0:00:00.000,0:00:00.450
.

0:00:00.450,0:00:03.570
I denne videoen skal jeg vise en[br]del eksempler på å finne

0:00:03.570,0:00:07.170
ligningene til linjer med stigning[br]og skjæringspunkt.

0:00:07.170,0:00:09.610
For å repetere litt, er [br]det ligningen for linjer

0:00:09.610,0:00:17.050
der y er lik mx[br]pluss b der m er stigningstallet

0:00:17.050,0:00:21.200
og b er y-skjæringspunktet.

0:00:21.200,0:00:24.870
Så la oss gjøre en del oppgaver[br]med dette. Her

0:00:24.870,0:00:28.900
får vi vite at en linje har et stigningstall[br]på minus 5, så m er

0:00:28.900,0:00:30.740
lik minus 5.

0:00:30.740,0:00:34.290
Y-skjæringspunktet er 6.

0:00:34.290,0:00:36.300
Så b er lik 6.

0:00:36.300,0:00:37.985
Dette er ganske rett frem.

0:00:37.985,0:00:41.530
Ligningen til denne linjen [br]er y er lik

0:00:41.530,0:00:47.550
minus 5x pluss 6.

0:00:47.550,0:00:49.570
Det var ikke for vanskelig.

0:00:49.570,0:00:51.570
La oss ta den neste her borte.

0:00:51.570,0:00:54.300
Linjen har et stigningstall på [br]minus 1 og inneholder

0:00:54.300,0:00:57.320
punket 4/5 komma 0.

0:00:57.320,0:01:00.600
Så de forteller oss stigningstallet [br]på minus en.

0:01:00.600,0:01:05.230
Så vi vet at m er lik [br]minus 1, men vi er ikke helt

0:01:05.230,0:01:09.190
sikre på hvor y-skjæringspunktet er enda.

0:01:09.190,0:01:12.510
Så vi vet at denne ligningen [br]har formen y

0:01:12.510,0:01:19.300
er lik stigningstallet minus[br]1x pluss b, der b er

0:01:19.300,0:01:20.460
y-skjæringspunket.

0:01:20.460,0:01:23.650
Vi kan bruke denne kooridnat-[br]informasjonen, det

0:01:23.650,0:01:25.870
faktum at den inneholder dette[br]punktet, vi kan bruke denne

0:01:25.870,0:01:28.590
informasjonen for å løse b.

0:01:28.590,0:01:31.530
Det faktum at linjen inneholder[br]punktet betyr at

0:01:31.530,0:01:37.690
x-verdien er lik 4/5, y [br]er lik må tilfredstille

0:01:37.690,0:01:38.265
denne ligningen.

0:01:38.265,0:01:43.120
Så la oss erstatte dem. [br]Y er lik 0 når x er

0:01:43.120,0:01:44.090
lik 4/5.

0:01:44.090,0:01:50.170
0 er lik minus 1 ganger [br]4/5 pluss b.

0:01:50.170,0:01:52.810
Jeg skroller ned litt.

0:01:52.810,0:01:58.110
La oss se, vi får en 0 er[br]lik minus 4/5 pluss b.

0:01:58.110,0:02:02.040
Vi kan legge til 4/5 på[br]begge sider av denne ligningen.

0:02:02.040,0:02:04.250
Så vi legger til 4/5 der.

0:02:04.250,0:02:07.320
Vi kan legge til 4/5 [br]til denne siden også.

0:02:07.320,0:02:10.100
Grunnen til at jeg gjorde det er [br]at det utlignes med den.

0:02:10.100,0:02:12.130
Du får b er lik 4/5.

0:02:12.130,0:02:16.250
.

0:02:16.250,0:02:19.180
Så nå har vi ligningen til linjen.

0:02:19.180,0:02:23.040
Y er lik minus 1 ganger[br]x, som vi skriver som minus

0:02:23.040,0:02:32.500
x, pluss b, som er 4/5, akkurat slik.

0:02:32.500,0:02:34.480
Nå har vi denne.

0:02:34.480,0:02:39.580
Linjen inneholder punktet[br]2,6 og 5,0.

0:02:39.580,0:02:42.540
De har ikke gitt oss [br]stigningstallet eller y-skjæringspunktet

0:02:42.540,0:02:43.030
helt eksplisitt.

0:02:43.030,0:02:45.350
Men vi kan finne ut av begge[br]to fra disse

0:02:45.350,0:02:45.650
kooridnatene.

0:02:45.650,0:02:48.270
Det første vi kan gjøre [br]er å finne ut stigningstallet.

0:02:48.270,0:02:53.750
Vi vet at stigningstallet m er [br]lik forandring i y over

0:02:53.750,0:02:58.100
forandring i x, som er lik--[br]Hva er forandringen i y?

0:02:58.100,0:02:59.490
La oss begynne med denne.

0:02:59.490,0:03:00.985
Så vi tar 6 minus 0.

0:03:00.985,0:03:04.210
.

0:03:04.210,0:03:05.070
La meg gjøre det slik.

0:03:05.070,0:03:10.410
Det er en 6--jeg bruker[br]fargekoder-- minus 0.

0:03:10.410,0:03:14.340
Så 6 minus 0, det er forandringen i y.

0:03:14.340,0:03:24.190
Forandringen til x er 2[br]minus 2 minus 5.

0:03:24.190,0:03:26.320
Grunnen til at jeg fargekodet[br]det er at jeg har lyst til å vise deg

0:03:26.320,0:03:30.890
når jeg brukter y-termen først,[br]jeg brukte 6eren her oppe,

0:03:30.890,0:03:33.380
må jeg bruke denne x-termen [br]først også.

0:03:33.380,0:03:36.730
Så jeg har lyst til å vise deg, dette[br]er koordinatet 2, 6.

0:03:36.730,0:03:38.590
Dette er koordinatet [br]5, 0.

0:03:38.590,0:03:41.650
Jeg kan ikke bytte på [br]toeren og femmeren,

0:03:41.650,0:03:45.030
da hadde jeg fått det [br]negative svaret.

0:03:45.030,0:03:46.080
Men hva får jeg her?

0:03:46.080,0:03:51.210
Dette er lik [br]6 minus 0 er lik 6.

0:03:51.210,0:03:54.770
2 minus 5 er minus 3.

0:03:54.770,0:03:58.910
Dette blir minus 6 [br]over 3, som er det samme

0:03:58.910,0:04:01.310
som minus 2.

0:04:01.310,0:04:02.250
Så det er stigningstallet vårt.

0:04:02.250,0:04:06.920
Så langt vet vi at linjen [br]må være y er lik

0:04:06.920,0:04:12.580
stigningstallet-- jeg skriver det[br]i orange-- minus 2 ganger x

0:04:12.580,0:04:15.160
pluss y-skjæringspunket vårt.

0:04:15.160,0:04:17.779
Nå kan vi gjøre akkuart det vi [br]gjorde i den siste oppgaven.

0:04:17.779,0:04:20.579
Vi kan bruke en av disse [br]punktene til å løse b.

0:04:20.579,0:04:22.029
Vi kan bruke begge.

0:04:22.029,0:04:25.920
Begge ligger på linjen, [br]så begge må tilfredstille

0:04:25.920,0:04:26.900
ligningen.

0:04:26.900,0:04:29.800
Jeg bruker 5, 0 fordi [br]det alltid er fint å

0:04:29.800,0:04:31.020
ha en 0 der.

0:04:31.020,0:04:32.820
Matten blir litt enklere.

0:04:32.820,0:04:34.510
La oss plassere 5, 0 der.

0:04:34.510,0:04:38.900
Y er lik 0 når x er lik 5.

0:04:38.900,0:04:43.820
Y er lik 0 når du har [br]minus to ganger 5, når

0:04:43.820,0:04:47.700
x er lik 5 pluss b.

0:04:47.700,0:04:52.650
Du får 0 er lik to minus 10 pluss b.

0:04:52.650,0:04:57.820
Hvis du plusser 10 til begge sidene [br]av ligningen, la oss legge 10 til

0:04:57.820,0:05:00.680
begge sidene, da [br]forsvinner disse to.

0:05:00.680,0:05:03.970
Du får b er lik 10 pluss 0 eller 10.

0:05:03.970,0:05:06.420
Så du får at b er lik 10.

0:05:06.420,0:05:07.935
Nå vet vi ligningen til linjen.

0:05:07.935,0:05:14.110
Ligningen er y--la meg skrive det[br]i en ny farge-- y er lik

0:05:14.110,0:05:22.280
minus 2x pluss b pluss 10.

0:05:22.280,0:05:23.470
Vi er ferdige.

0:05:23.470,0:05:24.720
La oss ta en til av disse.

0:05:24.720,0:05:28.180
.

0:05:28.180,0:05:31.270
Linjen inneholder punktene 3,5 og

0:05:31.270,0:05:32.890
minus 3,0.

0:05:32.890,0:05:36.380
Akkurat som i den siste oppgaven[br]begynner vi med å finne ut

0:05:36.380,0:05:40.380
stigningstallet, som vi kaller m.

0:05:40.380,0:05:44.830
Det er det samme som stigning[br]over bortover, som er

0:05:44.830,0:05:48.190
det samme som forandring[br]i y over forandring i x.

0:05:48.190,0:05:50.070
Hvis dette var hjemmeleksen[br]din trenger du

0:05:50.070,0:05:50.870
ikke å skrive alt det.

0:05:50.870,0:05:52.920
Jeg vil bare at du skal forstå[br]at dette er

0:05:52.920,0:05:55.150
det samme.

0:05:55.150,0:05:58.520
Hva er forandringen i [br]y over forandringen i x?

0:05:58.520,0:06:02.280
Dette er det samme som--[br]la oss begynne med denne siden først. Bare

0:06:02.280,0:06:03.980
for å vise at du kan [br]velge hvert av disse punktene.

0:06:03.980,0:06:14.050
Så la oss si at det er 0 minus 5,[br]slik.

0:06:14.050,0:06:17.000
Jeg bruker dette kooridnatet først. [br]Jeg ser på det

0:06:17.000,0:06:19.770
som sluttpunktet.

0:06:19.770,0:06:22.420
Husk at da jeg først lærte [br]dette, var det atlltid

0:06:22.420,0:06:24.160
fristende å bruke x-en [br]i telleren.

0:06:24.160,0:06:25.990
Nei, du bruker y-ene[br]i telleren.

0:06:25.990,0:06:28.470
Så det er den andre[br]koordinaten.

0:06:28.470,0:06:38.435
Den kommer til å være[br]over minus 3 minus 3.

0:06:38.435,0:06:41.250
.

0:06:41.250,0:06:44.370
Det er koordinaten [br]minus 3, 0.

0:06:44.370,0:06:46.420
Dette er koordinaten 3, 5.

0:06:46.420,0:06:47.980
Vi subtraherer det.

0:06:47.980,0:06:49.310
Så hva får vi?

0:06:49.310,0:06:52.570
Dette er lik-- jeg skriver[br]det i en nøytral

0:06:52.570,0:06:56.210
farge-- dette er lik telleren er

0:06:56.210,0:07:02.010
minus 5 over minus 3[br]minus 3 er minus 6.

0:07:02.010,0:07:03.650
Så minusene utligner hverandre.

0:07:03.650,0:07:05.930
Du får 5/6.

0:07:05.930,0:07:08.700
Så vi vet at ligningen [br]kommer til å ha formen y

0:07:08.700,0:07:15.560
er lik 5/6x pluss b.

0:07:15.560,0:07:18.600
Nå kan vi erstatte en av [br]disse koordinatene med b.

0:07:18.600,0:07:19.440
Så la oss gjøre det.

0:07:19.440,0:07:21.310
Jeg liker alltid å bruke den [br]som har 0 i seg.

0:07:21.310,0:07:33.270
Så y er en null der x er[br]minus 3 pluss b.

0:07:33.270,0:07:37.810
Så alt jeg gjorde var å erstatte[br]minus 3 med x, 0 med y,

0:07:37.810,0:07:40.860
jeg vet at jeg kan gjøre det fordi[br]den er på linjen.

0:07:40.860,0:07:44.040
Den må tilfredstille ligningen [br]til linjen.

0:07:44.040,0:07:45.600
La oss løse b.

0:07:45.600,0:07:49.990
Så vi får 0 er lik, vel[br]hvis vi deler minus 3

0:07:49.990,0:07:51.830
med 3, blir det en 1.

0:07:51.830,0:07:54.890
Hvis du deler 6 med 3, [br]blir det 2.

0:07:54.890,0:08:02.380
Så det blir minus 5/2 pluss b.

0:08:02.380,0:08:05.280
Vi kan plusse 5/2 til [br]begge sider av ligningen.

0:08:05.280,0:08:08.630
Puss 5/2, pluss 5/2.

0:08:08.630,0:08:10.850
Jeg liker å forandre [br]notasjonen så du blir

0:08:10.850,0:08:12.520
kjent med begge.

0:08:12.520,0:08:17.800
Så ligningen blir 5/2 er [br]lik-- det er en 0--er

0:08:17.800,0:08:19.600
lik b.

0:08:19.600,0:08:22.090
B er 5/2.

0:08:22.090,0:08:31.940
Ligningen til linjen er[br]y er lik 5/6x pluss b,

0:08:31.940,0:08:37.820
som vi akkurat fant ut [br]er 5/2, pluss 5/2.

0:08:37.820,0:08:38.710
Vi er ferdige.

0:08:38.710,0:08:41.280
La oss ta en til.

0:08:41.280,0:08:43.500
Vi har en graf her.

0:08:43.500,0:08:45.300
La oss finne ut ligningen [br]til denne grafen.

0:08:45.300,0:08:46.900
Dette er faktisk, på [br]en måte, litt lettere.

0:08:46.900,0:08:47.740
Hva er stigningstallet?

0:08:47.740,0:08:52.250
Stigningstallet er forandring i y[br]over forandring i x.

0:08:52.250,0:08:53.310
Så la oss se hva som skjer.

0:08:53.310,0:08:57.900
Når vi flytter i x, når [br]forandringen i x er 1, så det er

0:08:57.900,0:08:58.940
forandringen vår i x.

0:08:58.940,0:09:00.850
Forandringen i x er 1.

0:09:00.850,0:09:04.130
Jeg bare bestemmer å forandre[br]x med 1, stigning med 1.

0:09:04.130,0:09:05.900
Hva er forandringen i y?

0:09:05.900,0:09:10.390
Det ser ut som y [br]forandres med 4 eksakt.

0:09:10.390,0:09:14.980
Det ser ut som delta y, [br]forandringen i y, er lik 4

0:09:14.980,0:09:20.690
når delta x er lik 1.

0:09:20.690,0:09:24.340
Så forandringen i y over forandringen i [br]x, forandringen i y er 4 når

0:09:24.340,0:09:26.220
forandringen i x er 1.

0:09:26.220,0:09:30.380
Så stigningstallet er lik 4.

0:09:30.380,0:09:32.190
Hva er y-skjæringspunktet?

0:09:32.190,0:09:33.720
Her kan vi bare se på grafen.

0:09:33.720,0:09:38.260
Det ser ut som den skjærer[br]y-aksen der y er lik

0:09:38.260,0:09:41.600
minus 6, eller punket[br]0, minus 6.

0:09:41.600,0:09:44.180
Så vi vet at b er lik [br]minus 6.

0:09:44.180,0:09:46.950
.

0:09:46.950,0:09:48.875
Vi vet ligningen til linjen.

0:09:48.875,0:09:56.630
Ligningen til linjen er y er [br]lik stigningstallet ganger x

0:09:56.630,0:09:59.030
pluss y-skjæringspunktet.

0:09:59.030,0:10:01.850
Jeg bør skrive det.

0:10:01.850,0:10:07.840
Så minus 6, det er pluss[br]minus 6. Så det er

0:10:07.840,0:10:09.800
ligningen til linjen vår.

0:10:09.800,0:10:12.980
La oss gjøre en til av disse.

0:10:12.980,0:10:17.170
Så vi får vite at f av[br]1.5 er negativ 3, f av

0:10:17.170,0:10:18.750
negative 1 er 2.

0:10:18.750,0:10:19.970
Hva er det?

0:10:19.970,0:10:23.830
Alt dette er bare en flott[br]måte å si at

0:10:23.830,0:10:30.530
punktet der x er 1.5, der du [br]skriver 1.5 inn i funksjonen,

0:10:30.530,0:10:33.490
er funksjonen lik minus 3.

0:10:33.490,0:10:36.750
Så dette forteller oss at [br]koordinaten 1,5, negativ 3 er

0:10:36.750,0:10:38.270
på linjen.

0:10:38.270,0:10:41.960
Dette forteller oss at [br]punktet der x er minus 1, er

0:10:41.960,0:10:44.420
f av x lik 2.

0:10:44.420,0:10:47.540
Dette er bare en flott måte [br]å si at begge disse to

0:10:47.540,0:10:51.400
punktene ligger på linjen, [br]ingenting uvanlig.

0:10:51.400,0:10:54.380
Poenget med denne[br]oppgaven er at du skal venne

0:10:54.380,0:10:56.870
deg til funksjonsnotasjoner, [br]at du ikke skal bli skremt

0:10:56.870,0:10:57.970
når du ser noe slikt som dette.

0:10:57.970,0:11:01.540
Hvis du regner ut funksjonen[br]på 1.5, får du minus 3.

0:11:01.540,0:11:04.440
Så det er koordinatene hvis[br]du forestiller deg at y er

0:11:04.440,0:11:06.020
lik f av x.

0:11:06.020,0:11:06.950
Så dette er y-koordinaten.

0:11:06.950,0:11:09.250
Den er lik minus 3[br]når x er 1.5.

0:11:09.250,0:11:10.840
Men, jeg har sagt det flere ganger.

0:11:10.840,0:11:13.280
La oss finne stigningstallet til linjen.

0:11:13.280,0:11:20.020
Stigningstallet som er forandring i y[br]over forandring i x er lik,

0:11:20.020,0:11:27.460
la oss begynne men 2 minus denne,[br]minus 3-- dette er

0:11:27.460,0:11:32.880
y-verdiene-- over, alt [br]det over, minus

0:11:32.880,0:11:40.140
1 minus denne.

0:11:40.140,0:11:43.330
La meg skrive det slik, [br]minus 1 minus

0:11:43.330,0:11:48.440
denne, minus 1.5.

0:11:48.440,0:11:50.340
Jeg skriver i farge fordi jeg [br]har lyst til å vise deg at negativ

0:11:50.340,0:11:54.060
1 og 2eren er begge fra [br]denne, derfor bruker vi

0:11:54.060,0:11:57.500
begge de først. Hvis jeg brukte[br]disse først, ville jeg måtte

0:11:57.500,0:12:00.495
bruke både x og y[br]først. Hvis jeg bruker 2 først, må jeg

0:12:00.495,0:12:02.080
bruke minus 1 først. Derfor bruker jeg

0:12:02.080,0:12:03.390
farge-koder.

0:12:03.390,0:12:08.360
Så dette er lik 2 minus[br]negativ 3.

0:12:08.360,0:12:10.370
Det er det samme som 2 pluss 3.

0:12:10.370,0:12:11.620
Så det er 5.

0:12:11.620,0:12:16.480
.

0:12:16.480,0:12:20.040
Minus 1 minus 1.5 [br]er minus 2.5.

0:12:20.040,0:12:23.830
.

0:12:23.830,0:12:27.770
5 delt på 2.5 er lik 2.

0:12:27.770,0:12:30.250
Så stigningstallet til[br]denne linjen er minus 2.

0:12:30.250,0:12:32.130
Jeg tar det til siden [br]for å vise deg at det ikke

0:12:32.130,0:12:34.480
spiller noen rolle [br]hvilken rekkefølge jeg gjør det i.

0:12:34.480,0:12:36.180
Hvis jeg bruker denne kooridnaten[br]først må jeg bruke den

0:12:36.180,0:12:38.140
koordinaten først. La[br]oss gjøre det omvendt.

0:12:38.140,0:12:54.180
Hvis jeg tok minus 3 [br]minus 2 over 1.5 minus

0:12:54.180,0:12:59.810
negativ 1, blir dette minus[br]2 over 1.5 minus

0:12:59.810,0:13:01.060
negativ 1.

0:13:01.060,0:13:03.300
.

0:13:03.300,0:13:04.780
Det bør gi meg det samme svaret.

0:13:04.780,0:13:06.130
Dette er lik hva?

0:13:06.130,0:13:12.860
Minus 3 minus 2 3 er minus[br]5 over 1.5 minus negativ 1.

0:13:12.860,0:13:14.520
Det er 1.5 pluss 1.

0:13:14.520,0:13:16.610
Det er over 2.5.

0:13:16.610,0:13:18.840
Så igjen, er dette lik minus 2.

0:13:18.840,0:13:20.340
Så jeg vil bare vise deg,[br]det ikke spiller noen rolle hvilken

0:13:20.340,0:13:23.090
du velger som start- og [br]sluttpunkt, så lenge

0:13:23.090,0:13:23.980
du er konsekvent.

0:13:23.980,0:13:26.650
Dette er y-startpunktet, [br]dette er x-startpunktet.

0:13:26.650,0:13:28.370
Hvis dette er [br]y-sluttpunktet, må dette være

0:13:28.370,0:13:29.500
x-sluttpunktet.

0:13:29.500,0:13:33.100
Men uansett, vi vet at [br]stigningstallet er minus 2.

0:13:33.100,0:13:36.540
Så vi vet at ligningen er y er [br]lik minus 2x pluss

0:13:36.540,0:13:39.170
et y-skjæringspunkt.

0:13:39.170,0:13:40.720
La oss ta en av disse [br]koordinatene.

0:13:40.720,0:13:43.430
La oss bruke denne siden [br]den har ikke desimal i seg.

0:13:43.430,0:13:47.450
Så vi vet at y er lik 2.

0:13:47.450,0:13:52.630
Så y er lik 2 når x [br]er lik minus 1.

0:13:52.630,0:13:55.140
.

0:13:55.140,0:13:57.290
Så har du pluss b.

0:13:57.290,0:14:02.710
Så 2 er lik minus 2 [br]ganger minus 1 er 2 pluss b.

0:14:02.710,0:14:06.390
Hvis du trekker 2 fra begge [br]sidene av ligningen, minus

0:14:06.390,0:14:10.370
2, minus 2, trekker du [br]det fra begge sider av denne

0:14:10.370,0:14:12.480
ligningen, da får du 0 på[br]venstre side er

0:14:12.480,0:14:14.520
lik b.

0:14:14.520,0:14:15.670
Så b er 0.

0:14:15.670,0:14:18.430
Så ligningen til [br]linjen din er bare y er

0:14:18.430,0:14:19.680
lik minus 2x.

0:14:19.680,0:14:22.040
.

0:14:22.040,0:14:23.870
Hvis du ønsker å skrive [br]det i en funksjonsnotasjon

0:14:23.870,0:14:28.190
er det f av x er[br]lik minus 2x.

0:14:28.190,0:14:30.810
Jeg antar på en måte at [br]y er lik f av x.

0:14:30.810,0:14:32.420
Men dette er ligningen.

0:14:32.420,0:14:33.990
De nevner aldri y-ene her.

0:14:33.990,0:14:37.890
Så jeg kan bare skrive f av x [br]er lik 2x her.

0:14:37.890,0:14:40.190
Hver av disse koordinatene[br]er koordinatene

0:14:40.190,0:14:42.610
til x og f av x.

0:14:42.610,0:14:46.960
.

0:14:46.960,0:14:49.960
Så du kan tenke definisjonen [br]av stigningstallet som forandring

0:14:49.960,0:14:53.320
i f av x over forandring i x.

0:14:53.320,0:14:57.090
Dette er likestilte måter å [br]tenke det samme på.

0:14:57.090,0:14:57.466
.