1
00:00:00,083 --> 00:00:03,044
讓我们利用扑克牌来学习一点概率学

2
00:00:03,044 --> 00:00:05,055
在這段影片中，我們將會假設

3
00:00:05,055 --> 00:00:07,057
我們的撲克牌中沒有「小丑牌」在裡面。

4
00:00:07,059 --> 00:00:09,027
实际上若有「小丑牌」你也可以解决相同的问题.

5
00:00:09,030 --> 00:00:11,034
只是數字會稍有不同。

6
00:00:11,034 --> 00:00:13,027
就這樣接下來

7
00:00:13,027 --> 00:00:15,007
我們先想想

8
00:00:15,007 --> 00:00:17,862
在一副 標準撲克牌 之中，有多少張牌？

9
00:00:17,862 --> 00:00:21,086
一副牌有四種花色

10
00:00:21,086 --> 00:00:25,518
分別是： 黑桃♤、 方片♢、 梅花♣

11
00:00:25,518 --> 00:00:27,023
和 红心♥

12
00:00:27,023 --> 00:00:28,024
你有四種花色

13
00:00:28,024 --> 00:00:31,059
然後，在每種花色中，你有 13 张不同

14
00:00:31,059 --> 00:00:34,010
「型態」的牌，或者有時被稱為「等級」。

15
00:00:34,010 --> 00:00:44,057
所以每種花色有13 张 不同等级 的牌

16
00:00:44,057 --> 00:00:47,041
你有「A」，然後你有「2」、「3」、

17
00:00:47,041 --> 00:00:52,073
「4」、「5」、「6」、「7」、「8」、「9」、「10」

18
00:00:52,073 --> 00:00:55,588
然後你還有「J」、「K」和「Q」。

19
00:00:55,588 --> 00:00:57,518
这就是那 13 張牌

20
00:00:57,518 --> 00:01:01,013
所以對每種花色你會有

21
00:01:01,013 --> 00:01:03,096
所有這些 型態 的牌，而對任意 型態 的牌你也會有任一種花色

22
00:01:03,096 --> 00:01:05,082
所以你可以有紅方J，黑桃J

23
00:01:05,082 --> 00:01:08,660
黑桃J 或 紅心J。

24
00:01:08,660 --> 00:01:10,475
所以如果你只是把這兩件事一起考慮一下

25
00:01:10,475 --> 00:01:12,762
你可以拿一副撲克牌，實際上

26
00:01:12,762 --> 00:01:14,062
數一數， 拿掉「小丑牌」，數一數。

27
00:01:14,062 --> 00:01:16,061
但如果你只是乘起來，你有四種花色

28
00:01:16,061 --> 00:01:18,096
每種花色有 13 张牌

29
00:01:18,096 --> 00:01:21,073
所以你將有 4 乘以 13 張牌

30
00:01:21,073 --> 00:01:24,084
或者你將有 52 張牌在一副標準撲克牌中。

31
00:01:24,084 --> 00:01:26,088
另一種方式，你可以說它就像： 你看，有十三张

32
00:01:26,088 --> 00:01:28,044
不同的牌

33
00:01:28,044 --> 00:01:30,001
每张不同的牌都有4种花色

34
00:01:30,001 --> 00:01:33,065
13 乘以 4 再一次你會得到 52

35
00:01:33,065 --> 00:01:36,013
現在，走，讓我們想想

36
00:01:36,013 --> 00:01:37,266
不同事件的概率

37
00:01:37,266 --> 00:01:38,751
不同的事件。所以讓我們说我把桌面上的牌洗牌

38
00:01:38,751 --> 00:01:40,369
洗的非常非常好..

39
00:01:40,369 --> 00:01:43,033
真的，非常好。然後我隨意拿起卡從桌面

40
00:01:43,033 --> 00:01:47,043
我想要思考,我选中某些牌的概率是多少.

41
00:01:47,043 --> 00:01:50,049
我拿到 J 的概率是什麼？
(Jack 指的是 J)

42
00:01:50,049 --> 00:01:53,072
好吧，有多少同樣可能的事件嗎？

43
00:01:53,072 --> 00:01:57,036
嗯，我可以选中 52 張牌的其中任何一张，

44
00:01:57,036 --> 00:02:00,059
所以有 52 种可能性

45
00:02:00,059 --> 00:02:04,050
52 种可能性中有多少是 J ？

46
00:02:04,050 --> 00:02:07,070
好，你有的 黑桃J，方塊J

47
00:02:07,070 --> 00:02:10,033
梅花J 还有红心J

48
00:02:10,033 --> 00:02:12,026
有4个J

49
00:02:12,026 --> 00:02:14,013
桌面上有4张J

50
00:02:14,013 --> 00:02:17,094
所以是4/52，這些都被 4 整除

51
00:02:17,094 --> 00:02:19,072
除以四, 四是其中一個因数

52
00:02:19,072 --> 00:02:22,095
52 除以 4 等於 13。

53
00:02:22,727 --> 00:02:26,018
現在讓我們想想其他的概率

54
00:02:26,018 --> 00:02:29,041
我們會重新開始

55
00:02:29,041 --> 00:02:31,079
我会把 J 放回去，我会把桌子上的牌洗乱

56
00:02:31,079 --> 00:02:34,006
我们还是有 52 张卡

57
00:02:34,006 --> 00:02:37,055
那麼我得到了 红桃♥ 的概率是什麼？

58
00:02:37,055 --> 00:02:40,013
我隨機選取中一张牌

59
00:02:40,013 --> 00:02:43,465
并且它是红心的概率是多少?

60
00:02:43,465 --> 00:02:47,076
再一次，我们还是有 52 种可能性

61
00:02:47,076 --> 00:02:51,063
我們正在處理的这些可能性的发生概率是一样的.

62
00:02:51,063 --> 00:02:55,041
其中有多少张是 红心♥ ?

63
00:02:55,041 --> 00:02:58,027
好的本質上是其中13张牌是红心♥。

64
00:02:58,027 --> 00:03:00,823
每种花色你有 13 张不同的牌

65
00:03:00,823 --> 00:03:03,480
所以有 13张红心♥ 在桌面上

66
00:03:03,480 --> 00:03:06,874
有 13 张黑桃♤ 在桌面上, 还有 13 张梅花♣

67
00:03:06,874 --> 00:03:10,992
所以是 13 / 52

68
00:03:10,992 --> 00:03:14,868
分子分母都能除以 13 ，

69
00:03:14,868 --> 00:03:19,010
化简得到 1 / 4, 即我有四分之一的概率

70
00:03:19,010 --> 00:03:21,684
挑中一张花色是 红心♥ 的牌

71
00:03:21,684 --> 00:03:24,014
当我随机从桌面上

72
00:03:24,014 --> 00:03:24,971
去挑一张牌的时候

73
00:03:25,111 --> 00:03:27,069
现在让我们来做点更好玩的.

74
00:03:27,069 --> 00:03:31,006
也許是有點明顯： 我随机挑中一张牌

75
00:03:31,006 --> 00:03:41,644
它是 J 并且它是 红心♥ 的概率是多少?

76
00:03:41,644 --> 00:03:44,092
嗯，如果你对扑克牌比较熟悉的话你就知道

77
00:03:44,092 --> 00:03:47,083
只有一张牌是 [ J ] 并且是 [红心♥]

78
00:03:47,083 --> 00:03:49,071
它实际上是 红心 J

79
00:03:49,071 --> 00:03:51,066
所以我们说

80
00:03:51,066 --> 00:03:53,042
挑中 红心 J 的概率是多少?

81
00:03:53,042 --> 00:03:59,058
只有 1 个事件

82
00:03:59,058 --> 00:04:02,052
52 可能卡就是在這裡和那裡的權利。

83
00:04:02,052 --> 00:04:05,559
所以有 1/52的概率我挑中一张 红心 J

84
00:04:05,575 --> 00:04:08,736
[ 它是 红心♥ ] 并且 [ 它是 J ]

85
00:04:08,903 --> 00:04:11,953
現在讓我們做一些更有趣的東西.

86
00:04:11,953 --> 00:04:15,077
什么是概率， 在我告诉你答案之前

87
00:04:15,077 --> 00:04:18,010
您可能希望暫停然后独自思考一下

88
00:04:18,010 --> 00:04:22,044
再次，我有 52 张扑克牌，我随机洗牌

89
00:04:22,044 --> 00:04:25,052
然后从中 挑一张牌

90
00:04:25,052 --> 00:04:31,023
[ 它是 J ] 或 [ 它是红心 ] 的概率是多少?
(注意 "或" )

91
00:04:31,023 --> 00:04:35,061
意思就是说这张牌可以是 [ 红心J ] 可以是 [ 方块J ]

92
00:04:35,061 --> 00:04:38,081
可以是 [ 黑桃J ] 可以是 [ 红心Q ]

93
00:04:38,081 --> 00:04:41,036
它也可以是红心2 。那麼这件事情的概率是多少?
(指选中[ J ] 或 [ 红心 ]的概率)

94
00:04:41,036 --> 00:04:44,041
这个更有趣一些.

95
00:04:44,041 --> 00:04:50,022
我們首先知道有 52 种可能性

96
00:04:50,022 --> 00:04:53,043
有多少种可能性符合这个2个条件?

97
00:04:53,043 --> 00:04:56,072
这个条件是牌可以是 -- J 或 红心

98
00:04:56,072 --> 00:05:00,000
为了理解它，我们可以用文氏图来表示它
( Venn diagram 维恩图 / 文氏图 )

99
00:05:00,000 --> 00:05:02,066
聽起來有點花哨，但其实并不花哨

100
00:05:02,066 --> 00:05:05,045
想像一下我在這裡畫此矩形表示

101
00:05:05,045 --> 00:05:08,072
所有的結果。所以能想像这个区域代表 52

102
00:05:08,072 --> 00:05:14,011
這是 52 可能的結果，現在有多少

103
00:05:14,011 --> 00:05:16,556
有多少种是 J 的结果?

104
00:05:16,556 --> 00:05:19,311
我們已經學到這个了，是1/13的是 J

105
00:05:19,311 --> 00:05:24,893
所以我可以畫一個小圓圈這裡那附近

106
00:05:24,893 --> 00:05:26,541
與我很近似

107
00:05:26,541 --> 00:05:28,091
它表示 J 的概率。

108
00:05:28,091 --> 00:05:32,061
所以，應大約 1/13 或此區域的 4/52

109
00:05:32,061 --> 00:05:37,030
在這裡。所以我只會像這樣畫出來。所以这里这个是

110
00:05:37,030 --> 00:05:45,025
J 的概率。 它是4，因为 52 种可能里 有4種可能

111
00:05:45,025 --> 00:05:53,090
這就是 4/52 或 1/13。

112
00:05:53,090 --> 00:05:56,047
現在得到 红心 的概率是多少?

113
00:05:56,047 --> 00:05:59,056
嗯，我要画另一个圆来表示它

114
00:05:59,056 --> 00:06:03,054
52种可能性里有13种可能性. 因为52张牌里有13张是红心

115
00:06:03,054 --> 00:06:07,011
其中的一张, 又是红心 又是J

116
00:06:07,011 --> 00:06:10,728
我会把他们画为

117
00:06:10,728 --> 00:06:12,808
重叠

118
00:06:12,808 --> 00:06:17,093
所以有實際上有13张牌是红心

119
00:06:17,093 --> 00:06:21,087
這是 红心 的数量

120
00:06:21,087 --> 00:06:24,094
让我重新写一下.

121
00:06:24,094 --> 00:06:29,017
我写清楚一点

122
00:06:29,017 --> 00:06:39,002
这是 J 的数量. 當然这里是重疊

123
00:06:39,002 --> 00:06:42,056
代表 又是J 又是红心

124
00:06:42,063 --> 00:06:45,041
的牌的数量

125
00:06:45,041 --> 00:06:49,013
就是这个绿圈和红圈的重叠部分

126
00:06:49,013 --> 00:06:53,062
我用黄色

127
00:06:53,062 --> 00:06:55,096
涂上吧.

128
00:06:55,096 --> 00:06:58,038
这里是又是 J 又是 红心 的扑克的数量

129
00:06:58,038 --> 00:07:01,065
让我画个小箭头在这里. 弄得都有点乱了.

130
00:07:01,065 --> 00:07:03,081
我其实应该再画大一点

131
00:07:03,081 --> 00:07:10,060
又是J 又是红心 的数量

132
00:07:10,060 --> 00:07:13,448
就是这里的重叠. 那么获得一个红心 或 J

133
00:07:13,448 --> 00:07:15,074
的概率是多少?

134
00:07:15,074 --> 00:07:19,071
如果你仔细想想. 概率是事件的数量

135
00:07:19,071 --> 00:07:23,043
除以 所有可能性的数量

136
00:07:23,043 --> 00:07:25,004
我们已经知道 所有的可能性是 52

137
00:07:25,004 --> 00:07:26,083
多少滿足此條件？

138
00:07:26,083 --> 00:07:29,044
它将是一个数字, 它将是.

139
00:07:29,044 --> 00:07:32,045
你可能會說： 好吧看看，那裡的綠色圆圈表示 J 的数量

140
00:07:32,045 --> 00:07:36,003
橙色圆圈告诉了我们 红心的数量

141
00:07:36,003 --> 00:07:38,049
所以你可能想說

142
00:07:38,049 --> 00:07:43,000
为什么我们不可以把 绿色圆圈 和 红色圆圈 相加,

143
00:07:43,000 --> 00:07:45,085
但如果你做了，你會重複計算

144
00:07:45,085 --> 00:07:51,000
如果你直接把他们相加. 如果只是 4+13

145
00:07:51,000 --> 00:07:52,070
我們在說什麼？

146
00:07:52,070 --> 00:07:57,039
我們說有四個J，我們說

147
00:07:57,039 --> 00:08:00,010
有13个红心.

148
00:08:00,010 --> 00:08:03,077
我们左边也算上了 红心J

149
00:08:03,077 --> 00:08:06,042
右边也算上了 红心J

150
00:08:06,042 --> 00:08:09,043
.

151
00:08:09,043 --> 00:08:12,023
我们把它算了2次

152
00:08:12,023 --> 00:08:17,008
即便实际上只有1张牌. 所以你需要把减去多算的一张

153
00:08:17,008 --> 00:08:22,016
你需要减去又是 J

154
00:08:22,016 --> 00:08:23,056
又是红心的那张牌

155
00:08:23,056 --> 00:08:25,017
所以你需要减去1

156
00:08:25,017 --> 00:08:26,075
另一种思考方式是

157
00:08:26,075 --> 00:08:33,865
你需要弄清这整个面积究竟是多少.
(绿色的面积是4, 橙色的是13)

158
00:08:33,865 --> 00:08:36,060
让我重新画一下

159
00:08:36,060 --> 00:08:38,076
所以，如果你有这样的一個圓，然後你有另一個

160
00:08:38,076 --> 00:08:42,492
像這樣有点轻微重叠的圆。

161
00:08:42,492 --> 00:08:46,069
你想弄清楚整个的面积究竟是多少

162
00:08:46,069 --> 00:08:53,011
你可以看这个圆的面积, 再加上另一个圆的面积

163
00:08:53,011 --> 00:08:56,693
但当你这样做的时候, 你会注意到

164
00:08:56,693 --> 00:08:59,016
你把这个重叠的面积计算了2次

165
00:08:59,016 --> 00:09:02,029
所以为了只计算这个重叠面积一次，你需要减去

166
00:09:02,029 --> 00:09:04,045
这个重叠的面积

167
00:09:04,045 --> 00:09:09,095
如果这个面积是A，这个是B

168
00:09:09,095 --> 00:09:15,025
相互重疊的區域是 C

169
00:09:15,025 --> 00:09:22,042
两个圆的总面积将是 A + B 再

170
00:09:22,042 --> 00:09:24,002
减C

171
00:09:24,002 --> 00:09:25,073
其实和这里是一样的.

172
00:09:25,073 --> 00:09:28,008
我們正在計算所有的 J 和红心
( Jack 指的是扑克牌里的 J )

173
00:09:28,008 --> 00:09:31,012
我们计算的所有红心包括了 红心J

174
00:09:31,012 --> 00:09:35,015
所以我们把 红心J 给算了2次. 所以我们要减掉1

175
00:09:35,015 --> 00:09:37,663
所以是 4+13-1

176
00:09:37,663 --> 00:09:46,015
得 16/52 . 分子分母都能

177
00:09:46,015 --> 00:09:48,028
除以4

178
00:09:48,028 --> 00:09:50,049
所以這將會是同樣的事情

179
00:09:50,049 --> 00:09:54,028
16/4 = 4.

180
00:09:54,028 --> 00:09:55,079
52/4 = 13

181
00:09:55,079 --> 00:10:01,477
所以，你选一张牌的时候，选中J 或 红心
的概率是 4/13