1
00:00:00,103 --> 00:00:03,023
Привет. Давайте немного порешаем задачи на вероятность, используя игральные карты.

2
00:00:03,103 --> 00:00:06,770
И для этого мы предположим, что в колоде нет джокера.

3
00:00:06,930 --> 00:00:09,487
Вы могли бы решить такие же задачи и с джокером в колоде,

4
00:00:09,637 --> 00:00:11,773
тогда бы просто ответы немного отличались.

5
00:00:11,923 --> 00:00:13,973
Давайте сперва подумаем

6
00:00:14,083 --> 00:00:18,103
сколько карт в обычной игральной колоде?

7
00:00:18,293 --> 00:00:21,183
Итак, есть 4 масти…

8
00:00:21,203 --> 00:00:27,130
4 масти… Это пики, бубны, трефы и черви.

9
00:00:27,160 --> 00:00:31,972
И у каждой масти по 13 разных типов карт

10
00:00:31,992 --> 00:00:34,834
иногда это называется ранг

11
00:00:34,834 --> 00:00:44,117
Итак, каждая масть имеет 13 разных типов карт:

12
00:00:44,117 --> 00:00:48,678
это туз, затем 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

13
00:00:48,678 --> 00:00:53,239
валет, король, дама.

14
00:00:53,239 --> 00:00:57,800
Вот эти 13 карт.

15
00:00:57,800 --> 00:01:04,533
И для каждой из них также есть своя масть.

16
00:01:04,533 --> 00:01:09,733
Например, у вас может быть пиковый валет, бубновый валет, трефовый или червонный валет.

17
00:01:09,733 --> 00:01:11,467
И если вы все это перемножите…

18
00:01:11,467 --> 00:01:14,200
Собственно, вы можете взять колоду карт и посчитать их,

19
00:01:14,200 --> 00:01:15,800
выкинув джокера из колоды, но если перемножить…

20
00:01:15,800 --> 00:01:19,467
У вас есть 4 масти, каждая масть имеет по 13 карт.

21
00:01:19,467 --> 00:01:25,144
Поэтому 4*13 = 52 - и это общее количество карт в колоде.

22
00:01:25,144 --> 00:01:26,800
По-другому можно было и так вычислить:

23
00:01:26,800 --> 00:01:30,267
есть 13 разных типов карт, и каждая из них может иметь 4 масти,

24
00:01:30,267 --> 00:01:34,467
поэтому общее количество карт равно 13*4,

25
00:01:34,467 --> 00:01:35,933
и, опять же, получается 52 карты.

26
00:01:35,933 --> 00:01:37,667
А теперь давайте подумаем о вероятности некоторых событий.

27
00:01:37,667 --> 00:01:40,400
Предположим, что я тасую колоду, и тасую очень-очень хорошо,

28
00:01:40,400 --> 00:01:44,179
а затем наугад вытаскиваю из нее карту.

29
00:01:44,179 --> 00:01:50,533
И я хочу подумать: какова вероятность того, что вытащу валета?

30
00:01:50,533 --> 00:01:53,933
Итак, сколько в этом случае равновероятных событий?

31
00:01:53,933 --> 00:02:00,790
Я мог бы вытащить любую из 52 карт, потому для этого случая 52 возможности.

32
00:02:00,790 --> 00:02:04,829
А сколько из этих 52 возможностей – валеты?

33
00:02:04,829 --> 00:02:11,933
Ну, есть пиковый валет, бубновый валет, трефовый и червонный валет, поэтому всего 4 валета.

34
00:02:11,933 --> 00:02:14,200
4 валета в колоде.

35
00:02:14,200 --> 00:02:16,667
Итак, вероятность равна 4/52.

36
00:02:16,667 --> 00:02:23,067
Числитель и знаменатель делятся на 4 - можно разделить, тогда получится 1/13.

37
00:02:23,067 --> 00:02:27,200
А теперь давайте подумаем о вероятности…

38
00:02:27,200 --> 00:02:30,667
Ну, мы начинаем сначала.

39
00:02:30,667 --> 00:02:32,467
Я ложу вольта обратно в колоду, снова тасую колоду.

40
00:02:32,467 --> 00:02:34,200
И опять же - у меня всего 52 карты.

41
00:02:34,200 --> 00:02:38,067
Итак, какова вероятность того, что я вытащу карту червовой масти?

42
00:02:38,067 --> 00:02:40,800
Какова вероятность того, что я наугад вытаскиваю карту

43
00:02:40,800 --> 00:02:44,687
из перетасованной колоды и получаю карту червовой масти?

44
00:02:44,687 --> 00:02:48,267
И опять же – всего есть 52 карты, из которых я мог бы выбрать

45
00:02:48,267 --> 00:02:52,190
(52 возможных, равновероятных события, с которыми мы имеем дело).

46
00:02:52,190 --> 00:02:54,733
И сколько из этих карт имеют червовую масть?

47
00:02:55,564 --> 00:03:00,733
Ну, очевидно, 13 из них – червовой масти, т. к. каждая масть имеет 13 разных типов карт.

48
00:03:00,733 --> 00:03:07,200
Т.е. 13 карт в колоде – червовой масти, 13 – бубновой, 13 – пиковой, 13 – трефовой.

49
00:03:07,200 --> 00:03:19,000
Итак, 13 из 52 карт – червовой масти. Оба этих числа можно разделить на 13, поэтому 13/52 – то же, что и ¼.

50
00:03:19,000 --> 00:03:20,667
Т.е. в одном из четырех случаев, когда я вытаскиваю карту из колоды,

51
00:03:20,667 --> 00:03:25,533
я могу вытащить карту червовой масти; когда наугад вытаскиваю карту из перетасованной колоды.

52
00:03:25,533 --> 00:03:27,733
А теперь давайте решим некоторые задачи, более интересные.

53
00:03:27,733 --> 00:03:29,067
Вот это все, возможно, очевидно.

54
00:03:29,067 --> 00:03:42,333
Какова вероятность того, что я вытащу валета, и он будет червовой масти? Червовый валет…

55
00:03:42,333 --> 00:03:44,733
Ну, если вы хорошо знакомы с игральными картами,

56
00:03:44,733 --> 00:03:50,252
то знаете, что, собственно, есть только одна такая карта – валет и червовой масти.

57
00:03:50,252 --> 00:03:53,133
Тогда какова вероятность того, что я вытащу этого червового валета?

58
00:03:53,133 --> 00:04:03,052
Итак, есть только одна карта, которая соответствует вот этим условиям, и всего 52 карты.

59
00:04:03,052 --> 00:04:06,667
Значит, вероятность того, что я вытащу червового валета, равна 1/52;

60
00:04:06,667 --> 00:04:10,118
вероятность того, что я вытащил валета и это именно червовый валет.

61
00:04:10,118 --> 00:04:12,800
А теперь решим еще более интересный пример.

62
00:04:12,800 --> 00:04:16,677
Какова вероятность… Возможно, вы хотите, чтоб я записал этот вопрос,

63
00:04:16,677 --> 00:04:18,400
ну, чтоб вы подумали над ним перед тем, как я дам ответ.

64
00:04:18,400 --> 00:04:21,667
Какова вероятность… И опять же: есть колода из 52 карт,

65
00:04:21,667 --> 00:04:24,200
я ее перетасовываю, наугад вытаскиваю из нее карту.

66
00:04:24,200 --> 00:04:31,467
Какова вероятность того, что эта карта окажется валетом ИЛИ червовой масти?

67
00:04:31,467 --> 00:04:37,267
Т.е. это мог бы быть червовый валет, или бубновый валет, или пиковый валет.

68
00:04:37,267 --> 00:04:40,800
Или это могла бы быть червовая дама, или червовая «двойка».

69
00:04:40,800 --> 00:04:42,133
Чему же равна эта вероятность?

70
00:04:42,133 --> 00:04:44,000
И этот пример уже поинтереснее…

71
00:04:44,000 --> 00:04:50,292
Прежде всего, мы знаем, что здесь 52 возможности.

72
00:04:50,292 --> 00:04:54,821
Сколько из этих возможностей удовлетворяют заданным условиям

73
00:04:54,821 --> 00:04:57,267
(то, что эта карта – валет или любая червовой масти)?

74
00:04:57,267 --> 00:05:00,400
И для понимания я нарисую диаграмму Венна.

75
00:05:00,400 --> 00:05:02,600
Звучит как что-то фантастическое, но ничего подобного.

76
00:05:02,600 --> 00:05:06,933
Итак, представьте, что прямоугольник, который я рисую здесь, отображает все результаты.

77
00:05:06,933 --> 00:05:09,600
Если хотите, можете представить, что его площадь равна 52.

78
00:05:09,600 --> 00:05:17,000
Т.е. здесь всего 52 возможных результата. И сколько из этих результатов определены как «валет»?

79
00:05:17,000 --> 00:05:21,692
Мы уже узнали это. 1 из 13 результатов определен как «валет».

80
00:05:21,692 --> 00:05:24,200
Я могу нарисовать здесь небольшой круг.

81
00:05:24,200 --> 00:05:29,200
Это будет область (так, приблизительная), которая отображает вероятность валета.

82
00:05:29,200 --> 00:05:34,067
Эта вероятность приблизительно равна 1/13 (или 4/52) от всей области прямоугольника.

83
00:05:34,067 --> 00:05:42,908
Нарисую вот так. Вот эта область – вероятность валета.

84
00:05:42,908 --> 00:05:54,487
Это 4 возможных карты из 52. Вероятность равна 4/52 или 1/13.

85
00:05:54,487 --> 00:05:56,933
А какова вероятность того, что я вытащу карту червовой масти?

86
00:05:56,933 --> 00:05:59,733
Нарисую здесь еще один круг, изображающий это.

87
00:05:59,733 --> 00:06:04,200
13 из 52, 13 карт из 52 представляют собой карты червовой масти.

88
00:06:04,200 --> 00:06:07,267
И, собственно, одна из них является валетом червовой масти.

89
00:06:07,267 --> 00:06:09,667
Нарисую так, чтоб оба круга пересекались.

90
00:06:09,667 --> 00:06:13,533
Тогда, надеюсь, во второй раз это станет понятно.

91
00:06:13,533 --> 00:06:17,108
Вот. Это 13 карт, которые червовой масти.

92
00:06:18,277 --> 00:06:22,800
Т.е. это количество карт червовой масти.

93
00:06:22,800 --> 00:06:25,559
Собственно, давайте я так же запишу и вверху.

94
00:06:25,575 --> 00:06:30,190
Так будет понятней. Эту надпись удаляю…

95
00:06:30,190 --> 00:06:33,067
Итак, это количество валетов.

96
00:06:36,821 --> 00:06:42,933
И, конечно же, это пересечение, вот здесь – это количество валетов червовой масти.

97
00:06:42,933 --> 00:06:44,933
Количество элементов из всех 52…

98
00:06:44,933 --> 00:06:47,467
Здесь есть оба набора значений (валеты и червовые масти) –

99
00:06:47,467 --> 00:06:50,467
это вот этот, зеленый, круг и вот этот, оранжевый.

100
00:06:50,467 --> 00:06:54,733
Т.е. вот этот элемент, вот здесь… обозначу его желтым…

101
00:06:54,733 --> 00:06:59,400
Вот этот элемент – это количество валетов червовой масти.

102
00:06:59,400 --> 00:07:00,533
Нарисую здесь небольшую стрелку…

103
00:07:00,533 --> 00:07:06,267
А то рисунок станет немного запутанным, если нарисую побольше.

104
00:07:06,267 --> 00:07:13,092
Итак, это количество валетов червонной масти. И это пересечение, вот здесь.

105
00:07:13,092 --> 00:07:15,800
Какова же все-таки вероятность того, что будет валет или карта червовой масти?

106
00:07:15,800 --> 00:07:21,600
Если подумать над этим, то вероятность будет равна отношению количества событий,

107
00:07:21,600 --> 00:07:23,533
удовлетворяющих данным условиям, к общему количеству событий.

108
00:07:23,533 --> 00:07:25,800
Вы знаете, что общее количество событий равно 52.

109
00:07:25,800 --> 00:07:27,067
Но сколько событий удовлетворяют этим условиям?

110
00:07:27,067 --> 00:07:30,600
Чтобы это выяснить, вы могли бы рассуждать так:

111
00:07:30,600 --> 00:07:37,733
зеленый круг (вот здесь) – это количество карт вольтов, оранжевый – количество карт червовых мастей;

112
00:07:37,733 --> 00:07:44,708
тогда, возможно, если бы мы сложили эти числа…

113
00:07:44,708 --> 00:07:46,467
Но если бы вы это сделали, это был бы двойной счет.

114
00:07:46,467 --> 00:07:53,400
Потому что если вы их сложите… если сложите 4 и 13, что здесь подразумевается?

115
00:07:53,400 --> 00:08:00,467
То, что здесь 4 вольта и 13 карт червовой масти.

116
00:08:00,467 --> 00:08:06,600
Если вы делаете таким способом, то в обоих случаях вы считаете валетов червовой масти.

117
00:08:06,600 --> 00:08:09,877
Вы подставляете «валетов червовой масти» сюда и сюда.

118
00:08:09,877 --> 00:08:13,733
Т.е. это означает подсчет валетов червовой масти дважды, хотя есть всего одна такая карта.

119
00:08:13,733 --> 00:08:24,000
Поэтому вам следовало бы вычесть элемент, который удовлетворяет условию «валет червовой масти».

120
00:08:24,000 --> 00:08:25,800
Т.е. вычесть 1.

121
00:08:25,800 --> 00:08:29,733
Другой способ размышления – вы действительно хотите вычислить общую площадь вот этой области.

122
00:08:29,733 --> 00:08:32,067
Вы хотите вычислить общую площадь…

123
00:08:32,067 --> 00:08:36,200
Впрочем, давайте нарисую это крупным планом.

124
00:08:36,200 --> 00:08:41,200
Есть один круг, вот такой, и есть второй, пересекающий его.

125
00:08:41,200 --> 00:08:45,600
И вы хотите вычислить общую площадь этих объединенных кругов.

126
00:08:45,600 --> 00:08:53,533
Тогда площадь вот этого круга вы сложили бы с площадью вот этого.

127
00:08:53,533 --> 00:08:56,000
Но если бы вы это сделали, то заметили бы,

128
00:08:56,000 --> 00:09:00,179
что при сложении этих двух площадей площадь этого элемента вы сложили дважды.

129
00:09:00,179 --> 00:09:04,733
И чтобы площадь этого элемента засчиталась только 1 раз, нужно просто ее вычесть из этой суммы.

130
00:09:04,733 --> 00:09:14,733
Т.е. если эта площадь равна А, эта площадь – В, а пересечение (там, где они перекрывают друг друга) – С,

131
00:09:15,687 --> 00:09:24,200
то объединенная площадь будет равна А + В и минус то, где они пересекаются (минус С).

132
00:09:24,200 --> 00:09:27,200
Вот это – то же самое, что записано здесь.

133
00:09:27,200 --> 00:09:29,800
Мы суммируем область «всех валетов» (и она включает в себя валета червовой масти)

134
00:09:29,800 --> 00:09:31,333
и суммируем область «всех карт червовой масти» (и она тоже включает в себя валета червовой масти).

135
00:09:31,333 --> 00:09:35,733
Мы не можем засчитать валета червовой масти дважды, поэтому должны вычесть 1.

136
00:09:35,733 --> 00:09:43,200
Т.е. здесь будет 4 + 13 – 1. И все это будет равно 16/52.

137
00:09:43,200 --> 00:09:48,467
Числитель и знаменатель делятся на 4.

138
00:09:48,467 --> 00:09:55,933
Получится… 16 разделить на 4 – будет 4, а 52 разделить на 4 – будет 13.

139
00:09:55,933 --> 00:10:00,990
Итак, вероятность того, что будет валет ИЛИ карта червовой масти равна 4/13. Пока!