Zajmijmy się teraz prawdopodobieństwiem korzystając z kart do gry.
Na potrzeby tego filmu zakładamy,
że nasza talia nie zawiera żadnych jokerów.
Możesz zajmować się tymi samymi problemami biorąc pod uwagę jokery,
otrzymasz tylko nieco inne wyniki.
Mając to z głowy
pomyślmy najpierw
ile kart mamy w standarowej talii do gry?
Macie więc cztery kolory
i te kolory to: pik, karo, trefl
i kier.
Macie cztery kolory
i w każdym z tych trzech kolorów macie trzynaście różnych
typów kart, zwanych również figurami.
Każdy kolor ma trzynaście różnych typów kart.
Macie asa, dwójkę, trójkę
czwórkę, piątkę, szóstkę, siódemkę, ósemkę, dziewiątkę, dziesiątkę
później macie waleta, króla i damę.
Daje to trzynaście kart.
Dla każdego koloru możecie mieć dowolną z tych
kart, dla każdego typu kart możecie mieć dowolny kolor.
A więc możecie mieć waleta karo, waleta trefl,
waleta wino i waleta kier.
Wystarczy, więc pomnożyć te dwie rzeczy,
moglibyście wziąć talię kart i najzwyczajniej
je policzyć, wyciągnąć z talii jokery policzyć karty.
Ale wystarczy pomnożyć, macie cztery kolory
i każdy z tych kolorów ma trzynaście typów
co da nam 13 razy 4 kart
inaczej mówiąc, będziecie mieć 52 karty w standardowej talii.
Można to powiedzieć inaczej: popatrzcie jest trzynaście
figur lub typów i każdy z nich występuje w czterech różnych
kolorach, 13 razy 4 i znów otrzymaliście 52 karty.
Teraz, pomyślmy o prawdopodobieństwach
różnych zdarzeń. Powiedzmy, że przetasowałem talię, przetasowałem ją
naprawdę porządnie. I teraz losowo wybieram jedną kartęz tej talii.
I chcę wiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo, że wybiorę
jakie jest prawdopodobieństwo, ze wybiorę waleta?
Cóż, ile jest różnych równie prawdopodobnych zdarzeń?
Cóż, skoro mogę wybrać jedną z tych 52 kart, istnieje
52 możliwości podczas wybierania karty.
I ile z tych możliwości stanowią walety?
Cóż, mamy waleta wino, waleta karo,
waleta trefl i waleta kier.
Cztery walety.
W talii znajdują się cztery walety.
Będzie więc 4 nad 52, obie liczby są podzielne przez cztery
Cztery podzielone przez cztery daje jeden
52 podzielone przez 4 daje 13.
Teraz pomyślmy o
prawdopodobieństwie... to teraz zaczniemy od początku
Włożę waleta z powrotem i jeszcze raz przetasuję talię.
Znów mamy 52 karty.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że dostanę kiera?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągnąłem losową kartę
z przetasowanej talii i że jest to kier? Kolor tej karty to kier?
Cóż, znowu mamy 52 możliwych kart spośród których mogę wybierać
52 możliwych, równie prawdopodobnych zdarzenia z którymi mamy do czynienia
Ile z nich ma nasze kiery?
W zasadzie trzynaście z nich jest kierami. Na każdy
z koloroów przypada trzynaście typów kart, więc musi być trzynaście
kierów w tej talii, trzynaście kar,
trzynaście win oraz trzynaście trefli.
A więc 13 z 52 będzie dawało nam kiery.
Obie te liczby są podzielne przez 13 i jest to ta sama
rzecz co jedna czwarta. Raz na cztery razy wyciągnę kartę
lub mam jedną czwartą prawdopodobieństwa otrzymania kiera
kiedy spróbuję, losowo wybrać kartę
z przetasowanej talii.
Zajmijmy się teraz nieco bardziej interesującymi rzeczami
może jest to nieco oczywiste, ale jakie jest prawdopdobieństwo
że wyciągne z coś z talii i będzie to zarówno walet jak i kier?
Cóż, jeżeli znacie się chociaż trochę na kartach to wiecie
że istnieje tylko jedna karta, która jest zarówno waletem jak i kierem.
Jest to po prostu walet kier.
W zasadzie pytamy się jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wybraliśmy dokładnie kartę
walet kier.
Cóż, istnieje tylko jedno zdarzenie, tylko jedna karta która spełnia wymagania podane
tutaj i istnieje 52 możliwych do wybrania karta.
Istnieje więc szansa 1 na 52, że wybiorę waleta kier.
Coś co jest zarówno waletem jak i kierem.
Zajmijmy się teraz czymś troche bardziej interesującym.
Jakie jest prawdopodobieństwo, możesz chcieć zapauzować i pomyśleć
trochę o tym chwilę zanim podam Ci właściwą odpowiedź, jakie jest
prawdopodobieństwo ... znów mam talię złożoną z 52 kart, tasuję ją
i losowo wybieram kartę z tej talii, jakie jest prawdopodobieństwo, że
karta którą wybrałem jest waletem lub kierem?
A więc może to być walet kier, walet karo
albo może to być walet wino, lub może to być dama kier
albo dwójka kier. Jakie jest prawdopodobieństwo tego zdarzenia?
I jest to nieco bardziej interesująca rzecz, ponieważ...
Po pierwsze, wiemy że mamy 52 możliwości
ale ile z tych możliwości spełnia kryteria
kryteria bycia waletem lub kierem?
Po to by to zrozumieć, narysuję diagram Venna.
Może brzmieć nieco strasznie, ale nie ma się czego bać.
Wyobraźcie sobie, że ten prostokąt, który tutaj rysuję przedstawia
wszystkie możliwe wyniki. Jeśli chcesz możesz wyobrazić sobie, że ma
pole powierzchni 52. A więc to jest 52 możliwych wyników, teraz ile z nich
skutkuje wybraniem waleta?
O tym już wiemy, jedna trzynasta z tych wyników da nam
waleta. Mogę więc narysować tutaj mały okrąg o tym polu
przybliżając
reprezentuje to prawdopodobieństwo waleta.
Powinno to być mniej wiecej 1/13 lub 4/52 tej oto
powierzchni. Narysuję to w ten sposób. A więc to reprezentuje
prawdopodobieństwo waleta. Wynosi ono cztery, są to cztery
karty spośród 52. A więc 4/52 lub 1/13.
Teraz jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania kiera?
Cóż, narysujmy tutaj inny okrąg, który będzie to reprezentował.
13 z 52, 13 z tych 52 kart to kiery.
I jedna z nich reprezentuje zarówno kiera jak i waleta.
A więc narysuję je przecinające się się i mam nadzieję, że będzie to zrozumiałe
za chwilę.
Mamy więc trzynaście kart, które są kierami.
To jest liczba kierów.
Pozwólcie, że przepiszę to na górze w ten sam sposób.
Będzie trochę bardziej przejrzyście, w zasadzie patrzymy na -- wyczyść to
-- ilość waletów. I oczywiście te dwa się przecinają
właśnie tutaj znajduje się liczba waletów, które są również kierami. Liczba
kart spośród 52 które są zarówno waletem jak i kierem.
Ten fragment znajduje się w obu zbiorach, tutaj w zielonym okręgu i tutaj w
tym pomarańczowym okregu. Zaznaczę to na żółto
ponieważ żołtego używałem do zapisania tego problemu.
Ta tutaj liczba to liczba waletów i kierów.
pozwólcie, ze narysuję tutaj małą strzałkę. Zaczyna się robić mały bałagan.
Powinienem narysować trochę większy rysunek.
Liczba waletów i kierów.
I to jest właśnie to przecięcie tutaj, więc jakie jest prawdopodobieństwo
uzyskania waleta lub kiera?
Jeżeli się nad tym zastanowić, to prawdopodobieństwem będzie liczba
zdarzeń, które spełniają te warunki podzielone przez całkowitą liczbę zdarzeń.
No tak, wiemy już że całkowita liczba zdarzeń wynosi 52.
Ale ile z nich spełnia wymagania?
Będzie to liczba, będzie to...
moglibyście powiedzieć: cóż, wystarczy popatrzyć na zielony okrąg i jest tam liczba
która mówi nam ile mamy waletów i popatrzyć na pomarańczowy okrąg, który mówi nam jaka jest liczba kierów.
Możecie teraz powiedzieć:
Czemu po prostu nie dodać zielonego i pomarańczowego?
Ale jeśliby tak zrobić, to liczylibyście podwójnie.
Jeżeli dodasz to do siebie, jeżeli dodać cztery do trzynastu
to co tym samym mówimy?
Mówimy, że są cztery walety i mówimy
że jest trzynaście kierów.
Ale w obu zbiorach, robiąc to w ten sposób
w obu przypadkach liczymy waleta kier.
Wrzucamy tutaj waleta kier i tutaj również wrzucamy waleta kier.
Tak więc liczymy waleta kier podwójnie, pomimo tego że mamy tylko
jedną taką kartę. Musicie więc odjąć część wspólną tych dwóch.
Musicie odjąć to co jest zarówno waletem
jak i kierem.
Musicie więc odjąć jeden.
Inny sposób patrzenia.
Tak naprawdę chcecie znać całkowitą powierzchnię tego tutaj obszaru.
Pozwólcie, że przybliżę ekran i uogólnię to nieco.
Macie więc jeden okrąg taki jak ten i zaraz obok macie drugi
przecinający się z nim okrąg. Chcecie poznać całkowitą powierzchnię
tych dwóch połączonych okręgów. Popatrzcie na powierzchnię
tego okręgu i dodajcie do niej powierzchnię tego okręgu.
Ale jeśli to zrobicie, zauważycie, że dodaodając do siebie dwie powierzchnie
policzyliście tą powierzchnię dwa razy.
Chcąc policzyć tą powierzchnię tylko raz, musicie odjąć
tą powierzchnię od sumy.
Więc jeżeli ta powierzchnie, jeżeli ta, jeżeli tą powierzchnię oznaczymy jako A, tą powierzchnię jako B
A przecięcie, tam gdzie się na siebie nakładają C.
Połączona powierzchnia będzie równa A plus B minus to gdzie się na siebie nakładają
minus C.
Dokładnie o to samo chodzi tutaj.
Liczymy wszystkie walety łacznie z waletem kier.
Liczymy wszystkie kiery łącznie z waletem kier.
Więc policzyliśmy waleta kier dwukrotnie, będziemy musieli więc jednego odjąć od całości.
Będzie to więc 4 + 13 - 1.
Innymi słowy będzie to 16/52. Obie liczby są podzielne
przez cztery.
Będzie więc odpowiadało temu,
że jeżeli podzielę szesnaść przez cztery dostaniemy cztery i jeżeli podzielę 52 przez cztery otrzymam
trzynaście.
Oto nasz wyniki, istnieje 4/13 szansy na to że wyciągniemy waleta lub kiera.