Laten we wat kansberekening gaan doen met kaarten
We nemen aan
dan ons spel kaarten geen jokers heeft
We zouden het ook kunnen doen met jokers
en dan krijg je net wat andere getallen
Dus nu we dat hebben gezegd
Laten we bedenken
Hoeveel kaarten zitten er in een standaard kaartspel?
Er zijn vier kleuren.
En de kleuren zijn: Schoppen, ruiten, klaveren
en harten
Er zijn dus vier kleuren.
En in elke kleur zijn er dertien verschillende
kaarten, of waarden.
Dus elke kleur heeft dertien kaarten.
Je hebt de aas, en zijn zijn er de twee, drie
vier, vijf, zes, zeven, acht, negen, tien
en dan nog de boer, vrouw en heer.
En dat zijn dertien kaarten.
Dus voor elke kleur heb je
al deze kaarten, en al deze kaarten zijn er in de vier kleuren.
Dus er is een ruitenboer, een klaverenboer,
een schoppenboer en een hartenboer
Je kunt deze getallen vermenigvuldigen
of je kunt een kaartspel pakken en de kaarten tellen
en als je jokers zou gebruiken tel je deze erbij op
maar als je vermenigvuldigt, heb je dus vier kleuren
en per kleur dertien kaarten
dus je hebt 4 maal 13 kaarten
oftewel 52 kaarten in een standaard kaartspel
Je zou ook kunnen zeggen er zijn dertien soorten kaarten
.
en elke soort kaart is er in vier kleuren
en 13 maal 4 kaarten is ook 52 kaarten.
Laten we nu denken over de waarschijnlijkheden
.
van verschillende gebeurtenissen. Als ik bijvoorbeeld het kaartspel schud
.
En vervolgend pak ik zomaar een kaart uit het spel
En ik wil weten wat de kans is dat ik
een boer pak.
Hoeveel gebeurtenissen met een gelijke waarschijnlijkheid zijn er?
Ik kan elke kaart uit de 52 kaarten pakken dus
er zijn 52 mogelijkheden
en hoeveel van die mogelijkheden zijn boeren?
Er is de schoppenboer, ruitenboer,
klaverenboer en hartenboer
dus er zijn vier boeren
in het kaartspel
dus het is 4 gedeeld door 52. Deze getallen zijn allebei deelbaar door vier
4 gedeeld door 4 is 1
52 gedeeld door vier is 13
Dus als we nu denken aan
kansen. Als we opnieuw zouden beginnen
Stop ik de kaart terug en schud het spel opnieuw
dus ik heb weer 52 kaarten
Wat is nu de kans dat ik een harten pak?
Wat is de kans dat als ik zomaar een kaart uit het spel pak
dat het een harten is.
Ook nu weer zijn er 52 mogelijke kaarten
met allemaal dezelfde kans om gepakt te worden
en hoeveel hiervan zijn harten?
13 kaarten zijn harten.
Één van elke soort kaart
net zoals er dertien ruiten in het kaartspel zijn
en dertien schoppen en dertien klaveren
dus 13 van de 52 kaarten is een hartenkaart
allebei deze getallen zijn deelbaar door dertien
en dit is hetzelfde als eenvierde. Eens per vier keer zal ik een harten pakken
en ik heb eenvierde kans om een harten te pakken
als ik zomaar een kaart pak
uit dit geschudde kaartspel
Laten we het nu iets interessanter maken
wat is de kans
dat ik een hartenboer pak?
Als je wel eens een kaartspel hebt gezien weet je dat
er maar één kaart is die een boer is en ook een harten
en dat is dus de hartenboer
dus wat we willen weten is de kans dat we precies
die hartenboer pakken
er is maar 1 gebeurtenis, maar één kaart die voldoet
en er zijn 52 mogelijkheden
dus er is een kans van 1 op 52 dat ik de hartenboer pak
.
Laten we het weer iets interessanter maken
wat is de kans. Als je wil pauzeer dat even en denk erover na
voordat ik het antwoord geef. Wat is de
kans dat ik uit een geschud kaartspel van 52 kaarten
zomaar een kaart pak en
dat deze kaart een harten is OF een boer
dus het kan de hartenboer zijn, maar ook de ruitenboer,
de schoppenboer of de hartenvrouw
of de hartentwee. Wat is de kans hiervan?
Dit is wat interessanter, want
we weten dan er 52 mogelijkheden zijn
maar hoeveel hiervan voldoen aan onze eisen?
dat het een boer of een harten moet zijn
Om dit te begrijpen zal ik een Venn diagram tekenen
dat klinkt als heel wat, maar dat valt best mee
Stel je voor dat deze rechthoek
alle uitkomsten voorstelt. Je kunt je dus voorstellen
dat het een oppervlakte van 52 heeft, voor de 52 mogelijke uitkomsten.
Hoeveel van deze uitkomsten zal een boer zijn?
Dat weten we al, 1 op de 13 van deze uitkomsten
is een boer, dus ik kan een kleine cirkel tekenen met dat oppervlak
en ik doe het ongeveer
dit stelt de kans op een boer voor
dus dat zou ongeveer 1/13 of 4/52 moeten zijn van het oppervlak
hier. Dus is teken het zo. Dit hier
is de kans op een boer. Het is 4 want er zijn 4 mogelijke
kaarten uit 52. Dus dat is 4/52 or 1/13.
Wat is nu de kans op een harten?
Hiervoor kan ik nog een cirkel tekenen, die staat voor
13 op de 52, want 13 van de 52 kaarten zijn een harten.
en één daarvan is zowel een harten als een boer
dus de cirkel liggen over elkaar heen en hopelijk begrijp je
zodadelijk waarom
Er zijn dus dertien kaarten die harten zijn
dus dit is het aantal harten
en is schrijf dit ook op die manier op
dat maakt het wat duidelijker. We kijken dus naar --ik haal dat even weg
-- het aantal boeren. En de plek waar de cirkels over elkaar heen liggen
hierzo is het aantal hartenboeren. Het aantal kaarten
uit ons kaartspel dat zowel een harten is als een boer.
dat zit in beiden sets, in deze groene cirkel en in
deze oranje cirkel. Dus dit hier, dat doe ik in geel
omdat ik het probleem in geel deed
Did hier is het aantal hartenboeren
Ik teken er een pijltje naartoe want het wordt een beetje druk
Ik teken het wat groter
Het aantal hartenboeren
en dat is een overlap. Dus wat is de kans
om een hartenboer te krijgen?
De kans is het aantal
mogelijkheden om aan deze eis te voldoen gedeeld door het aantal mogelijkheden
En we weten al dat het aantal mogelijheden 52 is
maar hoeveel mogelijkheden voldoen aan de eisen?
Dat is dus het aantal, het is
je zou kunnen zeggen, kijk, de groene cirkel hier geeft het aantal
boeren aan en de oranje cirkel geeft het aantal
harten aan. Dus misschien wil je zeggen
waarom tellen we niet de groene en de oranje cirkel bij elkaar op
maar als je dat doen, dat tel je dubbel
want als je ze bij elkaar optelt, vier plus dertien
wat zeggen we dan?
Dan zeggen we dat er vier boeren zijn en
dertien harten
Maar als we het zo doen, dan zit in allebei
de hartenboer
We tellen de hartenboer hier en we tellen de hartenboer hier
Dus we tellen de hartenboer twee keer, terwijl er maar één
hartenboer is. Je moet er dus van afhalen waar ze gemeen zijn
Je moet dat wat zowel een harten als een boer is er weer van aftrekken
.
Dus je haalt er één vanaf.
Je kunt er ook zo over denken
Je wilt eigenlijk weten wat het totale oppervlak hier is
Ik zoom er op. Ik generaliseer het een beetje.
Als je dus een cirkel zo hebt, en nog een cirkel die
overlapt. En je wil het totale oppervlak weten
van de cirkels. Dan kijk je naar het oppervlak
van deze cirkel, en dan tel je het oppervlak van deze cirkel erbij op
Maar als je dat doet. Zie je dat
je dit stukje twee keer telt.
Dus om te zorgen dat je dat stukje maar één keer telt, moet je
dat stukje van het totaal aftrekken
Als dit oppervlak A is, en dit oppervlak is B
En waar ze overlappen is C
Dan is het totale oppervlak A plus B min de overlap.
Dus min C.
Dat is dus hetzelfde als hier
We tellen alle boeren en daar zit ook de hartenboer bij
en dan tellen we alle harten en daar zit ook de hartenboer bij
dus we hebben de hartenboer tweemaal geteld, en we moeten er een aftrekken
dat wordt dus 4 + 13 - 1
En dat wordt 16/52. En deze getallen zijn deelbaar
door vier
Dit is dus hetzelde als
16 gedeeld door 4 is 4. En 52 gedeeld door 4 is
13.
Dus er is een 4/13 kans dat je een hartenboer pakt.