Hallo! Heute geht es um Grad- und Bogenmaß! Ihr seid bestimmt schon vertraut mit dem Begriff "Gradmaß".
Ich glaube, dass wir dafür intensiv gepaukt haben.
Zum Beispiel, ihr könnt bereits wissen, dass der rechte Winkel 90 Grad beträgt.
Oder ihr könnt wissen, dass die Hälfte des rechten Winkels 45 Grad ist.
Und wahrscheinlich wisst ihr, dass der Kreis 360 Grad beträgt.
So, heute stelle ich euch ein anderes Winkelmaß vor, das Bogenmaß.
Zur Kennzeichnung des Bogenmaßes wird die Einheit Radiant nachgestellt.
Also, was ist ein Bogenmaß? Ich werde das jetzt definieren.
So, ich werde jetzt ein spezielles Werkzeug benutzten, um einen schönen Kreis zu zeichnen.
Das ist aber falsches Werkzeug.
So das ist gut.
Das ist ein Radius, der die Länge r hat.
Das Bogenmaß eines Winkels ist definiert als das Verhältnis der Länge des Kreisbogens zum Radius.
Um auf die Verwendung des Bogenmaßes hinzuweisen,
kann der Radiant mit dem Einheitenzeichen rad nachgestellt werden.
Dabei ist 1 Radiant die Größe desjenigen Winkels, der einen Bogen mit der Länge des Radius r umschließt.
Die Länge dieses Bogens ist daher auch gleich r. Und der Winkel ist gleich 1 Radiant.
Lasst mich einen größeren Kreis zeichnen.
Wieso der Vollwinkel ausgerechnet 360 Grad misst, hat historische Gründe
und ist vom mathematischen Standpunkt aus gesehen gar nicht so vorteilhaft.
Das Bogenmaß ist für viele Zwecke günstiger.
Angenommen, der Radius hat die Länge r. Die Länge dieses Bogens hier ist auch gleich r.
Dieser Winkel θ ist gleich 1 Radiant. Jetzt wird auch klar, warum das der Radiant heißt.
Das klingt wie "Radius".
Man fragt sich: Wie viele Radianten beträgt ein Vollkreis?
Wenn das gleich r ist, wie viel beträgt dann der gesamte Kreisumfang?
Er ist gleich 2πr, nicht wahr?
Ihr wisst das aus der Geometrie.
Also, wenn der Winkel, der den Bogen r umfasst, 1 Radiant gleich ist,
dann ist der Winkel, der den Bogen 2πr umfasst, gleich 2π Radianten.
Also dieser Winkel ist 2π Radianten.
Oder anders rum: Winkel von 2π Radianten beschreibt einen 2πr langen Bogen.
Ich möchte euch nicht verwirren.
Ich möchte nur, dass ihr versteht warum es "Radiant" heißt, und wie das sich auf den Kreis bezieht.
Wir wissen, dass ein Vollkreis 2π Radianten ist, und wir können jetzt der Beziehung zwischen Bogen- und Gradmaß verstehen.
Ich lösche das.
Also wir haben klargestellt, dass ein Kreis 2π Radianten enthält.
Und wie viel Grad hat ein Kreis?
Wenn wir um den ganzen Kreis herumgehen, wie viel Grad ist das? Das sind 360 Grad.
Wir haben eine Gleichung für die Umrechnung zwischen Radiant und Grad.
Ein Radiant entspricht 360/2π Grad (ich habe beide Seiten durch 2π geteilt), und das ist 180/π Grad.
Ebenso kann ich beide Seiten durch 360 dividieren und sagen,
dass ein Grad 2π/360 Radiant entspricht. Also 1 Grad entspricht π/180 Radiant.
Wir erhalten: 1 Radiant = 180 / π Grad und 1 Grad = π/180 Radiant.
Es tut nicht Weh das zu merken. Aber wenn ihr das doch vergesst, könnt ihr immer wieder das ansehen.
Wir machen Berechnungen ein wenig einfacher, wenn wir einen halben Kreis nehmen.
Die Hälfte eines Kreises (das ist dieser Winkel) ist 180 Grad, nicht wahr? Das ist ein Gradzeichen.
Ich könnte auch „Grad“ schreiben. Und es ist auch gleich π Radiant.
Also π Radiant ist gleich 180 Grad
Und hier sind unsere Ausdrücke: 1Radiant = 180/π Grad oder 1 Grad = π/180 Radiant.
Lasst uns ein paar Aufgaben lösen, um alles zu verstehen.
Angenommen, dass ihr 45 Grad in Radiant umrechnen sollt ...
Wir wissen, dass 1 Grad = π/180 Radiant ist. Deshalb 45 Grad = 45 * (π/180) Radiant
Wenn wir den Bruch kürzen, wenn wir 180 durch 45 teilen, erhalten wir π/4 Radiant.
45 Grad = π/4 Radiant
Merkt euch, dass das zwei unterschiedlichen Maßeinheiten oder zwei verschiedenen Winkelmessungen sind.
Mit dem Bogenmaß wird in der Mathematik gemessen. Im Alltag hat man mit dem Gradmaß zu tun.
Und nicht vergessen: 1 Radiant = 180/π Grad, 1 Grad = π/180 Radiant.
Ich habe das aufgeschrieben, weil ich immer vergesse, was 180/π und was π/180 beträgt.
Aber was ich genau weiß, dass π Radiant gleich 180 Grad sind.
Ein weiteres Beispiel.
Also wie viel Grad sind in π/2 Radianten?
Was haben wir gerade geschrieben, dass π Radiant = 180 Grad.
Wir wissen, dass π Radiant = 180 Grad, nicht wahr?
Also noch mal π Radiant = 180 Grad
Daher ist 1 Radiant = 180/π Grad.
Ich vergesse das immer wieder.
Zurück zur Aufgabe.
So, π/2 Radiant = (π/2) * (180 / π) Grad. Und es ist 90 Grad.
Noch ein Beispiel.
Angenommen, dass ihr 30 Grad in Radiant umrechnen sollt. Ich erinnere euch, dass π Radiant = 180 Grad.
Und 1 Grad = π/180 Radiant. Deshalb sind 30 Grad = 30 * (π/180) Radiant.
Und wenn wir den Bruch kürzen, erhalten wir π/6 Radiant.
Ich hoffe, dass ihr jetzt wisst, wie man Grad in Radiant und umgekehrt umrechnet.
Und ihr wisst, warum diese Einheit Radiant heißt (weil sie eng mit dem Radius verbunden ist).
Bis zum nächsten Mal!