В цьому відео я покажу вам серію прикладів в яких я буду
перетворювати лінійні рівняня в рівняння з кутом нахилу.
Давайте пригадаємо що це рівняння прямої
у вигляді Y дорівнює mX плюс b де m це кут нахилу
а b це точка перетину прямої з віссю Y.
Давайте зробимо серію таких прикладів. Тут
вони кажуть нам що лінія має кут нахилу мінус 5, тобто m
дорівнює мінус 5.
І ця лінія має перетинаэ вісь Y у точці 6.
Тобто b дорівнює 6.
Тут все досить просто.
Рівняння цієї пямої буде Y дорівнює
мінус 5X плюс 6.
Це просто.
Давайте зробимо наступний приклад, ось тут.
Лінія має кут нахилу який дорівнює мінус 1 і проходить
через точку 4/5, 0.
Вони задають нам кут нахилу - мінус 1.
Ми знаємо що m дорівнює мінус 1, але ми не на 100%
впевнені в якій точці пряма перетинає вісь Y.
Ми знаємо що це рівняння має бути записане у вигляді Y
дорівнює куту нахилу мінус 1X плюс b, де b це точка
перетину з віссю Y.
Тепер ми можемо використати задані в умові координати, ми можемо
використати той факт що ця лінія проходить
через ці координати, щоб знайти b.
Якщо лінія проходить через цю точку то
коли X дорівнює 4/5, то Y дорівнює 0.
Давайте підставимо ці числа у рівняння. Y дорівнює 0 коли X
дорівнює 4/5.
0 дорівнює мінус 1 помножити на 4/5 плюс b.
Давайте трошки спустимося донизу.
Ми отримуємо 0 дорівнює мінус 4/5 плюс b.
Ми можемо додати 4/5 до обох боків цього рівняння.
Ми додаємо 4/5 тут.
Ми додаємо 4/5 і з цього боку також.
Я це зробив щоб скоротити ось це з оцим.
Ми отримуємо b дорівнює 4/5.
Ми отримали рівняння прямої.
Y дорівнює мінус 1 помножити на X, або простіше мінус X
плюс b яке в свою чергу дорівнює 4/5, ось так.
Перейдемо до наступного завдання.
Лінія проходить через точки з координатами (2, 6) і (5, 0).
Вони не задали нам ані куту нахилу, ані точки перетину з віссю Y.
Але ми можемо знайти ці значення використавши ці координати.
Перше шо ми можемо зробити, визначити кут нахилу.
Ми знаємо що кут нахилу m дорівнює зміні Y в залежності
від зміни по X, що дорівнює Як змінилося Y?
Давайте почнемо з цієї
координати. 6 мінус 0.
6 мінус 0.
Я це зроблю таким чином.
Це буде 6-- Я використаю кольори-- мінус 0.
Тобто 6 мінус 0, це наша зміна по Y.
Зміна по X буде 2 мінус, 2 мінус 5.
Я використав кольори бо хотів вам показати
що коли я використовую ось цю координату по Y першою, то я мушу
використати координату цієї ж точки по X першою.
Я хотів вам показати що це координати (2,6).
Це координати (5,0).
Я не міг поміняти місцями 2 і 5.
Тоді б я отримав негативну відповідь.
Що ми отримаємо тут?
Це дорівнює 6 мінус 0 це 6.
2 мінус 5 це мінус 3.
Ми маємо мінус 6 поділити на 3, що дорівнює
мінус 2.
Це кут нахилу.
Ми знаємо що рівняння прямої має вигляд Y дорівнює
кут нахилу-- Я позначу це помаранчевим-- мінус 2 помножити на X
плюс точка перетину з віссю Y.
Тепер ми повторимо все що ми зробили в попередній задачі.
Ми використаємо одну з цих точок щоб знайти b.
Ми можемо вибрати будь яку.
Пряма проходить через ці дві точки, тобто обидві точки повинні задовольняти
рівняння прямої.
Я використаю точку (5,0), так як завжди добре мати координату
з 0.
Викладки трошки зпрощуються
Давайте підставимо координати (5,0)
Y дорівнює нулю коли X дорівнює 5.
Y дорівнює 0 коли мінус 2 помножити на 5, коли
X дорівнює 5 плюс b.
Ми отримуємо 0 дорівнює мінус 10 плюс b.
Якщо ми додамо 10 з двох боків цього рівняння, давайте додамо 10 з двох боків
цього рівняння, ці два члени скорочуються.
Ми отримаємо b дорівнює 10 плюс 0 або 10.
Ми отримаємо b дорівнює 10.
Тепер ми знаємо рівняння лінії.
Запишемо це рівняння: Y-- давайте я зроблю це іншим кольором-- Y дорівнює
мінус 2X плюс b, плюс 10.
Ми закінчили.
Давайте зробимо ще один приклад.
Добре, лінія проходить через точки з координатами (3,5) і
(-3,0).
Так само як в попередньому прикладі, ми почали з того що знайшли
кут нахилу прямої m.
Це те ж саме що зміна по абсцисі залежно від зміни по ординаті, або
зміна по Y поділена на зміну по X. Якщо ви робите це в своїй
домашній роботі то вам не потрібно писати
всього цього.
Я просто хочу переконатися в тому що ви
розумієте що це все одне й те саме.
То чому дорівнює зміна по Y в залежності від зміни по X?
Це дорівнює, давайте спершу почнемо з ціє сторони. Це шоб продемонструвати вам
що я можу вибрати будьяку з цих точок.
Давайте запишемо нуль мінус 5, ось так.
Я використовую цю координату першою. Я начебто дивлюся на цю
точку як кінцеву.
Коли я вперше розв'язував ці рівняння, Я намагався
підставити X в чисельник.
Ні, потрібно використовувати Y в чисельнику.
Це друга координата.
Це буде мінус 3 мінус 3.
Це координати (-3,0).
Це координати (3,5)
Ми віднімаємо їх.
То що ми отримаємо?
Це буде дорівнювати-- Я запишу це у нейтральному кольорі
це буде дорівнювати: чисельник дорівнює
мінус 5 поділити на мінус 3 мінус 3 це дорівнює мінус 6.
Мінуси скорочуюсться.
І ми отримаємо 5/6.
Ми знаємо що рівняння має бути записано у вигляді Y
дорівнює 5/6X плюс b.
Ми можемо підставити одну з цих координат у рівняння щоб знайти b.
Давайте зробимо це.
Я завжди люблю координати з 0.
Y дорівнює нулю коли X дорівнює мінус 3 плюс b.
Все що я зробив це підставив мінус 3 замість X, 0 замість Y.
Я знаю що я можу це зробити адже лінія проходить через цю точку.
Ця точка повинна задоволняти рівняння лінії.
Давайте розв'яжемо це рівняння.
Нуль дорівнює, якщо ми поділимо мінус 3
на 3, то отримаємо 1.
Якщо ми поділимо 6 на 3, то отримаємо 2.
Ми отримаємо мінус 5/6 плюс b.
Ми могли додати 5/2 з двох боків рівняння.
прюс 5/2, плюс 5/2.
Я люблю змінювати мої позначення,
щоб ви звикли до двох варіантів.
Рівняння запишеться як 5/2 дорівнює-- це 0--
дорівнює b.
b дорівнює 5/2.
Рівняння нашої лінії запишеться як Y дорівнює 5/6X плюс b,
яке дорівнює, як ми щойно підрахували, 5/2, плюс 5/2.
Ми закінчили.
Давайте зробимо ще один приклад.
Ми маємо графік ось тут.
Давайте знайдемо рівняння цієї лінії.
Це взагалі то кажучи, трохи простіше.
Чому дорівнює кут нахилу?
Кут нахилу це зміна по Y поділити на зміну по X.
Давайте подивимося що ми маємо.
Коли ми рухаємося по X, зміна по X дорівнює 1, тобто це наша
зміна по X.
Зміна по X дорівнює 1.
Я вирішив змінити X на 1, збільшити на 1.
Як зміниться при цьому Y.
Y зміниться на 4.
Тобто дельта Y, зміна по Y, дорівнює 4
коли дельта X дорівнює 1.
Зміна по Y поділена на зміну по X, зміна по Y дорівнює 4 коли
зміна по X дорівнює 1.
Кут нахилу дорівнює 4.
В якій точці ця пряма перетинає вісь Y?
Ми можемо просто подивитися на графік.
Ця пряма перетинає вісь Y коли Y дорівнює
мінус 6, або у точці (0,-6).
Ми знаємо що b дорівнює мінус 6.
Тобто ми знаємо рівняння прямої.
Рівняння прямої запишеться як Y дорівнює куту нахилу помноженому на X
плюс точка перетину з віссю Y.
Я це запишу.
Мінус 6, це плюс мінус 6. Ми отримали
рівняння прямої.
Давайте зробимо ще один приклад.
Задано: f у точці 1,5 дорівнює мінус 3,
f у точці 1 дорівнює 2.
Що це означає?
Все це просто єкстравагантний метод сказати нам що
точка коли X дорівнює 1.5, коли ми підставляємо 1.5 у функцію,
функція буде дорівнювати мінус 3.
Це означає що точка з координатами (1.5,-3) належить
лінії.
Також це означає що точка коли X дорівнює мінус 1,
функція дорівнює 2.
Це такий оригінальний метод задати дві точки
які належать прямій, нічого незвичайного.
Ідея цього прикладу познайомити вас
з таким типом запису, щоб ви не лякалися коли
побачите таке завдання.
Якщо ми порахуємо чому дорівнює функція у точці 1.5, то ми отримаємо 3.
Тобто ми знайшли координати, y дорівнює
f(x).
Це буде Y координата.
Вона буде дорівнювати 3 коли X дорівнює 1.5.
Я сказав це декілька разів.
Давайте порахуємо кут нахилу цієї лінії.
Кут нахилу дорівнює зміна по Y поділена на зміну по X і дорівнює
давайте почнемо з 2 мінус цей член, мінус 3, це значення
по Y-- все це поділити на, мінус
1 мінус ось цей член.
Давайте я запишу це у цьому вигляді, мінус 1 мінус
цей член, мінус 1.5.
Я використовую кольори щоб показати вам
що мінус 1 і 2 належать ось цій точці, саме тому я використовую
ці координати першими. Якби я використовував ці координати, я мав би
використати одночасно і X і Y. Якщо я спершу використовую 2, то
я маю використовувати мінус 1.
Тому я використовую колір.
Це буде дорівнювати 2 мінус мінус 3.
Це те ж саме що 2 плюс 3.
Це дорівнює 5.
Мінус 1 мінус 1.5 це мінус 2.5.
5 поділити на 2.5 дорівнює 2.
Кут нахилу дорівнює 2.
Взагалі то я трошки відхилюся щоб показати вам
що порядок координат не має значення.
Якщо я візмю цю координату першою,
то я візьму цю координату першою. Давайте змінимо порядок.
Якщо я візму мінус 3 мінус 2 поділити на 1.5 мінус
мінус 1, це буде мінус 2 поділити на 1.5 мінус
мінус 1.
Це повинно дати мені той самий результат.
Чому це дорівнює?
Мінус 3 мінус 2 це мінус 5 поділити на 1.5 мінус мінус 1.
Це 1.5 плюс 1.
Це поділити на 2.5
Ще раз, це дорівнює мінус 2.
Я хотів вам показати що не має значення
в якому порядку ви виберете початкову або кінцеву точку,
аби цей порядок зберігався у чисельнику і знаменнику.
Якщо ви починаєте з цього X, то почніть з цього Y.
Якщо це кінцева Y, то це має бути
кінцева координата X.
Ми знаємо що кут нахилу дорівнює 2.
Ми знаємо що рівняння має вигляд Y дорівнює мінус 2 X плюс
точка перетину з віссю Y.
Давайте візьмемо одну з цих точок.
Я візьму цю точку так як в неї не має раціональних чисел.
Ми знаємо що Y дорівнює 2.
Y дорівнює 2 коли X дорівнює мінус 1.
Звичайно ми не забули плюс b.
2 дорівнює мінус 2 помножити на мінус 1 буде 2 плюс b.
Якщо ми віднімемо 2 з двох боків рівняння,
мінус 2, мінус 2, ми віднімаємо це з двох боків цього
рівняння, ми отримаємо 0 з лівої сторони
дорівнює b.
b дорівнює 0.
Тобто рівняння прямої буде Y дорівнює
мінус 2 X.
Якщо ви хочете записати це у вигляді
функції то це буде f(x) дорівнює мінус 2 X.
Я допустив що Y дорівнює f(X).
Це справжнє рівняння.
Вони ніколи не згадують Y тут.
Ви можете просто записати f(X) дорівнює 2 X ось тут.
Кожна з цих координат це координати
X і f(X).
Ми можемо навіть визначити кут нахилу як зміна по
f(X) поділена на зміну по X.
Це еквівалентні визначення одного й того самого.