0:00:05.000,0:00:13.300
Hallo! Heute geht es um Grad- und Bogenmaß! [br]Ihr seid bestimmt schon vertraut mit dem Begriff "Gradmaß".

0:00:13.500,0:00:17.200
Ich glaube, dass wir dafür intensiv gepaukt haben.

0:00:17.578,0:00:26.378
Zum Beispiel, ihr könnt bereits wissen, dass der rechte Winkel 90 Grad beträgt.

0:00:26.533,0:00:33.333
Oder ihr könnt wissen, dass die Hälfte des rechten Winkels 45 Grad ist.

0:00:33.533,0:00:40.933
Und wahrscheinlich wisst ihr, dass der Kreis 360 Grad beträgt.

0:00:43.033,0:00:49.033
So, heute stelle ich euch ein anderes Winkelmaß vor, das Bogenmaß.

0:00:49.167,0:00:54.167
Zur Kennzeichnung des Bogenmaßes wird die Einheit Radiant nachgestellt.

0:00:54.500,0:00:59.300
Also, was ist ein Bogenmaß? [br]Ich werde das jetzt definieren.

0:00:59.433,0:01:08.233
So, ich werde jetzt ein spezielles Werkzeug benutzten, [br]um einen schönen Kreis zu zeichnen.

0:01:14.000,0:01:18.400
Das ist aber falsches Werkzeug.

0:01:18.733,0:01:20.533
So das ist gut.

0:01:20.767,0:01:23.867
Das ist ein Radius, der die Länge r hat.

0:01:24.133,0:01:30.733
Das Bogenmaß eines Winkels ist definiert als das [br]Verhältnis der Länge des Kreisbogens zum Radius.

0:01:30.933,0:01:34.433
Um auf die Verwendung des Bogenmaßes hinzuweisen,

0:01:34.633,0:01:39.233
kann der Radiant mit dem Einheitenzeichen rad nachgestellt werden.

0:01:39.400,0:01:48.200
Dabei ist 1 Radiant die Größe desjenigen Winkels, der einen Bogen mit der Länge des Radius r umschließt.

0:01:48.553,0:01:55.450
Die Länge dieses Bogens ist daher auch gleich r. [br]Und der Winkel ist gleich 1 Radiant.

0:01:55.567,0:01:58.970
Lasst mich einen größeren Kreis zeichnen.

0:01:59.167,0:02:05.770
Wieso der Vollwinkel ausgerechnet 360 Grad misst, hat historische Gründe

0:02:05.922,0:02:09.920
und ist vom mathematischen Standpunkt aus gesehen gar nicht so vorteilhaft.

0:02:10.067,0:02:13.770
Das Bogenmaß ist für viele Zwecke günstiger.

0:02:14.049,0:02:25.450
Angenommen, der Radius hat die Länge r. Die Länge [br]dieses Bogens hier ist auch gleich r.

0:02:25.600,0:02:34.200
Dieser Winkel θ ist gleich 1 Radiant.[br]Jetzt wird auch klar, warum das der Radiant heißt.

0:02:34.436,0:02:35.940
Das klingt wie "Radius".

0:02:36.247,0:02:40.250
Man fragt sich: Wie viele Radianten beträgt ein Vollkreis?

0:02:41.467,0:02:47.970
Wenn das gleich r ist, wie viel beträgt dann der gesamte Kreisumfang?

0:02:48.133,0:02:53.130
Er ist gleich 2πr, nicht wahr?

0:02:53.291,0:02:55.690
Ihr wisst das aus der Geometrie.

0:02:55.867,0:03:01.870
Also, wenn der Winkel, der den Bogen r umfasst, [br]1 Radiant gleich ist,

0:03:02.100,0:03:09.500
dann ist der Winkel, der den Bogen 2πr umfasst, gleich 2π Radianten.

0:03:09.700,0:03:15.300
Also dieser Winkel ist 2π Radianten.

0:03:16.000,0:03:25.000
Oder anders rum: Winkel von 2π Radianten beschreibt einen 2πr langen Bogen.

0:03:27.333,0:03:29.630
Ich möchte euch nicht verwirren.

0:03:29.733,0:03:37.730
Ich möchte nur, dass ihr versteht warum es [br]"Radiant" heißt, und wie das sich auf den Kreis bezieht.

0:03:37.933,0:03:47.930
Wir wissen, dass ein Vollkreis 2π Radianten ist, und wir können jetzt der Beziehung zwischen Bogen- und Gradmaß verstehen.

0:03:50.000,0:03:51.700
Ich lösche das.

0:03:54.933,0:04:00.330
Also wir haben klargestellt, dass ein Kreis 2π Radianten enthält.

0:04:00.467,0:04:03.470
Und wie viel Grad hat ein Kreis?

0:04:03.567,0:04:10.670
Wenn wir um den ganzen Kreis herumgehen, wie viel [br]Grad ist das? Das sind 360 Grad.

0:04:10.800,0:04:15.800
Wir haben eine Gleichung für die Umrechnung zwischen [br]Radiant und Grad.

0:04:15.933,0:04:32.230
Ein Radiant entspricht 360/2π Grad (ich habe beide Seiten durch 2π geteilt), und das ist 180/π Grad.

0:04:32.367,0:04:38.670
Ebenso kann ich beide Seiten durch 360 dividieren[br]und sagen,

0:04:38.732,0:04:58.930
dass ein Grad 2π/360 Radiant entspricht.[br]Also 1 Grad entspricht π/180 Radiant.

0:04:59.073,0:05:13.670
Wir erhalten: 1 Radiant = 180 / π Grad[br]und 1 Grad = π/180 Radiant.

0:05:13.767,0:05:19.770
Es tut nicht Weh das zu merken. Aber wenn ihr [br]das doch vergesst, könnt ihr immer wieder das ansehen.

0:05:20.933,0:05:26.730
Wir machen Berechnungen ein wenig einfacher, wenn wir einen halben Kreis nehmen.

0:05:29.867,0:05:39.470
Die Hälfte eines Kreises (das ist dieser Winkel) ist [br]180 Grad, nicht wahr? Das ist ein Gradzeichen.

0:05:39.567,0:05:46.570
Ich könnte auch „Grad“ schreiben.[br]Und es ist auch gleich π Radiant.

0:05:46.700,0:05:50.800
Also π Radiant ist gleich 180 Grad

0:05:51.067,0:06:05.570
Und hier sind unsere Ausdrücke:[br]1Radiant = 180/π Grad oder 1 Grad = π/180 Radiant.

0:06:05.668,0:06:10.270
Lasst uns ein paar Aufgaben lösen, um alles zu verstehen.

0:06:10.433,0:06:16.030
Angenommen, dass ihr 45 Grad in Radiant umrechnen sollt ...

0:06:16.167,0:06:36.370
Wir wissen, dass 1 Grad = π/180 Radiant ist.[br]Deshalb 45 Grad = 45 * (π/180) Radiant

0:06:36.467,0:06:47.270
Wenn wir den Bruch kürzen, wenn wir 180 [br]durch 45 teilen, erhalten wir π/4 Radiant.

0:06:47.433,0:06:54.730
45 Grad = π/4 Radiant

0:06:55.000,0:07:00.500
Merkt euch, dass das zwei unterschiedlichen Maßeinheiten [br]oder zwei verschiedenen Winkelmessungen sind.

0:07:00.633,0:07:06.330
Mit dem Bogenmaß wird in der Mathematik gemessen. [br]Im Alltag hat man mit dem Gradmaß zu tun.

0:07:06.467,0:07:15.670
Und nicht vergessen: 1 Radiant = 180/π Grad,[br]1 Grad = π/180 Radiant.

0:07:15.746,0:07:22.250
Ich habe das aufgeschrieben, weil ich immer vergesse, [br]was 180/π und was π/180 beträgt.

0:07:22.500,0:07:27.200
Aber was ich genau weiß, dass π Radiant gleich 180 Grad sind.

0:07:27.400,0:07:29.200
Ein weiteres Beispiel.

0:07:29.467,0:07:34.970
Also wie viel Grad sind in π/2 Radianten?

0:07:35.158,0:07:41.660
Was haben wir gerade geschrieben, dass [br]π Radiant = 180 Grad.

0:07:43.752,0:07:53.350
Wir wissen, dass π Radiant = 180 Grad, nicht wahr?

0:07:54.480,0:08:00.280
Also noch mal π Radiant = 180 Grad

0:08:02.500,0:08:09.500
Daher ist 1 Radiant = 180/π Grad.

0:08:09.700,0:08:11.300
Ich vergesse das immer wieder.

0:08:14.000,0:08:16.100
Zurück zur Aufgabe.

0:08:16.333,0:08:33.630
So, π/2 Radiant = (π/2) * (180 / π) Grad.[br]Und es ist 90 Grad.

0:08:38.672,0:08:40.970
Noch ein Beispiel.

0:08:43.133,0:08:59.130
Angenommen, dass ihr 30 Grad in Radiant umrechnen sollt. Ich erinnere euch, dass π Radiant = 180 Grad.

0:08:59.260,0:09:18.360
Und 1 Grad = π/180 Radiant.[br]Deshalb sind 30 Grad = 30 * (π/180) Radiant.

0:09:18.765,0:09:26.960
Und wenn wir den Bruch kürzen, [br]erhalten wir π/6 Radiant.

0:09:29.100,0:09:35.800
Ich hoffe, dass ihr jetzt wisst, wie man [br]Grad in Radiant und umgekehrt umrechnet.

0:09:36.000,0:09:43.200
Und ihr wisst, warum diese Einheit Radiant heißt (weil [br]sie eng mit dem Radius verbunden ist).

0:09:43.367,0:09:45.270
Bis zum nächsten Mal!