1
00:00:00,520 --> 00:00:04,050
在这个视频里，我要算出这个

2
00:00:04,050 --> 00:00:07,200
我正在涂上黄色阴影的区域的面积。

3
00:00:07,200 --> 00:00:11,140
具有挑战性的是，在整个区域，

4
00:00:11,140 --> 00:00:12,810
我有同样的下边界的函数，

5
00:00:12,810 --> 00:00:14,540
下面的边界是

6
00:00:14,540 --> 00:00:16,870
y = x 平方/4 - 1，

7
00:00:16,870 --> 00:00:19,242
但是我有不同的上边界，

8
00:00:19,242 --> 00:00:20,700
我们的处理方法就是

9
00:00:20,700 --> 00:00:23,290
是要把这个面积分成两部分，

10
00:00:23,290 --> 00:00:26,640
或者说，把这个区域分成两个区域，左边的区域

11
00:00:26,640 --> 00:00:28,250
和右边的区域，

12
00:00:28,250 --> 00:00:30,730
对于这第一个区域--我涂成

13
00:00:30,730 --> 00:00:34,310
更多黄色--对这第一个区域，

14
00:00:34,310 --> 00:00:35,950
在整个的 x 的区间，

15
00:00:35,950 --> 00:00:40,360
看起来 x 是在 0 到 1 之间，

16
00:00:40,360 --> 00:00:44,280
y 等于 -- 当 x 等于 1 ，这个函数也等于 1，

17
00:00:44,280 --> 00:00:47,220
当 x 等于 1 ，这个函数也等于 1，

18
00:00:47,220 --> 00:00:48,810
所以，这个点就是 （1，1）

19
00:00:48,810 --> 00:00:50,320
这是他们的交点，

20
00:00:50,320 --> 00:00:53,250
所以，对这一部分，这里的这个分区域，

21
00:00:53,250 --> 00:00:57,420
对整个分区域，y = 根下 x 是它的上边界，

22
00:00:57,420 --> 00:00:59,230
这样我们就可以--我们可以

23
00:00:59,230 --> 00:01:02,860
建立不同的--我们可以分别处理，计算出

24
00:01:02,860 --> 00:01:04,920
这个区域的的面积。

25
00:01:04,920 --> 00:01:07,960
从 x=1 到 x=2 ,

26
00:01:07,960 --> 00:01:10,890
y = 2 - x 是上边界的函数，

27
00:01:10,890 --> 00:01:12,450
我们来做一下。

28
00:01:12,450 --> 00:01:14,710
我们首先来考虑第一个区域，

29
00:01:14,710 --> 00:01:15,730
它就是从

30
00:01:15,730 --> 00:01:19,640
x=0 到 x=1 的定积分

31
00:01:19,640 --> 00:01:25,120
我们的上边界的函数是 根下 x ，x 的平方根，

32
00:01:25,120 --> 00:01:28,390
我们要从它减去我们的下边界函数，

33
00:01:28,390 --> 00:01:39,200
根下 x 减去 x平方/4 减去1，

34
00:01:39,200 --> 00:01:42,400
当然我们有我们的 dx 。

35
00:01:42,400 --> 00:01:46,350
这里，它表示黄色的区域面积。

36
00:01:46,350 --> 00:01:49,730
你可以想象，这一部分，

37
00:01:49,730 --> 00:01:51,660
这两个函数的差，

38
00:01:51,660 --> 00:01:53,164
就是这个高度，

39
00:01:53,164 --> 00:01:57,820
我用不同的颜色来做，

40
00:01:57,820 --> 00:01:59,680
然后，你把它乘上 dx，

41
00:01:59,680 --> 00:02:03,390
你得到一个宽度为 dx 的小矩形，

42
00:02:03,390 --> 00:02:06,600
你对每一个 x 进行计算，

43
00:02:06,600 --> 00:02:08,860
对不同的 x ，你得到不同的矩形，

44
00:02:08,860 --> 00:02:10,650
然后，你把它们加在一起，

45
00:02:10,650 --> 00:02:14,570
你求当 x 的变化趋于 0 的极限，

46
00:02:14,570 --> 00:02:16,664
你就得到非常非常薄的矩形，

47
00:02:16,664 --> 00:02:18,330
你有无限多的这样的矩形，

48
00:02:18,330 --> 00:02:21,060
这就是我们对定积分的定义，

49
00:02:21,060 --> 00:02:22,820
或者说就是黎曼定义，

50
00:02:22,820 --> 00:02:25,370
这是左边区域的面积，

51
00:02:25,370 --> 00:02:27,370
用完全相同的逻辑，

52
00:02:27,370 --> 00:02:28,972
我们可以算出右边区域的面积，

53
00:02:28,972 --> 00:02:30,680
这个右边的区域，--然后我们

54
00:02:30,680 --> 00:02:32,127
只需把两个面积相加，

55
00:02:32,127 --> 00:02:34,210
右边的区域，我们要从 x = 0 ，

56
00:02:34,210 --> 00:02:38,530
到 x --对不起，是 x=1 到 x=2，

57
00:02:38,530 --> 00:02:42,130
上面的函数 是 2 - x，

58
00:02:42,130 --> 00:02:47,220
我们要从它减去下面的函数，

59
00:02:47,220 --> 00:02:53,780
减去 x平方/4 -1，

60
00:02:53,780 --> 00:02:56,060
现在我们只需求它的值。

61
00:02:56,060 --> 00:02:58,800
这里，我们先对它进行简化，

62
00:02:58,800 --> 00:03:02,100
这是

63
00:03:02,100 --> 00:03:09,220
根下x - x平方/4 +1 dx从 0 到 1 的定积分，

64
00:03:09,220 --> 00:03:12,020
我把它们用一个颜色来写，

65
00:03:12,020 --> 00:03:13,070
加上

66
00:03:13,070 --> 00:03:21,330
2 - x 减 x 平方/4 从 1 到 2 的定积分，

67
00:03:21,330 --> 00:03:25,330
减去负值就是正 3，--不对，正 1，

68
00:03:25,330 --> 00:03:26,650
我们把它加上这个 2，

69
00:03:26,650 --> 00:03:29,330
这个 2 就变成 3，

70
00:03:29,330 --> 00:03:34,747
我是说，2 减 -1 就是 3，dx

71
00:03:34,747 --> 00:03:36,705
现在，我们只需要求反导数，

72
00:03:36,705 --> 00:03:39,310
再求它在 1 和 0 的值。

73
00:03:39,310 --> 00:03:42,130
那么，它的反导数就是，

74
00:03:42,130 --> 00:03:43,480
这是 x 的 1/2 次方，

75
00:03:43,480 --> 00:03:44,730
把它 加 1，

76
00:03:44,730 --> 00:03:47,500
把指数加 1，你就得到 x 的 3/2次方，

77
00:03:47,500 --> 00:03:49,200
然后乘以

78
00:03:49,200 --> 00:03:53,650
新的指数的倒数，就从 2/3 变成 3/2，

79
00:03:53,650 --> 00:03:56,410
减去-- x平方/4 的反导数

80
00:03:56,410 --> 00:04:02,160
是 x 的 3 次方，除以 3，再除以 4，就是除以 12 ，

81
00:04:02,160 --> 00:04:03,660
加 x 。

82
00:04:03,660 --> 00:04:05,510
它就是 1 的反导数，

83
00:04:05,510 --> 00:04:09,590
我们要计算它在 1 和 0 的值。

84
00:04:09,590 --> 00:04:11,640
这里，反导数就是

85
00:04:11,640 --> 00:04:18,190
3 x - x平方/2

86
00:04:18,190 --> 00:04:22,029
- x 3次方/12，

87
00:04:22,029 --> 00:04:24,450
再做一次，求它的值，--不应说再做一次--

88
00:04:24,450 --> 00:04:28,460
我们要求 它在 2 和 1 的值，

89
00:04:28,460 --> 00:04:30,610
在这里，你要求所有这些在 1 的值，

90
00:04:30,610 --> 00:04:35,690
你得到 2/3 -1/12 + 1，

91
00:04:35,690 --> 00:04:38,410
然后，你从中减去它们在 0 的值，

92
00:04:38,410 --> 00:04:41,010
但它们都是 0，你啥也没得到。

93
00:04:41,010 --> 00:04:44,260
这就是黄色部分简化的结果。

94
00:04:44,260 --> 00:04:46,740
然后这个紫色区域，或者说这个品红色区域，

95
00:04:46,740 --> 00:04:51,070
或者说浅紫色区域，不管叫它什么颜色吧，你先求它在 2 的值，

96
00:04:51,070 --> 00:04:56,300
你得到 6 减去 --我们看看--2 的平方除以 2 就是 2，

97
00:04:56,300 --> 00:05:00,970
减去 8/12，

98
00:05:01,000 --> 00:05:03,650
然后，你要从它减去

99
00:05:03,650 --> 00:05:05,460
它在 1 的值，

100
00:05:05,460 --> 00:05:09,870
它就是 3乘以 1，就是 3，

101
00:05:09,870 --> 00:05:14,604
减去 1/2 再减去 1/12，

102
00:05:14,604 --> 00:05:16,270
现在我们剩下的工作，就是

103
00:05:16,270 --> 00:05:17,889
把这些分数相加，

104
00:05:17,889 --> 00:05:19,180
我们看我们是否做出来，

105
00:05:19,180 --> 00:05:20,930
看起来，

106
00:05:20,930 --> 00:05:22,300
12 是最明显的通用分母

107
00:05:22,300 --> 00:05:29,430
这里，你有 8/12 减去1/12 加上 12/12

108
00:05:29,430 --> 00:05:31,310
它就简化为 --什么？

109
00:05:31,310 --> 00:05:36,440
这就是 19/12，这是黄色部分，

110
00:05:36,440 --> 00:05:40,190
然后计算它，

111
00:05:40,190 --> 00:05:43,280
6 减 2，就是 4，

112
00:05:43,280 --> 00:05:51,100
我们可以把它写成 48/12，它就是 4，减去 8/12，

113
00:05:51,100 --> 00:05:57,170
然后，我们要减去 3，也就是 36/12，

114
00:05:57,170 --> 00:06:02,410
然后，我们要加上 1/2，也就是加上 6/12，

115
00:06:02,410 --> 00:06:06,030
然后，我们要加上 1/12，

116
00:06:06,030 --> 00:06:10,730
所有这些简化为--我们看，48 减 8，

117
00:06:10,730 --> 00:06:18,410
是 40，减 36 是 4，加上 6 是 10，加1 是 11，

118
00:06:18,410 --> 00:06:21,614
这样，它就成了加 11/12，

119
00:06:21,614 --> 00:06:23,030
我来确认我做对了，

120
00:06:23,030 --> 00:06:28,830
48 减 8 是 40，减36 是 4， 10， 11，

121
00:06:28,830 --> 00:06:30,040
看起来这是正确的，

122
00:06:30,040 --> 00:06:31,955
现在我们可以把它两个相加了，

123
00:06:31,955 --> 00:06:36,010
19 加 11 是 30/12，

124
00:06:36,010 --> 00:06:38,290
如果我们想简化它，

125
00:06:38,290 --> 00:06:40,990
我们可以把分子分母除以 6 ，

126
00:06:40,990 --> 00:06:44,960
它就等于 5/2 或者说 2 又 1/2，

127
00:06:44,960 --> 00:06:45,630
我们就做完了。

128
00:06:45,630 --> 00:06:50,560
我们算出了整个区域的面积，

129
00:06:50,560 --> 00:06:53,255
它就是 2 又 1/2。