WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:02.527
자, 카드를 이용한 확률를 조금 해봅시다.

00:00:02.527 --> 00:00:05.055
이 비디오에서 우리는 우리의 덱(deck)에

00:00:05.055 --> 00:00:07.057
조커가 들어 있지 않다고 가정할게요.

00:00:07.059 --> 00:00:09.027
여러분은 조커를 넣어도 같은 문제를 풀 수 있을 거에요,

00:00:09.030 --> 00:00:11.034
수들 간에 약간의 차이가 있을 테지만요.

00:00:11.034 --> 00:00:13.027
그럼 이 방식으로,

00:00:13.027 --> 00:00:15.007
우선 처음 이 트럼프에는

00:00:15.007 --> 00:00:17.862
얼마의 카드가 들어 있을까 생각해 봅시다.

00:00:17.862 --> 00:00:21.086
우선 4종류의 세트가 있습니다.

00:00:21.086 --> 00:00:25.518
스페이드, 다이아, 클로버,

00:00:25.518 --> 00:00:27.023
하트이지요.

00:00:27.023 --> 00:00:28.024
이 네 개의 세트를 가지고 있습니다.

00:00:28.024 --> 00:00:31.059
그리고 각각의 세트에는 13장의 다른 카드,

00:00:31.059 --> 00:00:34.010
때로는 랭크라고 불리고 있는 카드가 있습니다.

00:00:34.010 --> 00:00:44.057
그러니까 각각의 세트에는 13장의 카드가 있는 것입니다

00:00:44.057 --> 00:00:47.041
우선 에이스. 그리고 2, 3,

00:00:47.041 --> 00:00:52.073
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

00:00:52.073 --> 00:00:55.588
그리고 잭, 킹, 퀸이 있어요.

00:00:55.588 --> 00:00:57.518
이것이 13장의 카드입니다.

00:00:57.518 --> 00:01:03.083
그리고 각각 세트의 어떤 카드든 가질 수가 있어요.

00:01:03.096 --> 00:01:05.082
예를 들면, 다이아의 잭,

00:01:05.082 --> 00:01:08.660
클로버의 잭, 스페이드의 잭이나 하트의 잭 등입니다.

00:01:08.660 --> 00:01:10.475
그래서 이 두 개의 것을 곱한다면,

00:01:10.475 --> 00:01:12.762
실제의 카드 덱에서는

00:01:12.762 --> 00:01:14.062
각각 세고 다음에 조커를 덧붙이지만

00:01:14.062 --> 00:01:16.061
여기에서는 단순하게 곱합니다.

00:01:16.061 --> 00:01:18.096
4가지 세트에 각각 13장의 카드가 있습니다.

00:01:18.096 --> 00:01:21.073
즉, 4 x 13 의 카드.

00:01:21.073 --> 00:01:24.084
그러니까 일반적인 덱에서는 52장의 카드를 가지게 되겠지요.

00:01:24.084 --> 00:01:26.088
다른 방법으로 생각한다면

00:01:26.088 --> 00:01:28.044
여기에는 13장의 랭크나 종류의 카드가 있어서

00:01:28.044 --> 00:01:30.001
각각 4가지 세트가 있는 겁니다.

00:01:30.001 --> 00:01:33.065
13 x 4 = 52장의 카드를 얻게 되죠.

00:01:33.065 --> 00:01:37.273
이건 이 정도로 하고, 그럼 다른 사상의 확률에 대해서 생각해 봅시다.

00:01:37.273 --> 00:01:38.751
덱을 섞어 볼게요.

00:01:38.751 --> 00:01:40.369
하나 하나 잘 섞도록 합니다.

00:01:40.369 --> 00:01:43.033
그리고 저는 랜덤의 덱으로부터 한 장의 카드를 꺼낼 거에요.

00:01:43.033 --> 00:01:47.043
그리고 이 꺼낸 카드가 얼마의 확률에 의한 것인지를 알고 싶습니다.

00:01:47.043 --> 00:01:50.049
그럼 제가 잭을 꺼낼 확률은 어느 정도 일까요?

00:01:50.049 --> 00:01:53.072
얼마나 동일하게 일어날 수 있는 사상이 있는 거지요?

00:01:53.072 --> 00:01:57.036
이 52장의 카드로부터 어떤 카드든 꺼낼 수가 있습니다.

00:01:57.036 --> 00:02:00.059
즉 이 카드를 꺼내는 데에는 52개의 가능성이 있는 겁니다.

00:02:00.059 --> 00:02:04.050
거기로부터 잭을 꺼내는 것은 얼마의 가능성이 있을까요?

00:02:04.050 --> 00:02:07.070
스페이드의 잭, 다이아의 잭,

00:02:07.070 --> 00:02:10.033
클로버의 잭, 하트의 잭이 있습니다.

00:02:10.033 --> 00:02:12.026
즉 4장의 잭이 있습니다.

00:02:12.026 --> 00:02:14.013
덱에는 4장에 잭이 있는 거에요.

00:02:14.013 --> 00:02:17.094
즉 4 / 52. 모두 4로 약분 하면

00:02:17.094 --> 00:02:19.072
4 나누기 4는 1

00:02:19.072 --> 00:02:22.095
52 나누기 4는 13

00:02:22.727 --> 00:02:26.018
그럼 이제 다른 확률에 대해서 생각해 봅시다.

00:02:26.018 --> 00:02:29.041
아시다 시피, 다시 하기 위해서

00:02:29.041 --> 00:02:31.079
저는 이 잭을 덱에 넣고 다시 섞을 거에요.

00:02:31.079 --> 00:02:34.006
그러니까 다시 52장의 카드가 되는 것이지요.

00:02:34.006 --> 00:02:37.055
그럼 이제 하트를 집게 될 가능성은 어느 정도일까요?

00:02:37.055 --> 00:02:40.013
한 장의 카드를 랜덤하게 꺼냈을 때

00:02:40.013 --> 00:02:43.465
그것이 하트일 확률은? 그것이 하트의 세트일 경우는?

00:02:43.465 --> 00:02:47.076
그럼 다시, 여기에는 52장의 카드로부터 꺼내는,

00:02:47.076 --> 00:02:51.063
동일하게 일어날 수 있는 52 만큼의 가능성이 있습니다.

00:02:51.063 --> 00:02:55.041
그 중에서 얼마 만큼이 하트 일까요?

00:02:55.041 --> 00:02:58.027
기본적으로 이 안에는 13장이 하트 입니다.

00:02:58.027 --> 00:03:00.823
각각의 세트는 13장씩 있기 때문에 각각

00:03:00.823 --> 00:03:03.480
13장의 하트, 13장의 다이아,

00:03:03.480 --> 00:03:06.874
13장의 스페이드, 13장의 클로버가 덱에 있습니다.

00:03:06.874 --> 00:03:10.992
즉 13 / 52 가 하트가 되는 결과인 것이죠.

00:03:10.992 --> 00:03:14.868
각각의 분자와 분모는 13으로 나누어 떨어집니다.

00:03:14.868 --> 00:03:19.010
이것은 1 / 4과 같습니다. 4번 중에서 한번은,

00:03:19.010 --> 00:03:21.684
그러니까 1 / 4의 확률로 저는 하트를 꺼내는 것이지요.

00:03:21.684 --> 00:03:24.014
섞어놓은 덱으로부터 랜덤하게 카드를 꺼냈을 때의

00:03:24.014 --> 00:03:24.971
이야기 입니다.

00:03:25.111 --> 00:03:27.069
그럼 이제 좀 더 재미있는 것을 해봅시다.

00:03:27.069 --> 00:03:31.006
좀 헷갈릴 수도 있을 텐데요. 그럼 이 꺼낸 카드가

00:03:31.006 --> 00:03:41.644
잭이면서 하트일 확률은 얼마인가요?

00:03:41.644 --> 00:03:44.092
카드에 대해서 알고 있다면

00:03:44.092 --> 00:03:47.083
여기에는 잭의 하트가 1장만 있다는 것을 알고 계실 거에요.

00:03:47.083 --> 00:03:49.071
문자 그대로 하트의 잭입니다.

00:03:49.071 --> 00:03:51.066
즉, 고른 카드가 딱 잭의 하트일

00:03:51.066 --> 00:03:53.042
확률은 얼마지요? 라는 이야기 입니다.

00:03:53.042 --> 00:03:59.058
여기에는 오직 하나의 사상, 1장의 카드만이 조건에 맞네요.

00:03:59.058 --> 00:04:02.052
이 가능한 52장의 카드들 중에서 말이지요.

00:04:02.052 --> 00:04:05.559
즉, 1 / 52의 확률로 잭의 하트를 꺼낼 수가 있습니다.

00:04:05.575 --> 00:04:08.736
잭이면서 하트가 되는 경우인 것이죠.

00:04:08.903 --> 00:04:11.953
그럼 좀 더 재미있는 것도 해봅시다.

00:04:11.953 --> 00:04:15.077
그럼 얼마의 확률로, -- 여러분은 여기서 동영상을 멈추고

00:04:15.077 --> 00:04:18.010
제가 대답을 알려드리기 전에 좀 생각해 보실 수 있을 거에요 --

00:04:18.010 --> 00:04:25.094
그럼 다시 52장의 카드를 섞고 랜덤하게 한 장을 꺼냈을 때

00:04:25.094 --> 00:04:31.023
잭 아니면 하트일 확률은 얼마 일까요?

00:04:31.023 --> 00:04:35.061
즉 꺼낸 카드가 하트의 잭이거나, 다이아의 잭이거나,

00:04:35.061 --> 00:04:38.081
스페이드의 잭이거나, 혹은 하트의 퀸이거나

00:04:38.081 --> 00:04:41.036
아니면 하트의 2일 수도 있겠지요. 즉 그렇게 나올 확률은 얼마일까? 하는 문제입니다.

00:04:41.036 --> 00:04:44.041
그리고 이건 더 재미있는 건데요,

00:04:44.041 --> 00:04:50.022
우리는 52의 가능성이 있다는 것을 알고 있습니다.

00:04:50.022 --> 00:04:53.043
하지만 얼마만큼의 가능성이 조건에 맞는지

00:04:53.043 --> 00:04:56.072
그것이 잭일지 하트일지.

00:04:56.072 --> 00:05:00.000
그런 것들을 이해하기 위해서 벤 다이어그램을 한번 그려 볼게요.

00:05:00.000 --> 00:05:02.066
조금 생소한 이름일 수도 있겠지만 하나도 이상하지 않아요.

00:05:02.066 --> 00:05:05.045
그럼 여기서 제가 그린 사각형이 모든 결과의 집합이라고 상상해 주세요.

00:05:05.045 --> 00:05:08.072
즉 여기는 모든 52개의 가능한 영역이라고 생각할 수 있겠네요.

00:05:08.072 --> 00:05:14.011
이 52개의 일어날 수 있는 결과들 중에서

00:05:14.011 --> 00:05:16.556
얼마만큼의 수가 잭일까요?

00:05:16.556 --> 00:05:21.771
이미 아까 배웠습니다. 1 / 13이 잭이 나올 확률입니다.

00:05:21.771 --> 00:05:24.893
그래서 저는 여기에 작은 원을 그려 볼게요.

00:05:24.893 --> 00:05:26.541
그리고 이 영역은

00:05:26.541 --> 00:05:28.091
잭일 가능성을 나타냅니다.

00:05:28.091 --> 00:05:33.641
그러니까 대략적으로 이건 1 / 13 이거나 4 / 52 인 것입니다.

00:05:33.641 --> 00:05:37.030
그래서 저는 이렇게 그리도록 하겠습니다. 그러니까 여기는

00:05:37.030 --> 00:05:45.025
잭이 나올 확률입니다. 이건 4지요.

00:05:45.025 --> 00:05:53.090
여기에는 52장 중 4장의 카드가 
즉 4 / 52 이거나 1 / 13입니다.

00:05:53.090 --> 00:05:56.047
그럼 하트를 꺼낼 확률은 어떨까요?

00:05:56.047 --> 00:05:59.056
여기에 다른 원을 그릴게요.

00:05:59.056 --> 00:06:03.054
이것이 13 / 52, 즉 52장의 카드 안에서 13장이 하트인 것입니다.

00:06:03.054 --> 00:06:07.011
그리고 실제로는 그 중의 한 장이 하트이면서 잭이 될 수 있지요.

00:06:07.011 --> 00:06:10.728
그러니까 실제로 이 둘은 서로 겹치고 있는 부분이 있어요.

00:06:10.728 --> 00:06:12.808
이걸 이해할 수 있으시길 바랍니다,

00:06:12.808 --> 00:06:17.093
그러니까 여기에는 13장의 하트 카드가 있습니다.

00:06:17.093 --> 00:06:21.087
즉 여기가 하트인 수이지요.

00:06:21.087 --> 00:06:24.094
위에 있는 것도 저렇게 쓰지요.

00:06:24.094 --> 00:06:37.437
이제 좀 깨끗해 보이네요. 여기가 잭이 나오는 수,

00:06:37.437 --> 00:06:39.002
그리고 서로 겹치고 있는 여기가

00:06:39.002 --> 00:06:42.056
잭이면서 하트가 나올 수이지요.

00:06:42.063 --> 00:06:45.041
52장 중에 잭이면서 하트가 나올 수입니다.

00:06:45.041 --> 00:06:50.453
여기에 초록색 원이 있고 여기에는 주황색 원이 있습니다.

00:06:50.453 --> 00:06:53.062
그러니까 여기는 노랑색으로 그릴게요.

00:06:53.062 --> 00:06:55.096
문제를 노랑색으로 했으니까요.

00:06:55.096 --> 00:06:58.038
여기가 하트이면서 잭이 나올 수입니다.

00:06:58.038 --> 00:07:01.065
그리고 여기에 작은 화살표를 하나 그릴게요. 좀 흩어질 수 있게

00:07:01.065 --> 00:07:03.081
좀 크게 그릴게요.

00:07:03.081 --> 00:07:10.060
여기가 잭이면서 하트인 수입니다.

00:07:10.060 --> 00:07:13.448
여기는 서로 겹치고 있는 곳이지요.

00:07:13.448 --> 00:07:15.074
그럼 얼마가 잭이면서 하트가 될 확률일까요?

00:07:15.074 --> 00:07:19.071
이걸 생각할 때 사상의 총 가짓수 중에서

00:07:19.071 --> 00:07:23.043
조건에 맞아 떨어지는 사상의 수가 확률이겠지요.

00:07:23.043 --> 00:07:25.004
우리는 이미 사상의 총 가짓수는 52인 것을 알고 있습니다.

00:07:25.004 --> 00:07:26.083
하지만 조건에 맞는 수는 얼마나 있지요?

00:07:26.083 --> 00:07:29.044
그 수는, 여러분은 이렇게 말할 수 있을 겁니다 :

00:07:29.044 --> 00:07:34.255
봐봐, 이 초록색 원은 잭이 나올 수이고

00:07:34.255 --> 00:07:37.589
이 주황색 원은 하트가 나올 수야.

00:07:37.589 --> 00:07:43.000
하지만 단순하게 초록색과 주황색 원의 수를 더해서

00:07:43.000 --> 00:07:45.085
알아 내는 건 할 수 없습니다.

00:07:45.085 --> 00:07:48.150
그렇게 되면 겹치고 있는 부분들을 이중으로 세어 버리는 게 되니까요.

00:07:48.150 --> 00:07:52.070
만약 서로 더하게 되면, 단순하게 4 + 13이라고 하면 뭐라고 하는 거죠?

00:07:52.070 --> 00:07:57.039
여기에는 4장의 잭이 있고

00:07:57.039 --> 00:08:00.010
여기에는 13장의 하트가 있어요.

00:08:00.010 --> 00:08:03.077
하지만 양쪽 모두를 세니까

00:08:03.077 --> 00:08:06.042
하트의 잭도 세게 되겠지요.

00:08:06.042 --> 00:08:09.043
우리는 하트의 잭을 이쪽에, 그리고 또 이쪽에서 하트의 잭을,

00:08:09.043 --> 00:08:12.023
즉 우리는 하트의 잭을 2번씩이나 세 버립니다.

00:08:12.023 --> 00:08:17.008
실제로는 한 장 밖에 없어도 말이죠. 그러니까 우리는

00:08:17.008 --> 00:08:20.326
그 결과로부터 이중으로 센 부분을 뺄 필요가 있습니다.

00:08:20.346 --> 00:08:23.056
여러분은 하트이면서 잭인 부분을 결과에서 제외시킬 필요가 있는 것이지요.

00:08:23.056 --> 00:08:25.017
그럼 이 한 장을 뺀다고 합시다.

00:08:25.017 --> 00:08:26.075
다른 방법으로는

00:08:26.075 --> 00:08:33.865
여기 있는 모든 합계의 부분을 세는 것이지요.

00:08:33.865 --> 00:08:36.060
좀 확대시켜 볼게요. 이걸 다시 그려보겠습니다.

00:08:36.060 --> 00:08:38.076
하나의 원이 이쪽에 있고,

00:08:38.076 --> 00:08:42.492
다른 서로 겹치고 있는 원도 이쪽에 있습니다.

00:08:42.492 --> 00:08:46.069
이 더한 부분을 계산하고 싶어요.

00:08:46.069 --> 00:08:53.011
여러분은 이쪽 원의 부분을 보고 또 이쪽 원의 부분을 서로 더합니다.

00:08:53.011 --> 00:08:56.693
하지만 그렇게 되면 두 개의 영역을 서로 더했을 때

00:08:56.693 --> 00:08:59.016
이 부분을 두 번씩 세게 됩니다.

00:08:59.016 --> 00:09:01.329
한 번만 세도록 하기 위해서 더한 것으로부터

00:09:01.329 --> 00:09:04.045
이 부분을 빼야 할 필요가 있습니다.

00:09:04.045 --> 00:09:10.565
이 영역, 이쪽을 A라고 말한다면 이쪽은 B라고 할게요.

00:09:10.565 --> 00:09:15.025
그리고 겹치는 부분은 C 입니다.

00:09:15.025 --> 00:09:22.042
합쳐진 영역은 A + B 에서 서로 겹치고 있는 부분을 뺀 것입니다.

00:09:22.042 --> 00:09:24.002
즉 - C를 한 것이지요.

00:09:24.002 --> 00:09:25.073
이것으로 이쪽도 같은 결과가 되었습니다.

00:09:25.073 --> 00:09:28.008
우리는 하트의 잭을 포함한 모든 잭을 센 겁니다.

00:09:28.008 --> 00:09:31.012
그리고 우리는 잭의 하트도 포함한 모든 하트를 셌습니다.

00:09:31.012 --> 00:09:35.015
그러니까 하트의 잭을 두 번 센 것이지요. 
그러니까 그 중 한번은 뺄 필요가 있어요.

00:09:35.015 --> 00:09:37.663
그러니까 4 + 13 - 1.

00:09:37.663 --> 00:09:46.015
즉 16 / 52 입니다. 이 분자와 분모 모두를

00:09:46.015 --> 00:09:48.028
4로 나눌 수 있습니다.

00:09:48.028 --> 00:09:50.049
그러면 이렇게 되네요.

00:09:50.049 --> 00:09:55.098
16을 4로 나누면 4가 나와요. 52 나누기 4는 13이지요.

00:09:55.098 --> 00:10:01.477
바로 이것이, 4 / 13가 잭이나 하트가 나올 확률입니다.