[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.52,0:00:04.05,Default,,0000,0000,0000,,在这个视频里，我要算出这个
Dialogue: 0,0:00:04.05,0:00:07.20,Default,,0000,0000,0000,,我正在涂上黄色阴影的区域的面积。
Dialogue: 0,0:00:07.20,0:00:11.14,Default,,0000,0000,0000,,具有挑战性的是，在整个区域，
Dialogue: 0,0:00:11.14,0:00:12.81,Default,,0000,0000,0000,,我有同样的下边界的函数，
Dialogue: 0,0:00:12.81,0:00:14.54,Default,,0000,0000,0000,,下面的边界是
Dialogue: 0,0:00:14.54,0:00:16.87,Default,,0000,0000,0000,,y = x 平方/4 - 1，
Dialogue: 0,0:00:16.87,0:00:19.24,Default,,0000,0000,0000,,但是我有不同的上边界，
Dialogue: 0,0:00:19.24,0:00:20.70,Default,,0000,0000,0000,,我们的处理方法就是
Dialogue: 0,0:00:20.70,0:00:23.29,Default,,0000,0000,0000,,是要把这个面积分成两部分，
Dialogue: 0,0:00:23.29,0:00:26.64,Default,,0000,0000,0000,,或者说，把这个区域分成两个区域，左边的区域
Dialogue: 0,0:00:26.64,0:00:28.25,Default,,0000,0000,0000,,和右边的区域，
Dialogue: 0,0:00:28.25,0:00:30.73,Default,,0000,0000,0000,,对于这第一个区域--我涂成
Dialogue: 0,0:00:30.73,0:00:34.31,Default,,0000,0000,0000,,更多黄色--对这第一个区域，
Dialogue: 0,0:00:34.31,0:00:35.95,Default,,0000,0000,0000,,在整个的 x 的区间，
Dialogue: 0,0:00:35.95,0:00:40.36,Default,,0000,0000,0000,,看起来 x 是在 0 到 1 之间，
Dialogue: 0,0:00:40.36,0:00:44.28,Default,,0000,0000,0000,,y 等于 -- 当 x 等于 1 ，这个函数也等于 1，
Dialogue: 0,0:00:44.28,0:00:47.22,Default,,0000,0000,0000,,当 x 等于 1 ，这个函数也等于 1，
Dialogue: 0,0:00:47.22,0:00:48.81,Default,,0000,0000,0000,,所以，这个点就是 （1，1）
Dialogue: 0,0:00:48.81,0:00:50.32,Default,,0000,0000,0000,,这是他们的交点，
Dialogue: 0,0:00:50.32,0:00:53.25,Default,,0000,0000,0000,,所以，对这一部分，这里的这个分区域，
Dialogue: 0,0:00:53.25,0:00:57.42,Default,,0000,0000,0000,,对整个分区域，y = 根下 x 是它的上边界，
Dialogue: 0,0:00:57.42,0:00:59.23,Default,,0000,0000,0000,,这样我们就可以--我们可以
Dialogue: 0,0:00:59.23,0:01:02.86,Default,,0000,0000,0000,,建立不同的--我们可以分别处理，计算出
Dialogue: 0,0:01:02.86,0:01:04.92,Default,,0000,0000,0000,,这个区域的的面积。
Dialogue: 0,0:01:04.92,0:01:07.96,Default,,0000,0000,0000,,从 x=1 到 x=2 ,
Dialogue: 0,0:01:07.96,0:01:10.89,Default,,0000,0000,0000,,y = 2 - x 是上边界的函数，
Dialogue: 0,0:01:10.89,0:01:12.45,Default,,0000,0000,0000,,我们来做一下。
Dialogue: 0,0:01:12.45,0:01:14.71,Default,,0000,0000,0000,,我们首先来考虑第一个区域，
Dialogue: 0,0:01:14.71,0:01:15.73,Default,,0000,0000,0000,,它就是从
Dialogue: 0,0:01:15.73,0:01:19.64,Default,,0000,0000,0000,,x=0 到 x=1 的定积分
Dialogue: 0,0:01:19.64,0:01:25.12,Default,,0000,0000,0000,,我们的上边界的函数是 根下 x ，x 的平方根，
Dialogue: 0,0:01:25.12,0:01:28.39,Default,,0000,0000,0000,,我们要从它减去我们的下边界函数，
Dialogue: 0,0:01:28.39,0:01:39.20,Default,,0000,0000,0000,,根下 x 减去 x平方/4 减去1，
Dialogue: 0,0:01:39.20,0:01:42.40,Default,,0000,0000,0000,,当然我们有我们的 dx 。
Dialogue: 0,0:01:42.40,0:01:46.35,Default,,0000,0000,0000,,这里，它表示黄色的区域面积。
Dialogue: 0,0:01:46.35,0:01:49.73,Default,,0000,0000,0000,,你可以想象，这一部分，
Dialogue: 0,0:01:49.73,0:01:51.66,Default,,0000,0000,0000,,这两个函数的差，
Dialogue: 0,0:01:51.66,0:01:53.16,Default,,0000,0000,0000,,就是这个高度，
Dialogue: 0,0:01:53.16,0:01:57.82,Default,,0000,0000,0000,,我用不同的颜色来做，
Dialogue: 0,0:01:57.82,0:01:59.68,Default,,0000,0000,0000,,然后，你把它乘上 dx，
Dialogue: 0,0:01:59.68,0:02:03.39,Default,,0000,0000,0000,,你得到一个宽度为 dx 的小矩形，
Dialogue: 0,0:02:03.39,0:02:06.60,Default,,0000,0000,0000,,你对每一个 x 进行计算，
Dialogue: 0,0:02:06.60,0:02:08.86,Default,,0000,0000,0000,,对不同的 x ，你得到不同的矩形，
Dialogue: 0,0:02:08.86,0:02:10.65,Default,,0000,0000,0000,,然后，你把它们加在一起，
Dialogue: 0,0:02:10.65,0:02:14.57,Default,,0000,0000,0000,,你求当 x 的变化趋于 0 的极限，
Dialogue: 0,0:02:14.57,0:02:16.66,Default,,0000,0000,0000,,你就得到非常非常薄的矩形，
Dialogue: 0,0:02:16.66,0:02:18.33,Default,,0000,0000,0000,,你有无限多的这样的矩形，
Dialogue: 0,0:02:18.33,0:02:21.06,Default,,0000,0000,0000,,这就是我们对定积分的定义，
Dialogue: 0,0:02:21.06,0:02:22.82,Default,,0000,0000,0000,,或者说就是黎曼定义，
Dialogue: 0,0:02:22.82,0:02:25.37,Default,,0000,0000,0000,,这是左边区域的面积，
Dialogue: 0,0:02:25.37,0:02:27.37,Default,,0000,0000,0000,,用完全相同的逻辑，
Dialogue: 0,0:02:27.37,0:02:28.97,Default,,0000,0000,0000,,我们可以算出右边区域的面积，
Dialogue: 0,0:02:28.97,0:02:30.68,Default,,0000,0000,0000,,这个右边的区域，--然后我们
Dialogue: 0,0:02:30.68,0:02:32.13,Default,,0000,0000,0000,,只需把两个面积相加，
Dialogue: 0,0:02:32.13,0:02:34.21,Default,,0000,0000,0000,,右边的区域，我们要从 x = 0 ，
Dialogue: 0,0:02:34.21,0:02:38.53,Default,,0000,0000,0000,,到 x --对不起，是 x=1 到 x=2，
Dialogue: 0,0:02:38.53,0:02:42.13,Default,,0000,0000,0000,,上面的函数 是 2 - x，
Dialogue: 0,0:02:42.13,0:02:47.22,Default,,0000,0000,0000,,我们要从它减去下面的函数，
Dialogue: 0,0:02:47.22,0:02:53.78,Default,,0000,0000,0000,,减去 x平方/4 -1，
Dialogue: 0,0:02:53.78,0:02:56.06,Default,,0000,0000,0000,,现在我们只需求它的值。
Dialogue: 0,0:02:56.06,0:02:58.80,Default,,0000,0000,0000,,这里，我们先对它进行简化，
Dialogue: 0,0:02:58.80,0:03:02.10,Default,,0000,0000,0000,,这是
Dialogue: 0,0:03:02.10,0:03:09.22,Default,,0000,0000,0000,,根下x - x平方/4 +1 dx从 0 到 1 的定积分，
Dialogue: 0,0:03:09.22,0:03:12.02,Default,,0000,0000,0000,,我把它们用一个颜色来写，
Dialogue: 0,0:03:12.02,0:03:13.07,Default,,0000,0000,0000,,加上
Dialogue: 0,0:03:13.07,0:03:21.33,Default,,0000,0000,0000,,2 - x 减 x 平方/4 从 1 到 2 的定积分，
Dialogue: 0,0:03:21.33,0:03:25.33,Default,,0000,0000,0000,,减去负值就是正 3，--不对，正 1，
Dialogue: 0,0:03:25.33,0:03:26.65,Default,,0000,0000,0000,,我们把它加上这个 2，
Dialogue: 0,0:03:26.65,0:03:29.33,Default,,0000,0000,0000,,这个 2 就变成 3，
Dialogue: 0,0:03:29.33,0:03:34.75,Default,,0000,0000,0000,,我是说，2 减 -1 就是 3，dx
Dialogue: 0,0:03:34.75,0:03:36.70,Default,,0000,0000,0000,,现在，我们只需要求反导数，
Dialogue: 0,0:03:36.70,0:03:39.31,Default,,0000,0000,0000,,再求它在 1 和 0 的值。
Dialogue: 0,0:03:39.31,0:03:42.13,Default,,0000,0000,0000,,那么，它的反导数就是，
Dialogue: 0,0:03:42.13,0:03:43.48,Default,,0000,0000,0000,,这是 x 的 1/2 次方，
Dialogue: 0,0:03:43.48,0:03:44.73,Default,,0000,0000,0000,,把它 加 1，
Dialogue: 0,0:03:44.73,0:03:47.50,Default,,0000,0000,0000,,把指数加 1，你就得到 x 的 3/2次方，
Dialogue: 0,0:03:47.50,0:03:49.20,Default,,0000,0000,0000,,然后乘以
Dialogue: 0,0:03:49.20,0:03:53.65,Default,,0000,0000,0000,,新的指数的倒数，就从 2/3 变成 3/2，
Dialogue: 0,0:03:53.65,0:03:56.41,Default,,0000,0000,0000,,减去-- x平方/4 的反导数
Dialogue: 0,0:03:56.41,0:04:02.16,Default,,0000,0000,0000,,是 x 的 3 次方，除以 3，再除以 4，就是除以 12 ，
Dialogue: 0,0:04:02.16,0:04:03.66,Default,,0000,0000,0000,,加 x 。
Dialogue: 0,0:04:03.66,0:04:05.51,Default,,0000,0000,0000,,它就是 1 的反导数，
Dialogue: 0,0:04:05.51,0:04:09.59,Default,,0000,0000,0000,,我们要计算它在 1 和 0 的值。
Dialogue: 0,0:04:09.59,0:04:11.64,Default,,0000,0000,0000,,这里，反导数就是
Dialogue: 0,0:04:11.64,0:04:18.19,Default,,0000,0000,0000,,3 x - x平方/2
Dialogue: 0,0:04:18.19,0:04:22.03,Default,,0000,0000,0000,,- x 3次方/12，
Dialogue: 0,0:04:22.03,0:04:24.45,Default,,0000,0000,0000,,再做一次，求它的值，--不应说再做一次--
Dialogue: 0,0:04:24.45,0:04:28.46,Default,,0000,0000,0000,,我们要求 它在 2 和 1 的值，
Dialogue: 0,0:04:28.46,0:04:30.61,Default,,0000,0000,0000,,在这里，你要求所有这些在 1 的值，
Dialogue: 0,0:04:30.61,0:04:35.69,Default,,0000,0000,0000,,你得到 2/3 -1/12 + 1，
Dialogue: 0,0:04:35.69,0:04:38.41,Default,,0000,0000,0000,,然后，你从中减去它们在 0 的值，
Dialogue: 0,0:04:38.41,0:04:41.01,Default,,0000,0000,0000,,但它们都是 0，你啥也没得到。
Dialogue: 0,0:04:41.01,0:04:44.26,Default,,0000,0000,0000,,这就是黄色部分简化的结果。
Dialogue: 0,0:04:44.26,0:04:46.74,Default,,0000,0000,0000,,然后这个紫色区域，或者说这个品红色区域，
Dialogue: 0,0:04:46.74,0:04:51.07,Default,,0000,0000,0000,,或者说浅紫色区域，不管叫它什么颜色吧，你先求它在 2 的值，
Dialogue: 0,0:04:51.07,0:04:56.30,Default,,0000,0000,0000,,你得到 6 减去 --我们看看--2 的平方除以 2 就是 2，
Dialogue: 0,0:04:56.30,0:05:00.97,Default,,0000,0000,0000,,减去 8/12，
Dialogue: 0,0:05:01.00,0:05:03.65,Default,,0000,0000,0000,,然后，你要从它减去
Dialogue: 0,0:05:03.65,0:05:05.46,Default,,0000,0000,0000,,它在 1 的值，
Dialogue: 0,0:05:05.46,0:05:09.87,Default,,0000,0000,0000,,它就是 3乘以 1，就是 3，
Dialogue: 0,0:05:09.87,0:05:14.60,Default,,0000,0000,0000,,减去 1/2 再减去 1/12，
Dialogue: 0,0:05:14.60,0:05:16.27,Default,,0000,0000,0000,,现在我们剩下的工作，就是
Dialogue: 0,0:05:16.27,0:05:17.89,Default,,0000,0000,0000,,把这些分数相加，
Dialogue: 0,0:05:17.89,0:05:19.18,Default,,0000,0000,0000,,我们看我们是否做出来，
Dialogue: 0,0:05:19.18,0:05:20.93,Default,,0000,0000,0000,,看起来，
Dialogue: 0,0:05:20.93,0:05:22.30,Default,,0000,0000,0000,,12 是最明显的通用分母
Dialogue: 0,0:05:22.30,0:05:29.43,Default,,0000,0000,0000,,这里，你有 8/12 减去1/12 加上 12/12
Dialogue: 0,0:05:29.43,0:05:31.31,Default,,0000,0000,0000,,它就简化为 --什么？
Dialogue: 0,0:05:31.31,0:05:36.44,Default,,0000,0000,0000,,这就是 19/12，这是黄色部分，
Dialogue: 0,0:05:36.44,0:05:40.19,Default,,0000,0000,0000,,然后计算它，
Dialogue: 0,0:05:40.19,0:05:43.28,Default,,0000,0000,0000,,6 减 2，就是 4，
Dialogue: 0,0:05:43.28,0:05:51.10,Default,,0000,0000,0000,,我们可以把它写成 48/12，它就是 4，减去 8/12，
Dialogue: 0,0:05:51.10,0:05:57.17,Default,,0000,0000,0000,,然后，我们要减去 3，也就是 36/12，
Dialogue: 0,0:05:57.17,0:06:02.41,Default,,0000,0000,0000,,然后，我们要加上 1/2，也就是加上 6/12，
Dialogue: 0,0:06:02.41,0:06:06.03,Default,,0000,0000,0000,,然后，我们要加上 1/12，
Dialogue: 0,0:06:06.03,0:06:10.73,Default,,0000,0000,0000,,所有这些简化为--我们看，48 减 8，
Dialogue: 0,0:06:10.73,0:06:18.41,Default,,0000,0000,0000,,是 40，减 36 是 4，加上 6 是 10，加1 是 11，
Dialogue: 0,0:06:18.41,0:06:21.61,Default,,0000,0000,0000,,这样，它就成了加 11/12，
Dialogue: 0,0:06:21.61,0:06:23.03,Default,,0000,0000,0000,,我来确认我做对了，
Dialogue: 0,0:06:23.03,0:06:28.83,Default,,0000,0000,0000,,48 减 8 是 40，减36 是 4， 10， 11，
Dialogue: 0,0:06:28.83,0:06:30.04,Default,,0000,0000,0000,,看起来这是正确的，
Dialogue: 0,0:06:30.04,0:06:31.96,Default,,0000,0000,0000,,现在我们可以把它两个相加了，
Dialogue: 0,0:06:31.96,0:06:36.01,Default,,0000,0000,0000,,19 加 11 是 30/12，
Dialogue: 0,0:06:36.01,0:06:38.29,Default,,0000,0000,0000,,如果我们想简化它，
Dialogue: 0,0:06:38.29,0:06:40.99,Default,,0000,0000,0000,,我们可以把分子分母除以 6 ，
Dialogue: 0,0:06:40.99,0:06:44.96,Default,,0000,0000,0000,,它就等于 5/2 或者说 2 又 1/2，
Dialogue: 0,0:06:44.96,0:06:45.63,Default,,0000,0000,0000,,我们就做完了。
Dialogue: 0,0:06:45.63,0:06:50.56,Default,,0000,0000,0000,,我们算出了整个区域的面积，
Dialogue: 0,0:06:50.56,0:06:53.26,Default,,0000,0000,0000,,它就是 2 又 1/2。