让我们来计算定积分
从 -3 到 5
4 dx
这会等于什么呢？
我建议你暂停视频
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好的，为了计算这个
我们需要记住微积分基本定理
它表明了定积分和原函数之间的关系
微积分基本定理告诉我们
从 a 到 b 的 f(x) dx 的定积分
将等于我们的函数 f 的原函数
我们用大写的 F 表示
在上限处取值
减去
原函数在下限处取值
所以我们这里也这么做
所以这将等于
那么，4 的原函数是什么呢？
你可能立刻就会说
那就是 4x
可以通过反用幂法则来得到
4 就是 4x 的 0 次方
所以你把 0 加 1
所以它会是 4x 的 1 次方
然后除以新的指数
4x 的 1 次方除以 1
那就是 4x
所以原函数是 4x
这就是我们的 F(x)
我们要在 5 和 -3 处求值
我们算出这两者的差
所以我们在这里
在上界处求原函数的值
那就是 4 乘以 5
然后我们要减去
在下界处求原函数的值
那就是 4 乘以 -3
4 乘以 -3
那么这会等于多少呢？
这是
20 减去 -12
所以这将是加 12
那么就会等于 32
我们再做一道例题
还是反用幂法则
那么假设
我们要计算
不定积分，或者我们要计算定积分
从 -1
到 3
7x 的平方
dx
这将等于多少呢？
好的，我们想做的是
求出它的原函数
或者说这是小写的 f(x)
那么大写的 F(x) 是什么？
反用幂法则
我们把这个指数加 1
所以我们会有 7 乘以 x 的 3 次方
然后除以增加后的指数
所以 7x 的 3 次方除以 3
我们要在上界处求值
然后从中减去
在下界处的求值
所以这将等于
在上界处求值
将是 7 乘以 3 的 3 次方
我就写成 3 的 3 次方除以 3
然后我们再减去
大写 F(x)
原函数在下界处求值
那么将会是
7 乘以 -1 的 3 次方
所有的都除以 3
第一个式子，我们看
这等于 7
乘以 3 的 3 次方除以 3
这是 27
除以 3
也就是 7 乘以 9
所以这等于 63
然后这边
-1 的 3 次方是 -1
但减去一个负的
这就是加
所以这等于加上 7 除以 3
加上 7
除以 3
如果我们想把这个表示为带分数
7 除以 3 等于 2 又 1/3
所以把所有都加起来
我们将得到 65 又 1/3
我们完成