，你把它乘上 dx， 你得到一个宽度为 dx 的小矩形， 你对所有的 x 进行计算， 对不同的 x ，你得到不同的矩形， 然后，你把它们加在一起， 你求当 x 的变化趋于 0 的极限， 你就得到非常非常薄的矩形， 你有无限多的这样的矩形， 这就是我们对定积分的定义， 或者说就是黎曼定义， 这是左边区域的面积， 用完全相同的逻辑， 我们可以算出右边区域的面积， 这个右边的区域，--然后我们 只需把两个面积相加， 右边的区域，我们要从 x = 0 ， 到 x --对不起，是 x=1 到 x=2， 上面的函数 是 2 - x， 我们要从它减去下面的函数， 减去 x平方/4 -1， 现在我们只需求它的值。 这里，我们先对它进行简化， 这是 根下x - x平方/4 +1 dx 从 0 到 1 的定积分， 我把它们用一个颜色来写， 加上 2 - x 减 x 平方/4， 然后 减去负值就是正 3，--不对，正 1， 我们把它加上这个 2， 这个 2 就变成 3， 我是说，2 减 -1 就是 3， 现在，我们只需要求反导数， 求它在 1 和 0 的值。 那么，它的反导数就是， 这是 x 的 1/2 次方， 把它 加 1， 把指数加 1，你就得到 x 的 3/2次方， 然后乘以 新的指数的倒数， 减去-- x平方/4 的反导数 是 x 的 3 次方，除以 3，再除以 4，就是除以 12 ， 加 x 。 它就是 1 的反导数， 我们要计算它在 1 和 0 的值。 这里，反导数就是 3 x - x平方/2 - x 3次方/12， 再做一次，求它的值，--不应说再做一次-- 我们要求 它在 2 和 1 的值， 在这里，你要求所有这些在 1 的值， 你得到 2/3 -1/12 + 1， 然后，你从中减去它们在 0 的值， 但它们都是 0，你啥也没得到。 这就是黄色部分简化的结果。 然后这个紫色区域，或者说这个品红色区域， 或者说浅紫色区域，不管叫它什么颜色吧，你先求它在 2 的值， 你得到 6 减去 --我们看看--2 的平方除以 2 就是 2， 减去 8/12， 然后，你要从它减去 它在 1 的值， 它就是 3乘以 1，就是 3， 减去 1/2 减去 1/12， 现在我们剩下的工作，就是 把这些分数相加， 我们看我们是否做出来， 看起来， 12 是最明显的通用分母 这里，你有 8/12 减去1/12 加上 12/12 它就简化为 --什么？ 这就是 19/12，这是黄色部分， 然后计算它， 6 减 2，就是 4， 我们可以把它写成 48/12，就是 4，减去 8/12， 然后，我们要减去 3，也就是 36/12， 然后，我们要加上 1/2，也就是 6/12， 然后，我们要加上 1/12， 所有这些简化为--我们看，48 减 8， 是 40，减 36 是 4，加上 6 是 10，加1 是 11， 这样，它就成了 11/12， 我来确认我做对了， 48 减 8 是 40，减36 是 4， 10， 11， 看起来这是正确的， 现在我们可以把它两个相加了， 19 加 11 是 30/12， 如果我们想简化它， 我们可以把分子分母除以 6 ， 它就等于 5/2 或者说 2 又 1/2， 我们就做完了。 我们算出了整个区域的面积， 它就是 2 又 1/2。