Laten we wat kansberekening gaan doen met kaarten We nemen aan dan ons spel kaarten geen jokers heeft We zouden het ook kunnen doen met jokers en dan krijg je net wat andere getallen Dus nu we dat hebben gezegd Laten we bedenken Hoeveel kaarten zitten er in een standaard kaartspel? Er zijn vier kleuren. En de kleuren zijn: Schoppen, ruiten, klaveren en harten Er zijn dus vier kleuren. En in elke kleur zijn er dertien verschillende kaarten, of waarden. Dus elke kleur heeft dertien kaarten. Je hebt de aas, en zijn zijn er de twee, drie vier, vijf, zes, zeven, acht, negen, tien en dan nog de boer, vrouw en heer. En dat zijn dertien kaarten. Dus voor elke kleur heb je al deze kaarten, en al deze kaarten zijn er in de vier kleuren. Dus er is een ruitenboer, een klaverenboer, een schoppenboer en een hartenboer Je kunt deze getallen vermenigvuldigen of je kunt een kaartspel pakken en de kaarten tellen en als je jokers zou gebruiken tel je deze erbij op maar als je vermenigvuldigt, heb je dus vier kleuren en per kleur dertien kaarten dus je hebt 4 maal 13 kaarten oftewel 52 kaarten in een standaard kaartspel Je zou ook kunnen zeggen er zijn dertien soorten kaarten . en elke soort kaart is er in vier kleuren en 13 maal 4 kaarten is ook 52 kaarten. Laten we nu denken over de waarschijnlijkheden . van verschillende gebeurtenissen. Als ik bijvoorbeeld het kaartspel schud . En vervolgend pak ik zomaar een kaart uit het spel En ik wil weten wat de kans is dat ik een boer pak. Hoeveel gebeurtenissen met een gelijke waarschijnlijkheid zijn er? Ik kan elke kaart uit de 52 kaarten pakken dus er zijn 52 mogelijkheden en hoeveel van die mogelijkheden zijn boeren? Er is de schoppenboer, ruitenboer, klaverenboer en hartenboer dus er zijn vier boeren in het kaartspel dus het is 4 gedeeld door 52. Deze getallen zijn allebei deelbaar door vier 4 gedeeld door 4 is 1 52 gedeeld door vier is 13 Dus als we nu denken aan kansen. Als we opnieuw zouden beginnen Stop ik de kaart terug en schud het spel opnieuw dus ik heb weer 52 kaarten Wat is nu de kans dat ik een harten pak? Wat is de kans dat als ik zomaar een kaart uit het spel pak dat het een harten is. Ook nu weer zijn er 52 mogelijke kaarten met allemaal dezelfde kans om gepakt te worden en hoeveel hiervan zijn harten? 13 kaarten zijn harten. Één van elke soort kaart net zoals er dertien ruiten in het kaartspel zijn en dertien schoppen en dertien klaveren dus 13 van de 52 kaarten is een hartenkaart allebei deze getallen zijn deelbaar door dertien en dit is hetzelfde als eenvierde. Eens per vier keer zal ik een harten pakken en ik heb eenvierde kans om een harten te pakken als ik zomaar een kaart pak uit dit geschudde kaartspel Laten we het nu iets interessanter maken wat is de kans dat ik een hartenboer pak? Als je wel eens een kaartspel hebt gezien weet je dat er maar één kaart is die een boer is en ook een harten en dat is dus de hartenboer dus wat we willen weten is de kans dat we precies die hartenboer pakken er is maar 1 gebeurtenis, maar één kaart die voldoet en er zijn 52 mogelijkheden dus er is een kans van 1 op 52 dat ik de hartenboer pak . Laten we het weer iets interessanter maken wat is de kans. Als je wil pauzeer dat even en denk erover na voordat ik het antwoord geef. Wat is de kans dat ik uit een geschud kaartspel van 52 kaarten zomaar een kaart pak en dat deze kaart een harten is OF een boer dus het kan de hartenboer zijn, maar ook de ruitenboer, de schoppenboer of de hartenvrouw of de hartentwee. Wat is de kans hiervan? Dit is wat interessanter, want we weten dan er 52 mogelijkheden zijn maar hoeveel hiervan voldoen aan onze eisen? dat het een boer of een harten moet zijn Om dit te begrijpen zal ik een Venn diagram tekenen dat klinkt als heel wat, maar dat valt best mee Stel je voor dat deze rechthoek alle uitkomsten voorstelt. Je kunt je dus voorstellen dat het een oppervlakte van 52 heeft, voor de 52 mogelijke uitkomsten. Hoeveel van deze uitkomsten zal een boer zijn? Dat weten we al, 1 op de 13 van deze uitkomsten is een boer, dus ik kan een kleine cirkel tekenen met dat oppervlak en ik doe het ongeveer dit stelt de kans op een boer voor dus dat zou ongeveer 1/13 of 4/52 moeten zijn van het oppervlak hier. Dus is teken het zo. Dit hier is de kans op een boer. Het is 4 want er zijn 4 mogelijke kaarten uit 52. Dus dat is 4/52 or 1/13. Wat is nu de kans op een harten? Hiervoor kan ik nog een cirkel tekenen, die staat voor 13 op de 52, want 13 van de 52 kaarten zijn een harten. en één daarvan is zowel een harten als een boer dus de cirkel liggen over elkaar heen en hopelijk begrijp je zodadelijk waarom Er zijn dus dertien kaarten die harten zijn dus dit is het aantal harten en is schrijf dit ook op die manier op dat maakt het wat duidelijker. We kijken dus naar --ik haal dat even weg -- het aantal boeren. En de plek waar de cirkels over elkaar heen liggen hierzo is het aantal hartenboeren. Het aantal kaarten uit ons kaartspel dat zowel een harten is als een boer. dat zit in beiden sets, in deze groene cirkel en in deze oranje cirkel. Dus dit hier, dat doe ik in geel omdat ik het probleem in geel deed Did hier is het aantal hartenboeren Ik teken er een pijltje naartoe want het wordt een beetje druk Ik teken het wat groter Het aantal hartenboeren en dat is een overlap. Dus wat is de kans om een hartenboer te krijgen? De kans is het aantal mogelijkheden om aan deze eis te voldoen gedeeld door het aantal mogelijkheden En we weten al dat het aantal mogelijheden 52 is maar hoeveel mogelijkheden voldoen aan de eisen? Dat is dus het aantal, het is je zou kunnen zeggen, kijk, de groene cirkel hier geeft het aantal boeren aan en de oranje cirkel geeft het aantal harten aan. Dus misschien wil je zeggen waarom tellen we niet de groene en de oranje cirkel bij elkaar op maar als je dat doen, dat tel je dubbel want als je ze bij elkaar optelt, vier plus dertien wat zeggen we dan? Dan zeggen we dat er vier boeren zijn en dertien harten Maar als we het zo doen, dan zit in allebei de hartenboer We tellen de hartenboer hier en we tellen de hartenboer hier Dus we tellen de hartenboer twee keer, terwijl er maar één hartenboer is. Je moet er dus van afhalen waar ze gemeen zijn Je moet dat wat zowel een harten als een boer is er weer van aftrekken . Dus je haalt er één vanaf. Je kunt er ook zo over denken Je wilt eigenlijk weten wat het totale oppervlak hier is Ik zoom er op. Ik generaliseer het een beetje. Als je dus een cirkel zo hebt, en nog een cirkel die overlapt. En je wil het totale oppervlak weten van de cirkels. Dan kijk je naar het oppervlak van deze cirkel, en dan tel je het oppervlak van deze cirkel erbij op Maar als je dat doet. Zie je dat je dit stukje twee keer telt. Dus om te zorgen dat je dat stukje maar één keer telt, moet je dat stukje van het totaal aftrekken Als dit oppervlak A is, en dit oppervlak is B En waar ze overlappen is C Dan is het totale oppervlak A plus B min de overlap. Dus min C. Dat is dus hetzelfde als hier We tellen alle boeren en daar zit ook de hartenboer bij en dan tellen we alle harten en daar zit ook de hartenboer bij dus we hebben de hartenboer tweemaal geteld, en we moeten er een aftrekken dat wordt dus 4 + 13 - 1 En dat wordt 16/52. En deze getallen zijn deelbaar door vier Dit is dus hetzelde als 16 gedeeld door 4 is 4. En 52 gedeeld door 4 is 13. Dus er is een 4/13 kans dat je een hartenboer pakt.