WEBVTT

00:00:00.520 --> 00:00:04.050
在这个视频里，我要算出这个

00:00:04.050 --> 00:00:07.200
我正在涂上黄色阴影的区域的面积。

00:00:07.200 --> 00:00:11.140
具有挑战性的是，在整个区域，

00:00:11.140 --> 00:00:12.810
我有同样的下边界的函数，

00:00:12.810 --> 00:00:14.540
下面的边界是

00:00:14.540 --> 00:00:16.870
y = x 平方/4 - 1，

00:00:16.870 --> 00:00:19.242
但是我有不同的上边界，

00:00:19.242 --> 00:00:20.700
我们的处理方法就是

00:00:20.700 --> 00:00:23.290
是要把这个面积分成两部分，

00:00:23.290 --> 00:00:26.640
或者说，把这个区域分成两个区域，左边的区域

00:00:26.640 --> 00:00:28.250
和右边的区域，

00:00:28.250 --> 00:00:30.730
对于这第一个区域--我涂成

00:00:30.730 --> 00:00:34.310
更多黄色--对这第一个区域，

00:00:34.310 --> 00:00:35.950
在整个的 x 的区间，

00:00:35.950 --> 00:00:40.360
看起来 x 是在 0 到 1 之间，

00:00:40.360 --> 00:00:44.280
y 等于 -- 当 x 等于 1 ，这个函数也等于 1，

00:00:44.280 --> 00:00:47.220
当 x 等于 1 ，这个函数也等于 1，

00:00:47.220 --> 00:00:48.810
所以，这个点就是 （1，1）

00:00:48.810 --> 00:00:50.320
这是他们的交点，

00:00:50.320 --> 00:00:53.250
所以，对这一部分，这里的这个分区域，

00:00:53.250 --> 00:00:57.420
对整个分区域，y = 根下 x 是它的上边界，

00:00:57.420 --> 00:00:59.230
这样我们就可以--我们可以

00:00:59.230 --> 00:01:02.860
建立不同的--我们可以分别处理，计算出

00:01:02.860 --> 00:01:04.920
这个区域的的面积。

00:01:04.920 --> 00:01:07.960
从 x=1 到 x=2 ,

00:01:07.960 --> 00:01:10.890
y = 2 - x 是上边界的函数，

00:01:10.890 --> 00:01:12.450
我们来做一下。

00:01:12.450 --> 00:01:14.710
我们首先来考虑第一个区域，

00:01:14.710 --> 00:01:15.730
它就是从

00:01:15.730 --> 00:01:19.640
x=0 到 x=1 的定积分

00:01:19.640 --> 00:01:25.120
我们的上边界的函数是 根下 x ，x 的平方根，

00:01:25.120 --> 00:01:28.390
我们要从它减去我们的下边界函数，

00:01:28.390 --> 00:01:39.200
根下 x 减去 x平方/4 减去1，

00:01:39.200 --> 00:01:42.400
当然我们有我们的 dx 。

00:01:42.400 --> 00:01:46.350
这里，它表示黄色的区域面积。

00:01:46.350 --> 00:01:49.730
你可以想象，这一部分，

00:01:49.730 --> 00:01:51.660
这两个函数的差，

00:01:51.660 --> 00:01:53.164
就是这个高度，

00:01:53.164 --> 00:01:57.820
我用不同的颜色来做，

00:01:57.820 --> 00:01:59.680
然后，你把它乘上 dx，

00:01:59.680 --> 00:02:03.390
你得到一个宽度为 dx 的小矩形，

00:02:03.390 --> 00:02:06.600
你对每一个 x 进行计算，

00:02:06.600 --> 00:02:08.860
对不同的 x ，你得到不同的矩形，

00:02:08.860 --> 00:02:10.650
然后，你把它们加在一起，

00:02:10.650 --> 00:02:14.570
你求当 x 的变化趋于 0 的极限，

00:02:14.570 --> 00:02:16.664
你就得到非常非常薄的矩形，

00:02:16.664 --> 00:02:18.330
你有无限多的这样的矩形，

00:02:18.330 --> 00:02:21.060
这就是我们对定积分的定义，

00:02:21.060 --> 00:02:22.820
或者说就是黎曼定义，

00:02:22.820 --> 00:02:25.370
这是左边区域的面积，

00:02:25.370 --> 00:02:27.370
用完全相同的逻辑，

00:02:27.370 --> 00:02:28.972
我们可以算出右边区域的面积，

00:02:28.972 --> 00:02:30.680
这个右边的区域，--然后我们

00:02:30.680 --> 00:02:32.127
只需把两个面积相加，

00:02:32.127 --> 00:02:34.210
右边的区域，我们要从 x = 0 ，

00:02:34.210 --> 00:02:38.530
到 x --对不起，是 x=1 到 x=2，

00:02:38.530 --> 00:02:42.130
上面的函数 是 2 - x，

00:02:42.130 --> 00:02:47.220
我们要从它减去下面的函数，

00:02:47.220 --> 00:02:53.780
减去 x平方/4 -1，

00:02:53.780 --> 00:02:56.060
现在我们只需求它的值。

00:02:56.060 --> 00:02:58.800
这里，我们先对它进行简化，

00:02:58.800 --> 00:03:02.100
这是

00:03:02.100 --> 00:03:09.220
根下x - x平方/4 +1 dx从 0 到 1 的定积分，

00:03:09.220 --> 00:03:12.020
我把它们用一个颜色来写，

00:03:12.020 --> 00:03:13.070
加上

00:03:13.070 --> 00:03:21.330
2 - x 减 x 平方/4 从 1 到 2 的定积分，

00:03:21.330 --> 00:03:25.330
减去负值就是正 3，--不对，正 1，

00:03:25.330 --> 00:03:26.650
我们把它加上这个 2，

00:03:26.650 --> 00:03:29.330
这个 2 就变成 3，

00:03:29.330 --> 00:03:34.747
我是说，2 减 -1 就是 3，dx

00:03:34.747 --> 00:03:36.705
现在，我们只需要求反导数，

00:03:36.705 --> 00:03:39.310
再求它在 1 和 0 的值。

00:03:39.310 --> 00:03:42.130
那么，它的反导数就是，

00:03:42.130 --> 00:03:43.480
这是 x 的 1/2 次方，

00:03:43.480 --> 00:03:44.730
把它 加 1，

00:03:44.730 --> 00:03:47.500
把指数加 1，你就得到 x 的 3/2次方，

00:03:47.500 --> 00:03:49.200
然后乘以

00:03:49.200 --> 00:03:53.650
新的指数的倒数，就从 2/3 变成 3/2，

00:03:53.650 --> 00:03:56.410
减去-- x平方/4 的反导数

00:03:56.410 --> 00:04:02.160
是 x 的 3 次方，除以 3，再除以 4，就是除以 12 ，

00:04:02.160 --> 00:04:03.660
加 x 。

00:04:03.660 --> 00:04:05.510
它就是 1 的反导数，

00:04:05.510 --> 00:04:09.590
我们要计算它在 1 和 0 的值。

00:04:09.590 --> 00:04:11.640
这里，反导数就是

00:04:11.640 --> 00:04:18.190
3 x - x平方/2

00:04:18.190 --> 00:04:22.029
- x 3次方/12，

00:04:22.029 --> 00:04:24.450
再做一次，求它的值，--不应说再做一次--

00:04:24.450 --> 00:04:28.460
我们要求 它在 2 和 1 的值，

00:04:28.460 --> 00:04:30.610
在这里，你要求所有这些在 1 的值，

00:04:30.610 --> 00:04:35.690
你得到 2/3 -1/12 + 1，

00:04:35.690 --> 00:04:38.410
然后，你从中减去它们在 0 的值，

00:04:38.410 --> 00:04:41.010
但它们都是 0，你啥也没得到。

00:04:41.010 --> 00:04:44.260
这就是黄色部分简化的结果。

00:04:44.260 --> 00:04:46.740
然后这个紫色区域，或者说这个品红色区域，

00:04:46.740 --> 00:04:51.070
或者说浅紫色区域，不管叫它什么颜色吧，你先求它在 2 的值，

00:04:51.070 --> 00:04:56.300
你得到 6 减去 --我们看看--2 的平方除以 2 就是 2，

00:04:56.300 --> 00:05:00.970
减去 8/12，

00:05:01.000 --> 00:05:03.650
然后，你要从它减去

00:05:03.650 --> 00:05:05.460
它在 1 的值，

00:05:05.460 --> 00:05:09.870
它就是 3乘以 1，就是 3，

00:05:09.870 --> 00:05:14.604
减去 1/2 再减去 1/12，

00:05:14.604 --> 00:05:16.270
现在我们剩下的工作，就是

00:05:16.270 --> 00:05:17.889
把这些分数相加，

00:05:17.889 --> 00:05:19.180
我们看我们是否做出来，

00:05:19.180 --> 00:05:20.930
看起来，

00:05:20.930 --> 00:05:22.300
12 是最明显的通用分母

00:05:22.300 --> 00:05:29.430
这里，你有 8/12 减去1/12 加上 12/12

00:05:29.430 --> 00:05:31.310
它就简化为 --什么？

00:05:31.310 --> 00:05:36.440
这就是 19/12，这是黄色部分，

00:05:36.440 --> 00:05:40.190
然后计算它，

00:05:40.190 --> 00:05:43.280
6 减 2，就是 4，

00:05:43.280 --> 00:05:51.100
我们可以把它写成 48/12，它就是 4，减去 8/12，

00:05:51.100 --> 00:05:57.170
然后，我们要减去 3，也就是 36/12，

00:05:57.170 --> 00:06:02.410
然后，我们要加上 1/2，也就是加上 6/12，

00:06:02.410 --> 00:06:06.030
然后，我们要加上 1/12，

00:06:06.030 --> 00:06:10.730
所有这些简化为--我们看，48 减 8，

00:06:10.730 --> 00:06:18.410
是 40，减 36 是 4，加上 6 是 10，加1 是 11，

00:06:18.410 --> 00:06:21.614
这样，它就成了加 11/12，

00:06:21.614 --> 00:06:23.030
我来确认我做对了，

00:06:23.030 --> 00:06:28.830
48 减 8 是 40，减36 是 4， 10， 11，

00:06:28.830 --> 00:06:30.040
看起来这是正确的，

00:06:30.040 --> 00:06:31.955
现在我们可以把它两个相加了，

00:06:31.955 --> 00:06:36.010
19 加 11 是 30/12，

00:06:36.010 --> 00:06:38.290
如果我们想简化它，

00:06:38.290 --> 00:06:40.990
我们可以把分子分母除以 6 ，

00:06:40.990 --> 00:06:44.960
它就等于 5/2 或者说 2 又 1/2，

00:06:44.960 --> 00:06:45.630
我们就做完了。

00:06:45.630 --> 00:06:50.560
我们算出了整个区域的面积，

00:06:50.560 --> 00:06:53.255
它就是 2 又 1/2。