让我们来计算定积分

从 -3 到 5

4 dx

这会等于什么呢？

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尝试自己解答一下

好的，为了计算这个

我们需要记住微积分基本定理

它表明了定积分和原函数之间的关系

微积分基本定理告诉我们

从 a 到 b 的 f(x) dx 的定积分

将等于我们的函数 f 的原函数

我们用大写的 F 表示

在上限处取值

减去

原函数在下限处取值

所以我们这里也这么做

所以这将等于

那么，4 的原函数是什么呢？

你可能立刻就会说

那就是 4x

可以通过反用幂法则来得到

4 就是 4x 的 0 次方

所以你把 0 加 1

所以它会是 4x 的 1 次方

然后除以新的指数

4x 的 1 次方除以 1

那就是 4x

所以原函数是 4x

这就是我们的 F(x)

我们要在 5 和 -3 处求值

我们算出这两者的差

所以我们在这里

在上界处求原函数的值

那就是 4 乘以 5

然后我们要减去

在下界处求原函数的值

那就是 4 乘以 -3

4 乘以 -3

那么这会等于多少呢？

这是

20 减去 -12

所以这将是加 12

那么就会等于 32

我们再做一道例题

还是反用幂法则

那么假设

我们要计算

不定积分，或者我们要计算定积分

从 -1

到 3

7x 的平方

dx

这将等于多少呢？

好的，我们想做的是

求出它的原函数

或者说这是小写的 f(x)

那么大写的 F(x) 是什么？

反用幂法则

我们把这个指数加 1

所以我们会有 7 乘以 x 的 3 次方

然后除以增加后的指数

所以 7x 的 3 次方除以 3

我们要在上界处求值

然后从中减去

在下界处的求值

所以这将等于

在上界处求值

将是 7 乘以 3 的 3 次方

我就写成 3 的 3 次方除以 3

然后我们再减去

大写 F(x)

原函数在下界处求值

那么将会是

7 乘以 -1 的 3 次方

所有的都除以 3

第一个式子，我们看

这等于 7

乘以 3 的 3 次方除以 3

这是 27

除以 3

也就是 7 乘以 9

所以这等于 63

然后这边

-1 的 3 次方是 -1

但减去一个负的

这就是加

所以这等于加上 7 除以 3

加上 7

除以 3

如果我们想把这个表示为带分数

7 除以 3 等于 2 又 1/3

所以把所有都加起来

我们将得到 65 又 1/3

我们完成