Розглянемо приклад на ймовірність з гральними картами.
У цьому відео ми припустимо, що
у нашій колоді карт не міститься джокер.
Ми могли б виконати це завдання і з джокерами,
але мали б зрештою дещо інші числа у підсумку.
Отож це ми з’ясували.
Поміркуймо спочатку про те,
скільки ж карт міститься у звичайній колоді гральних карт?
Отже, ми маємо чотири масті,
і це ось які масті: вино, бубни, жир
та черва.
Ми маємо чотири масті
і для кожної з цих мастей ми маємо тринадцять різних
типів карт або ж іноді це називають чинів.
Отже, кожна масть має 13 типів карт.
Маємо туз, згодом маємо двійку, трійку,
четвірку, п’ятірку, шестірку, сімку, вісімку, дев’ятку, десятку
і ще маємо валета, короля і даму.
І це є тринадцять карт.
Отже, ви в змозі мати для кожної з цих мастей
будь-яку з цих карт, а для будь-якої з цих карт ви маєте одну з мастей.
Ви в змозі мати валета бубен, валета жиру,
валета вина або валета черви.
Отже, якщо ви просто помножите ці дві речі,
то ви могли узяти колоду гральних карт і справді
порахувати їх, прибравши джокерів.
Але якщо ви просто перемножите це, ви маєте 4 масті
кожна з цих мастей має 13 типів карт.
Отож, маємо 4 помножити на 13
або ж 52 карти у звичайній колоді.
Іншими словами ви в змозі сказати: є 13
чинів або типів карт
і кожна з них має одну з чотирьох мастей,
13 помножити на 4 і знову ж таки 52 карти.
Це ми з’ясували. Нумо поміркуймо про ймовірність
різних подій.
Скажімо, я перетасував цю колоду,
я перетасував її дуже, дуже добре.
І згодом я навмання обрав карту з цієї колоди.
І я волію поміркувати про те, яка ж ймовірність, що я витягну..
яка ж ймовірність, що я витягну валета?
Скільки ж рівноможливих подій тут є?
Я в змозі витягти будь-яку з цих 52 карт, отже
52 можливості для витягування карти.
І скільки ж з цих 52 можливостей є валетами?
Ми маємо винного валета, бубнового валета,
жирового валета та червового валета.
Є чотири валети.
Є чотири валети у цій колоді.
Отож, це 4 поділити на 52, обидва числа скорочуються на 4.
4 поділити на 4 це 1.
52 поділити на 4 це 13.
Тепер нумо поміркуймо про
ймовірність, отже потрібно почати спочатку.
Я покладу назад цього валета і перетасую наново колоду.
Я знову маю 52 карти.
Отже, яка ймовірність, що я витягну черву?
Яка ймовірність того, що я навмання витягну карту з
перетасованої колоди і це буде черва? Її мастю буде черва.
Ще раз, є 52 можливі карти, я можу витягти
з 52 можливих, рівноможливих подій.
І скільки з них є червою?
Ну, по суті, 13 з них є червою. Для кожної
з цих мастей ми маємо 13 типів карт. Отже є 13 черв у колоді,
є 13 бубнових карт,
є 13 винних карт, є 13 жирових карт.
Отож, це 13 поділити на 52 ймовірність, що це може бути черва.
Обидва ці числа подільні на 13, а це те саме
що й 1/4. Шанс 1/4 що я витягну це
або я матиму ймовірність що дорівнює 1/4 витягти черву
коли я навмання витягатиму карту
з цієї перетасованої колоди.
Тепер нумо виконаємо більш цікаве завдання
або ж можливо більш очевидне: яка ймовірність
що я витягну карту яка є валетом і червою?
Якщо ви дійсно знайомі з картами, то ви знаєте,
що існує лише одна карта що є і валетом, і червою.
Дослівно це червовий валет.
Отож, ми ведемо мову про ймовірність витягування
саме червового валета?
Існує лише одна подія, лише одна карта яка задовільняє цій умові
ось тут і є 52 можливі карти.
Отож, шанс витягти червового валета складає 1/52.
Це шанс, що я витягну щось що є і валетом, і червою.
Тепер нумо виконаймо щось більш цікаве.
Яка ймовірність, ви можете призупинити відео і трохи поміркувати
над цим перш ніж почуєте відповідь, яка ж
ймовірність, знову ж таки маємо колоду на 52 карти і я перетасую її,
навмання витягти карту з цієї колоди, яка ж ймовірність того,
що карта яку я витягну з цієї колоди є валетом або червою?
Отож це може бути червовий валет або ж це може бути й бубновий валет
або винний валет або червова дама
або ж червова двійка. Отже, яка ж ймовірність цього?
І це більш цікаве завдання, оскільки
ми перш за все знаємо, що усього є 52 можливості,
але скільки ж з цих можливостей відповідають нашій умові,
що це має бути валет або черва.
І щоб зрозуміти це я намалюю діаграму Венна.
Звучить трохи кумедно, але тут немає жодних жартів.
Отож, уявіть що цей прямокутник який я малюю являє собою
усі можливі результати. Отже, якщо ви забажаєте, то зможете уявити що це
ділянка розміром 52. Тобто це 52 можливих результати. А скільки з цих
результатів є валетом?
Отже, нам вже відомо, що один з цих 13 результатів
є валетом. Отож я можу намалювати тут маленьке коло у цій ділянці
і я припускаю,
що це являє собою ймовірність валету.
Отже, це має бути приблизно 1/13 або 4/52 від цієї ділянки ось тут.
Отож я просто намалюю це так. Отже, ось це ось тут
це ймовірність валету. Їх усього 4, тобто 4 можливі
карти з 52. Отже 4/52 або 1/13.
А яка ж ймовірність витягування черви?
Я намалюю інше коло ось тут, щоб зобразити це.
13 з 52, 13 з 52 карт являють собою черву.
І лише одна з них є і червою, і валетом.
Отже я перетну їх і сподіватимусь, що у цьому є
здоровий глузд.
Отож, дійсно існує 13 карт що є червою.
Отже, це кількість черв.
Нумо запишемо цю річ тут нагорі.
Це буде трохи зрозуміліше, якщо ми й справді дивитемося на...
...ось це кількість валетів. І звісно цей перетин
ось тут це кількість валетів і черви. Ця кількість
карт із загалом 52 які є і валетом, і червою.
Дана кількість присутня у обох множинах, і тут у зеленому колі, і тут
у помаранчевому колі. Отож ось це я збираюся зробити жовтим
оскільки я вже робив це завдання у жовтому кольорі.
Ось це ось тут це кількість валетів і черв.
Отже, намалюймо тут маленьку стрілочку. Це починає трохи заважати.
Я й справді мав намалювати це трохи більшим.
Це кількість валетів і черв.
А цей перетин ось тут, отож яка ймовірність
витягування валета або черви?
Отже, ви думаєте про дану ймовірність як про кількість
подій які відповідають даній умові, що поділена на загальну кількість подій.
Авжеж, нам вже відомо що загальна кількість подій дорівнює 52.
Але скільки з них відповідає нашій умові?
Отож це має бути даною кількістю, це має бути
скажімо: це зелене коло ось тут повідомляє нам
кількість валетів, а це помаранчеве коло повідомляє нам кількість
черв. Отож ви можете сказати:
а чому б нам просто не додати це зелене до цього помаранчевого кола?
Але якщо ви вчинити так, то порахуєте дещо двічі.
Якщо ви додасте це, якщо ви просто додасте 4 до 13,
то що ми матимемо?
Ми матимемо 4 валети і
ось ці 13 черв.
Але у обох них ось тут, у обох них, якщо ми зробимо так,
у обох них вже пораховано червового валета.
Ми включили червового валета сюди і ми включили червового валета й сюди.
Отже, ми порахували червового валета двічі, незважаючи на те, що
це лиш одна карта тут. Отож, ви маєте відняти один раз спільне для цих множин.
Ви маєте відняти карту яка є і валетом,
і червою.
Отож ви віднімаєте одну карту.
А ось інший шлях міркування про це.
Вам й справді потрібно вирахувати усю цю загальну ділянку ось тут.
Нумо збільшимо її. Я дещо узагальню це.
Отож, якщо ви маєте одне коло ось таке і ще ви маєте інше коло,
що перетинає перше. І вам треба з’ясувати загальну ділянку,
що є спільною для цих обох кіл. Ви бачите цю ділянку
даного кола і згодом ви могли б додати це до даної ділянки цього кола.
Але коли ви зробите так, то ви побачите що ви при додаванні цих двох ділянок
порахували ось це місце двічі.
Отож, аби порахувати це місце лише раз, ви маєте відняти
це місце від даної суми.
Отже, якщо ця ділянка, якщо ця ділянка це А, а ця ділянка це В.
То цей переріз, де вони перетнулися це С.
Тоді дана об’єднана ділянка має дорівнювати А плю В мінус їх перетин
тобто мінус С.
Отож це та ж сама річ, що й тут.
Ми ж порахували усіх валетів включно з червовим валетом, і
ми порахували усі черви також включно з червовим валетом.
Отже, ми порахували червового валета двічі і маємо одного з них відняти.
Отож, це має бути 4 + 13 - 1.
Або це дорівнює 16/52. І обидва ці числа є подільними
на 4.
Тобто це має бути тим же самим, що й
якщо ми поділимо 16 на 4 й отримаємо 4, 52 поділимо на 4
і отримаємо 13.
Отож ймовірність того, що ви витягнете валета або черву дорівнює 4/13.
Переклад на українську: Віталій Данмер, рев’ювер Оксана Кузьменко, благодійний фонд “Magneticone.org”