Hier sind einige Beispiele für das Finden von Gleichungen in Form der Funtionsgleichung.
Hier einige Beispiele für das Finden von Gleichungen in Form der Funktionsgleichung.
Das heißt, Gleichungen von Geraden der Form: y = mx + b. Hier ist m die Steigung, b der y-Achsenabschnitt.
und b der y-Achsenabschnitt.
Lösen wir einige Aufgaben.
Eine Gerade hat die Steigung -5, also m = -5.
Eine Gerade hat die Steigung -5, also m = -5
und der y-Achsenabschnitt ist 6.
also b = 6.
Das ist ziemlich eindeutig.
Die Gleichung dieser Geraden ist: y = -5x + 6.
Das war recht einfach.
Lösen wir diese Aufgabe.
Die Gerade hat eine Steigung von -1 und enthält den Punkt (4/5 | 0).
Die Steigung ist -1.
Also ist m = -1, aber wir wissen nicht zu 100 %, wo der y-Achsenabschnitt ist.
In der Gleichung wird y gleich der Steigung -1x + b sein.
wobei b der y-Achsenabschnitt ist.
Wir wissen, dass die Gerade diesen Punkt enthält,
mit diesem Wissen können wir b ausrechnen.
mit diesem Wissen können wir nach b auflösen.
Die Gerade enthält diesen Punkt,
das heißt, der Wert x = 4/5 und y = 0 muss diese Gleichung erfüllen.
Probieren wir es. y = 0, wenn x = 4/5.
0 = -1 mal 4/5 + b.
Das ergibt: 0 = -4/5 + b.
Wir können 4/5 zu beiden Seiten der Gleichung addieren.
So heben sich die beiden auf.
Das ergibt b = 4/5.
Wir kennen jetzt die Gleichung der Geraden.
y = -1 mal x + b, das schreiben wir als y= -x+b
wobei b = 4/5 ist, also y=-x+4/5
Lösen wir nun diese Aufgabe.
Die Gerade enthält die Punkte (2 | 6) und (5 | 0).
Wir kennen weder die Steigung noch den y-Achsenabschnitt.
Aber mit diesen Koordinaten können wir beide herausfinden.
Als erstes errechnen wir die Steigung.
Die Steigung m ist gleich der Veränderung von y
durch die Veränderung von x.
Was ist die Veränderung von y?
Wir haben 6 - 0.
6 - 0 ist unsere Veränderung von y.
Unsere Veränderung von x ist 2 - 5.
Ich habe verschiedene Farben verwendet,
um zu zeigen, dass ich zuerst diesen y-Wert (6) verwendete,
also auch zuerst diesen x-Wert verwenden muss.
Das ist die Koordinate (2, 6).
Das ist die Koordinate (5 | 0).
Ich hätte die 2 und die 5 nicht tauschen können.
Dann hätte ich eine negative Antwort erhalten.
Welches Ergebnis erhalten wir?
Das ist gleich zu 6 - 0 = 6.
2 - 5 = -3.
Wir erhalten 6 durch 3, das ist dasselbe wie -2.
Das ist unsere Steigung.
Wir wissen, die Gerade ist y = -2 (Steigung) x + b.
Wir können es genauso wie die letzte Aufgabe lösen.
Wir lösen die Gleichung mit einem dieser Punkte nach b auf.
Wir können jeden verwenden.
Beide sind auf der Geraden, also erfüllen beide die Gleichung.
Ich benutze (5 | 0), eine Null ist immer praktisch.
Das macht das Rechnen einfacher.
Wir setzen die (5 | 0) hier ein.
y = 0, wenn x = 5.
Also y = 0, wenn du -2 mal 5 hast,
wenn x = 5 + b.
Du erhältst 0 = -10 + b.
Addierst du 10 zu beiden Seiten der Gleichung,
heben sich diese beiden gegenseitig auf.
Du erhältst b = 10 + 0.
Also ist b = 10.
Jetzt kennen wir die Gleichung der Geraden.
Die Gleichung ist: y = -2x + b +10.
Fertig.
Lösen wir eine andere Aufgabe.
Diese Gerade enthält die Punkte (3 | 5) und (-3 | 0).
Wir fangen wieder mit der Steigung m an.
Das ist das gleiche wie die Steigung durch die Länge,
das gleiche wie die Veränderung von y durch die Veränderung von x.
Wären das hier deine Hausaufgaben, müsstest du nicht alles ausschreiben.
Aber ich möchte, dass du verstehst, dass all des dasselbe ist.
Aber ich möchte, dass du verstehst, dass all dies dasselbe ist.
Was ist unsere Veränderung von y durch unsere Veränderung von x.
Fangen wir hier an.
Ich könnte jeden dieser Punkte nehmen.
Nehmen wir 0 - 5.
Ich nehme erst diese Koordinate.
Für mich ist sie so etwas wie der Endpunkt.
Als ich das zuerst lernte, wollte ich immer das x im Zähler haben.
Jetzt verwende ich die y im Zähler.
Das ist der zweite der Koordinaten.
Im Nenner haben wir -3 - 3.
Das ist die Koordinate (-3 | 0).
Das ist die Koordinate (3 | 5).
Wir subtrahieren das.
Was ist das Ergebnis?
Das Ergebnis ist: -5/ -6.
Die Minuszeichen heben sich gegenseitig auf.
Du erhältst 5/6.
Wir wissen, die Gleichung wird so aussehen:
y = 5/6 x + b.
Wir nehmen einen dieser Koordinaten als b.
Ich nehme gerne den mit der Null.
Also y = 0, wenn x = -3+b.
Ich habe -3 für x und 0 für y genommen.
Das funktioniert, weil diese Punkte auf der Geraden sind.
Das erfüllt die Gleichung der Geraden.
Lösen wir nach b auf.
-3 durch 3 = 1.
6 durch 3 = 2.
Also 0 = -5/2 + b.
Wir könnten 5/2 zu beiden Seiten der Gleichung addieren.
Ich ändere meine Schreibweise, so lernst du beide kennen.
Die Gleichung ist: 5/2 = b.
b = 5/2.
Die Gleichung unserer Geraden ist: y = 5/6 x + b,
also y = 5/6 x + 5/2.
Fertig.
Lösen wir eine andere Aufgabe.
Hier ist ein Graph.
Finden wir die Gleichung dieses Graphen heraus.
Da ist etwas einfacher.
Was ist die Steigung?
Die Steigung ist die Veränderung von y durch die Veränderung von x.
Bewegen wir uns auf der x-Achse um einen Punkt,
ist unsere Veränderung von x = 1.
Ich verändere meinen x-Wert in Schritten von 1.
Was ist die Veränderung von y?
Scheinbar verändert sich y um 4.
Meine Veränderung von y scheint 4 zu sein,
wenn meine Veränderung von x =1 ist.
Veränderung von y durch Veränderung von x,
4/1.
Die Steigung ist gleich 4.
Was ist der y-Achsenabschnitt?
Schauen wir uns den Graphen an.
Sie kreuzt die y-Achse bei -6,
also dem Punkt (0 | -6).
Also b = -6.
Wir kennen die Gleichung der Geraden.
Sie lautet: y = Steigung mal x plus dem y-Achsenabschnitt.
Also y = 4x - 6.
Lösen wir noch eine Aufgabe.
f(1,5) = -3, f(-1) = 2.
Was heißt das?
Das ist nur eine Möglichkeit dir zu sagen,
dass an dem Punkt, an dem x = 1,5 ist,
die Funktion gleich -3 ist.
Die Koordinate (1,5 | -3) liegt auf der Geraden.
Das hier zeigt uns, dass an dem Punkt, an dem x = -1 ist,
f von x = 2 ist.
Das ist nur eine schicke Art zu sagen,
dass beide Punkte auf der Geraden liegen.
Diese Aufgabe soll dich mit der Schreibweise vertraut machen,
damit du nicht verunsichert bist, wenn du sie einmal siehst.
Berechnest du die Funktion von 1,5, erhältst du -3.
Das ist die Koordinate, wenn y = f(x).
Das wäre die y-Koordinate.
y = -3, wenn x = 1,5.
Berechnen wir die Steigung der Geraden.
Die Steigung ist die Veränderung von y durch die Veränderung von x.
Fangen wir an: 2 - -3, das sind die y-Werte,
durch -1 - 1,5.
Minus 1 und die 2 stammen von hier,
daher benutze ich beide zuerst.
Würde ich diese hier zuerst verwenden,
müsste ich zuerst sowohl das x als auch das y verwenden.
Benutze ich zuerst die 2, muss ich zuerst die -1 verwenden.
Daher nehme ich verschieden Farben.
Die Gleichung ergibt: 2 + 3, also 5.
-1 - 1,5 = -2,5.
5 durch 2,5 = 2.
Die Steigung dieser Geraden ist gleich -2.
Ich will dir zeigen, dass die Reihenfolge ganz egal ist.
Wenn ich zuerst diese Koordinate verwende, dann auch diese. Drehen wir die Reihenfolge um.
Würde ich -3 - 2 durch 1,5 - -1 schreiben,
sollte ich dasselbe Ergebnis erhalten.
-3 - 2 = -5.
1,5 - -1 = 1,5 + 1.
Also 2,5.
Das Ergebnis ist wieder -2.
Es ist egal, welche Koordinate du als Start- oder Endpunkt wählst, so lange du dabei bleibst.
Ist dies das Anfangs-y, muss dies das Anfangs-x sein.
Ist das das End-y, muss das das End-x sein.
Wir wissen also, die Steigung beträgt -2.
Die Gleichung ist: y = -2x plus dem y-Achsenabschnitt.
Nehmen wir eine dieser Koordinaten.
Ich nehme diese, denn sie hat keine Dezimalstelle.
Also ist y = 2, wenn x = -1.
Dann haben wir noch das + b.
Also ist 2 = -2 + b.
Ziehst du 2 von beiden Seiten der Gleichung ab,
erhältst du auf der linken Seite 0.
0 = b.
Daher ist b = 0.
Die Gleichung der Geraden ist einfach:
y = -2x.
Willst du sie als Funktion schreiben,
wäre dies: f(x) = -2x.
Ich nahm an, dass y = f(x).
Das ist tatsächlich die Gleichung.
Hier oben ist y nicht erwähnt.
Du kannst einfach schreiben: f(x) = 2x.
All diese Koordinaten sind die Koordinaten von x und f(x).
Die Definition der Steigung kann auch als Veränderung von f(x) durch Veränderung von x geschrieben werden.
Dies sind alles äquivalente Wege für die gleiche Sache.