1
00:00:00,000 --> 00:00:02,527
자, 카드를 이용한 확률를 조금 해봅시다.

2
00:00:02,527 --> 00:00:05,055
이 비디오에서 우리는 우리의 덱(deck)에

3
00:00:05,055 --> 00:00:07,057
조커가 들어 있지 않다고 가정할게요.

4
00:00:07,059 --> 00:00:09,027
여러분은 조커를 넣어도 같은 문제를 풀 수 있을 거에요,

5
00:00:09,030 --> 00:00:11,034
수들 간에 약간의 차이가 있을 테지만요.

6
00:00:11,034 --> 00:00:13,027
그럼 이 방식으로,

7
00:00:13,027 --> 00:00:15,007
우선 처음 이 트럼프에는

8
00:00:15,007 --> 00:00:17,862
얼마의 카드가 들어 있을까 생각해 봅시다.

9
00:00:17,862 --> 00:00:21,086
우선 4종류의 세트가 있습니다.

10
00:00:21,086 --> 00:00:25,518
스페이드, 다이아, 클로버,

11
00:00:25,518 --> 00:00:27,023
하트이지요.

12
00:00:27,023 --> 00:00:28,024
이 네 개의 세트를 가지고 있습니다.

13
00:00:28,024 --> 00:00:31,059
그리고 각각의 세트에는 13장의 다른 카드,

14
00:00:31,059 --> 00:00:34,010
때로는 랭크라고 불리고 있는 카드가 있습니다.

15
00:00:34,010 --> 00:00:44,057
그러니까 각각의 세트에는 13장의 카드가 있는 것입니다

16
00:00:44,057 --> 00:00:47,041
우선 에이스. 그리고 2, 3,

17
00:00:47,041 --> 00:00:52,073
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

18
00:00:52,073 --> 00:00:55,588
그리고 잭, 킹, 퀸이 있어요.

19
00:00:55,588 --> 00:00:57,518
이것이 13장의 카드입니다.

20
00:00:57,518 --> 00:01:03,083
그리고 각각 세트의 어떤 카드든 가질 수가 있어요.

21
00:01:03,096 --> 00:01:05,082
예를 들면, 다이아의 잭,

22
00:01:05,082 --> 00:01:08,660
클로버의 잭, 스페이드의 잭이나 하트의 잭 등입니다.

23
00:01:08,660 --> 00:01:10,475
그래서 이 두 개의 것을 곱한다면,

24
00:01:10,475 --> 00:01:12,762
실제의 카드 덱에서는

25
00:01:12,762 --> 00:01:14,062
각각 세고 다음에 조커를 덧붙이지만

26
00:01:14,062 --> 00:01:16,061
여기에서는 단순하게 곱합니다.

27
00:01:16,061 --> 00:01:18,096
4가지 세트에 각각 13장의 카드가 있습니다.

28
00:01:18,096 --> 00:01:21,073
즉, 4 x 13 의 카드.

29
00:01:21,073 --> 00:01:24,084
그러니까 일반적인 덱에서는 52장의 카드를 가지게 되겠지요.

30
00:01:24,084 --> 00:01:26,088
다른 방법으로 생각한다면

31
00:01:26,088 --> 00:01:28,044
여기에는 13장의 랭크나 종류의 카드가 있어서

32
00:01:28,044 --> 00:01:30,001
각각 4가지 세트가 있는 겁니다.

33
00:01:30,001 --> 00:01:33,065
13 x 4 = 52장의 카드를 얻게 되죠.

34
00:01:33,065 --> 00:01:37,273
이건 이 정도로 하고, 그럼 다른 사상의 확률에 대해서 생각해 봅시다.

35
00:01:37,273 --> 00:01:38,751
덱을 섞어 볼게요.

36
00:01:38,751 --> 00:01:40,369
하나 하나 잘 섞도록 합니다.

37
00:01:40,369 --> 00:01:43,033
그리고 저는 랜덤의 덱으로부터 한 장의 카드를 꺼낼 거에요.

38
00:01:43,033 --> 00:01:47,043
그리고 이 꺼낸 카드가 얼마의 확률에 의한 것인지를 알고 싶습니다.

39
00:01:47,043 --> 00:01:50,049
그럼 제가 잭을 꺼낼 확률은 어느 정도 일까요?

40
00:01:50,049 --> 00:01:53,072
얼마나 동일하게 일어날 수 있는 사상이 있는 거지요?

41
00:01:53,072 --> 00:01:57,036
이 52장의 카드로부터 어떤 카드든 꺼낼 수가 있습니다.

42
00:01:57,036 --> 00:02:00,059
즉 이 카드를 꺼내는 데에는 52개의 가능성이 있는 겁니다.

43
00:02:00,059 --> 00:02:04,050
거기로부터 잭을 꺼내는 것은 얼마의 가능성이 있을까요?

44
00:02:04,050 --> 00:02:07,070
스페이드의 잭, 다이아의 잭,

45
00:02:07,070 --> 00:02:10,033
클로버의 잭, 하트의 잭이 있습니다.

46
00:02:10,033 --> 00:02:12,026
즉 4장의 잭이 있습니다.

47
00:02:12,026 --> 00:02:14,013
덱에는 4장에 잭이 있는 거에요.

48
00:02:14,013 --> 00:02:17,094
즉 4 / 52. 모두 4로 약분 하면

49
00:02:17,094 --> 00:02:19,072
4 나누기 4는 1

50
00:02:19,072 --> 00:02:22,095
52 나누기 4는 13

51
00:02:22,727 --> 00:02:26,018
그럼 이제 다른 확률에 대해서 생각해 봅시다.

52
00:02:26,018 --> 00:02:29,041
아시다 시피, 다시 하기 위해서

53
00:02:29,041 --> 00:02:31,079
저는 이 잭을 덱에 넣고 다시 섞을 거에요.

54
00:02:31,079 --> 00:02:34,006
그러니까 다시 52장의 카드가 되는 것이지요.

55
00:02:34,006 --> 00:02:37,055
그럼 이제 하트를 집게 될 가능성은 어느 정도일까요?

56
00:02:37,055 --> 00:02:40,013
한 장의 카드를 랜덤하게 꺼냈을 때

57
00:02:40,013 --> 00:02:43,465
그것이 하트일 확률은? 그것이 하트의 세트일 경우는?

58
00:02:43,465 --> 00:02:47,076
그럼 다시, 여기에는 52장의 카드로부터 꺼내는,

59
00:02:47,076 --> 00:02:51,063
동일하게 일어날 수 있는 52 만큼의 가능성이 있습니다.

60
00:02:51,063 --> 00:02:55,041
그 중에서 얼마 만큼이 하트 일까요?

61
00:02:55,041 --> 00:02:58,027
기본적으로 이 안에는 13장이 하트 입니다.

62
00:02:58,027 --> 00:03:00,823
각각의 세트는 13장씩 있기 때문에 각각

63
00:03:00,823 --> 00:03:03,480
13장의 하트, 13장의 다이아,

64
00:03:03,480 --> 00:03:06,874
13장의 스페이드, 13장의 클로버가 덱에 있습니다.

65
00:03:06,874 --> 00:03:10,992
즉 13 / 52 가 하트가 되는 결과인 것이죠.

66
00:03:10,992 --> 00:03:14,868
각각의 분자와 분모는 13으로 나누어 떨어집니다.

67
00:03:14,868 --> 00:03:19,010
이것은 1 / 4과 같습니다. 4번 중에서 한번은,

68
00:03:19,010 --> 00:03:21,684
그러니까 1 / 4의 확률로 저는 하트를 꺼내는 것이지요.

69
00:03:21,684 --> 00:03:24,014
섞어놓은 덱으로부터 랜덤하게 카드를 꺼냈을 때의

70
00:03:24,014 --> 00:03:24,971
이야기 입니다.

71
00:03:25,111 --> 00:03:27,069
그럼 이제 좀 더 재미있는 것을 해봅시다.

72
00:03:27,069 --> 00:03:31,006
좀 헷갈릴 수도 있을 텐데요. 그럼 이 꺼낸 카드가

73
00:03:31,006 --> 00:03:41,644
잭이면서 하트일 확률은 얼마인가요?

74
00:03:41,644 --> 00:03:44,092
카드에 대해서 알고 있다면

75
00:03:44,092 --> 00:03:47,083
여기에는 잭의 하트가 1장만 있다는 것을 알고 계실 거에요.

76
00:03:47,083 --> 00:03:49,071
문자 그대로 하트의 잭입니다.

77
00:03:49,071 --> 00:03:51,066
즉, 고른 카드가 딱 잭의 하트일

78
00:03:51,066 --> 00:03:53,042
확률은 얼마지요? 라는 이야기 입니다.

79
00:03:53,042 --> 00:03:59,058
여기에는 오직 하나의 사상, 1장의 카드만이 조건에 맞네요.

80
00:03:59,058 --> 00:04:02,052
이 가능한 52장의 카드들 중에서 말이지요.

81
00:04:02,052 --> 00:04:05,559
즉, 1 / 52의 확률로 잭의 하트를 꺼낼 수가 있습니다.

82
00:04:05,575 --> 00:04:08,736
잭이면서 하트가 되는 경우인 것이죠.

83
00:04:08,903 --> 00:04:11,953
그럼 좀 더 재미있는 것도 해봅시다.

84
00:04:11,953 --> 00:04:15,077
그럼 얼마의 확률로, -- 여러분은 여기서 동영상을 멈추고

85
00:04:15,077 --> 00:04:18,010
제가 대답을 알려드리기 전에 좀 생각해 보실 수 있을 거에요 --

86
00:04:18,010 --> 00:04:25,094
그럼 다시 52장의 카드를 섞고 랜덤하게 한 장을 꺼냈을 때

87
00:04:25,094 --> 00:04:31,023
잭 아니면 하트일 확률은 얼마 일까요?

88
00:04:31,023 --> 00:04:35,061
즉 꺼낸 카드가 하트의 잭이거나, 다이아의 잭이거나,

89
00:04:35,061 --> 00:04:38,081
스페이드의 잭이거나, 혹은 하트의 퀸이거나

90
00:04:38,081 --> 00:04:41,036
아니면 하트의 2일 수도 있겠지요. 즉 그렇게 나올 확률은 얼마일까? 하는 문제입니다.

91
00:04:41,036 --> 00:04:44,041
그리고 이건 더 재미있는 건데요,

92
00:04:44,041 --> 00:04:50,022
우리는 52의 가능성이 있다는 것을 알고 있습니다.

93
00:04:50,022 --> 00:04:53,043
하지만 얼마만큼의 가능성이 조건에 맞는지

94
00:04:53,043 --> 00:04:56,072
그것이 잭일지 하트일지.

95
00:04:56,072 --> 00:05:00,000
그런 것들을 이해하기 위해서 벤 다이어그램을 한번 그려 볼게요.

96
00:05:00,000 --> 00:05:02,066
조금 생소한 이름일 수도 있겠지만 하나도 이상하지 않아요.

97
00:05:02,066 --> 00:05:05,045
그럼 여기서 제가 그린 사각형이 모든 결과의 집합이라고 상상해 주세요.

98
00:05:05,045 --> 00:05:08,072
즉 여기는 모든 52개의 가능한 영역이라고 생각할 수 있겠네요.

99
00:05:08,072 --> 00:05:14,011
이 52개의 일어날 수 있는 결과들 중에서

100
00:05:14,011 --> 00:05:16,556
얼마만큼의 수가 잭일까요?

101
00:05:16,556 --> 00:05:21,771
이미 아까 배웠습니다. 1 / 13이 잭이 나올 확률입니다.

102
00:05:21,771 --> 00:05:24,893
그래서 저는 여기에 작은 원을 그려 볼게요.

103
00:05:24,893 --> 00:05:26,541
그리고 이 영역은

104
00:05:26,541 --> 00:05:28,091
잭일 가능성을 나타냅니다.

105
00:05:28,091 --> 00:05:33,641
그러니까 대략적으로 이건 1 / 13 이거나 4 / 52 인 것입니다.

106
00:05:33,641 --> 00:05:37,030
그래서 저는 이렇게 그리도록 하겠습니다. 그러니까 여기는

107
00:05:37,030 --> 00:05:45,025
잭이 나올 확률입니다. 이건 4지요.

108
00:05:45,025 --> 00:05:53,090
여기에는 52장 중 4장의 카드가 
즉 4 / 52 이거나 1 / 13입니다.

109
00:05:53,090 --> 00:05:56,047
그럼 하트를 꺼낼 확률은 어떨까요?

110
00:05:56,047 --> 00:05:59,056
여기에 다른 원을 그릴게요.

111
00:05:59,056 --> 00:06:03,054
이것이 13 / 52, 즉 52장의 카드 안에서 13장이 하트인 것입니다.

112
00:06:03,054 --> 00:06:07,011
그리고 실제로는 그 중의 한 장이 하트이면서 잭이 될 수 있지요.

113
00:06:07,011 --> 00:06:10,728
그러니까 실제로 이 둘은 서로 겹치고 있는 부분이 있어요.

114
00:06:10,728 --> 00:06:12,808
이걸 이해할 수 있으시길 바랍니다,

115
00:06:12,808 --> 00:06:17,093
그러니까 여기에는 13장의 하트 카드가 있습니다.

116
00:06:17,093 --> 00:06:21,087
즉 여기가 하트인 수이지요.

117
00:06:21,087 --> 00:06:24,094
위에 있는 것도 저렇게 쓰지요.

118
00:06:24,094 --> 00:06:37,437
이제 좀 깨끗해 보이네요. 여기가 잭이 나오는 수,

119
00:06:37,437 --> 00:06:39,002
그리고 서로 겹치고 있는 여기가

120
00:06:39,002 --> 00:06:42,056
잭이면서 하트가 나올 수이지요.

121
00:06:42,063 --> 00:06:45,041
52장 중에 잭이면서 하트가 나올 수입니다.

122
00:06:45,041 --> 00:06:50,453
여기에 초록색 원이 있고 여기에는 주황색 원이 있습니다.

123
00:06:50,453 --> 00:06:53,062
그러니까 여기는 노랑색으로 그릴게요.

124
00:06:53,062 --> 00:06:55,096
문제를 노랑색으로 했으니까요.

125
00:06:55,096 --> 00:06:58,038
여기가 하트이면서 잭이 나올 수입니다.

126
00:06:58,038 --> 00:07:01,065
그리고 여기에 작은 화살표를 하나 그릴게요. 좀 흩어질 수 있게

127
00:07:01,065 --> 00:07:03,081
좀 크게 그릴게요.

128
00:07:03,081 --> 00:07:10,060
여기가 잭이면서 하트인 수입니다.

129
00:07:10,060 --> 00:07:13,448
여기는 서로 겹치고 있는 곳이지요.

130
00:07:13,448 --> 00:07:15,074
그럼 얼마가 잭이면서 하트가 될 확률일까요?

131
00:07:15,074 --> 00:07:19,071
이걸 생각할 때 사상의 총 가짓수 중에서

132
00:07:19,071 --> 00:07:23,043
조건에 맞아 떨어지는 사상의 수가 확률이겠지요.

133
00:07:23,043 --> 00:07:25,004
우리는 이미 사상의 총 가짓수는 52인 것을 알고 있습니다.

134
00:07:25,004 --> 00:07:26,083
하지만 조건에 맞는 수는 얼마나 있지요?

135
00:07:26,083 --> 00:07:29,044
그 수는, 여러분은 이렇게 말할 수 있을 겁니다 :

136
00:07:29,044 --> 00:07:34,255
봐봐, 이 초록색 원은 잭이 나올 수이고

137
00:07:34,255 --> 00:07:37,589
이 주황색 원은 하트가 나올 수야.

138
00:07:37,589 --> 00:07:43,000
하지만 단순하게 초록색과 주황색 원의 수를 더해서

139
00:07:43,000 --> 00:07:45,085
알아 내는 건 할 수 없습니다.

140
00:07:45,085 --> 00:07:48,150
그렇게 되면 겹치고 있는 부분들을 이중으로 세어 버리는 게 되니까요.

141
00:07:48,150 --> 00:07:52,070
만약 서로 더하게 되면, 단순하게 4 + 13이라고 하면 뭐라고 하는 거죠?

142
00:07:52,070 --> 00:07:57,039
여기에는 4장의 잭이 있고

143
00:07:57,039 --> 00:08:00,010
여기에는 13장의 하트가 있어요.

144
00:08:00,010 --> 00:08:03,077
하지만 양쪽 모두를 세니까

145
00:08:03,077 --> 00:08:06,042
하트의 잭도 세게 되겠지요.

146
00:08:06,042 --> 00:08:09,043
우리는 하트의 잭을 이쪽에, 그리고 또 이쪽에서 하트의 잭을,

147
00:08:09,043 --> 00:08:12,023
즉 우리는 하트의 잭을 2번씩이나 세 버립니다.

148
00:08:12,023 --> 00:08:17,008
실제로는 한 장 밖에 없어도 말이죠. 그러니까 우리는

149
00:08:17,008 --> 00:08:20,326
그 결과로부터 이중으로 센 부분을 뺄 필요가 있습니다.

150
00:08:20,346 --> 00:08:23,056
여러분은 하트이면서 잭인 부분을 결과에서 제외시킬 필요가 있는 것이지요.

151
00:08:23,056 --> 00:08:25,017
그럼 이 한 장을 뺀다고 합시다.

152
00:08:25,017 --> 00:08:26,075
다른 방법으로는

153
00:08:26,075 --> 00:08:33,865
여기 있는 모든 합계의 부분을 세는 것이지요.

154
00:08:33,865 --> 00:08:36,060
좀 확대시켜 볼게요. 이걸 다시 그려보겠습니다.

155
00:08:36,060 --> 00:08:38,076
하나의 원이 이쪽에 있고,

156
00:08:38,076 --> 00:08:42,492
다른 서로 겹치고 있는 원도 이쪽에 있습니다.

157
00:08:42,492 --> 00:08:46,069
이 더한 부분을 계산하고 싶어요.

158
00:08:46,069 --> 00:08:53,011
여러분은 이쪽 원의 부분을 보고 또 이쪽 원의 부분을 서로 더합니다.

159
00:08:53,011 --> 00:08:56,693
하지만 그렇게 되면 두 개의 영역을 서로 더했을 때

160
00:08:56,693 --> 00:08:59,016
이 부분을 두 번씩 세게 됩니다.

161
00:08:59,016 --> 00:09:01,329
한 번만 세도록 하기 위해서 더한 것으로부터

162
00:09:01,329 --> 00:09:04,045
이 부분을 빼야 할 필요가 있습니다.

163
00:09:04,045 --> 00:09:10,565
이 영역, 이쪽을 A라고 말한다면 이쪽은 B라고 할게요.

164
00:09:10,565 --> 00:09:15,025
그리고 겹치는 부분은 C 입니다.

165
00:09:15,025 --> 00:09:22,042
합쳐진 영역은 A + B 에서 서로 겹치고 있는 부분을 뺀 것입니다.

166
00:09:22,042 --> 00:09:24,002
즉 - C를 한 것이지요.

167
00:09:24,002 --> 00:09:25,073
이것으로 이쪽도 같은 결과가 되었습니다.

168
00:09:25,073 --> 00:09:28,008
우리는 하트의 잭을 포함한 모든 잭을 센 겁니다.

169
00:09:28,008 --> 00:09:31,012
그리고 우리는 잭의 하트도 포함한 모든 하트를 셌습니다.

170
00:09:31,012 --> 00:09:35,015
그러니까 하트의 잭을 두 번 센 것이지요. 
그러니까 그 중 한번은 뺄 필요가 있어요.

171
00:09:35,015 --> 00:09:37,663
그러니까 4 + 13 - 1.

172
00:09:37,663 --> 00:09:46,015
즉 16 / 52 입니다. 이 분자와 분모 모두를

173
00:09:46,015 --> 00:09:48,028
4로 나눌 수 있습니다.

174
00:09:48,028 --> 00:09:50,049
그러면 이렇게 되네요.

175
00:09:50,049 --> 00:09:55,098
16을 4로 나누면 4가 나와요. 52 나누기 4는 13이지요.

176
00:09:55,098 --> 00:10:01,477
바로 이것이, 4 / 13가 잭이나 하트가 나올 확률입니다.