[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:05.00,0:00:13.30,Default,,0000,0000,0000,,Hallo! Heute geht es um Grad- und Bogenmaß! \NIhr seid bestimmt schon vertraut mit dem Begriff "Gradmaß".
Dialogue: 0,0:00:13.50,0:00:17.20,Default,,0000,0000,0000,,Ich glaube, dass wir dafür intensiv gepaukt haben.
Dialogue: 0,0:00:17.58,0:00:26.38,Default,,0000,0000,0000,,Zum Beispiel, ihr könnt bereits wissen, dass der rechte Winkel 90 Grad beträgt.
Dialogue: 0,0:00:26.53,0:00:33.33,Default,,0000,0000,0000,,Oder ihr könnt wissen, dass die Hälfte des rechten Winkels 45 Grad ist.
Dialogue: 0,0:00:33.53,0:00:40.93,Default,,0000,0000,0000,,Und wahrscheinlich wisst ihr, dass der Kreis 360 Grad beträgt.
Dialogue: 0,0:00:43.03,0:00:49.03,Default,,0000,0000,0000,,So, heute stelle ich euch ein anderes Winkelmaß vor, das Bogenmaß.
Dialogue: 0,0:00:49.17,0:00:54.17,Default,,0000,0000,0000,,Zur Kennzeichnung des Bogenmaßes wird die Einheit Radiant nachgestellt.
Dialogue: 0,0:00:54.50,0:00:59.30,Default,,0000,0000,0000,,Also, was ist ein Bogenmaß? \NIch werde das jetzt definieren.
Dialogue: 0,0:00:59.43,0:01:08.23,Default,,0000,0000,0000,,So, ich werde jetzt ein spezielles Werkzeug benutzten, \Num einen schönen Kreis zu zeichnen.
Dialogue: 0,0:01:14.00,0:01:18.40,Default,,0000,0000,0000,,Das ist aber falsches Werkzeug.
Dialogue: 0,0:01:18.73,0:01:20.53,Default,,0000,0000,0000,,So das ist gut.
Dialogue: 0,0:01:20.77,0:01:23.87,Default,,0000,0000,0000,,Das ist ein Radius, der die Länge r hat.
Dialogue: 0,0:01:24.13,0:01:30.73,Default,,0000,0000,0000,,Das Bogenmaß eines Winkels ist definiert als das \NVerhältnis der Länge des Kreisbogens zum Radius.
Dialogue: 0,0:01:30.93,0:01:34.43,Default,,0000,0000,0000,,Um auf die Verwendung des Bogenmaßes hinzuweisen,
Dialogue: 0,0:01:34.63,0:01:39.23,Default,,0000,0000,0000,,kann der Radiant mit dem Einheitenzeichen rad nachgestellt werden.
Dialogue: 0,0:01:39.40,0:01:48.20,Default,,0000,0000,0000,,Dabei ist 1 Radiant die Größe desjenigen Winkels, der einen Bogen mit der Länge des Radius r umschließt.
Dialogue: 0,0:01:48.55,0:01:55.45,Default,,0000,0000,0000,,Die Länge dieses Bogens ist daher auch gleich r. \NUnd der Winkel ist gleich 1 Radiant.
Dialogue: 0,0:01:55.57,0:01:58.97,Default,,0000,0000,0000,,Lasst mich einen größeren Kreis zeichnen.
Dialogue: 0,0:01:59.17,0:02:05.77,Default,,0000,0000,0000,,Wieso der Vollwinkel ausgerechnet 360 Grad misst, hat historische Gründe
Dialogue: 0,0:02:05.92,0:02:09.92,Default,,0000,0000,0000,,und ist vom mathematischen Standpunkt aus gesehen gar nicht so vorteilhaft.
Dialogue: 0,0:02:10.07,0:02:13.77,Default,,0000,0000,0000,,Das Bogenmaß ist für viele Zwecke günstiger.
Dialogue: 0,0:02:14.05,0:02:25.45,Default,,0000,0000,0000,,Angenommen, der Radius hat die Länge r. Die Länge \Ndieses Bogens hier ist auch gleich r.
Dialogue: 0,0:02:25.60,0:02:34.20,Default,,0000,0000,0000,,Dieser Winkel θ ist gleich 1 Radiant.\NJetzt wird auch klar, warum das der Radiant heißt.
Dialogue: 0,0:02:34.44,0:02:35.94,Default,,0000,0000,0000,,Das klingt wie "Radius".
Dialogue: 0,0:02:36.25,0:02:40.25,Default,,0000,0000,0000,,Man fragt sich: Wie viele Radianten beträgt ein Vollkreis?
Dialogue: 0,0:02:41.47,0:02:47.97,Default,,0000,0000,0000,,Wenn das gleich r ist, wie viel beträgt dann der gesamte Kreisumfang?
Dialogue: 0,0:02:48.13,0:02:53.13,Default,,0000,0000,0000,,Er ist gleich 2πr, nicht wahr?
Dialogue: 0,0:02:53.29,0:02:55.69,Default,,0000,0000,0000,,Ihr wisst das aus der Geometrie.
Dialogue: 0,0:02:55.87,0:03:01.87,Default,,0000,0000,0000,,Also, wenn der Winkel, der den Bogen r umfasst, \N1 Radiant gleich ist,
Dialogue: 0,0:03:02.10,0:03:09.50,Default,,0000,0000,0000,,dann ist der Winkel, der den Bogen 2πr umfasst, gleich 2π Radianten.
Dialogue: 0,0:03:09.70,0:03:15.30,Default,,0000,0000,0000,,Also dieser Winkel ist 2π Radianten.
Dialogue: 0,0:03:16.00,0:03:25.00,Default,,0000,0000,0000,,Oder anders rum: Winkel von 2π Radianten beschreibt einen 2πr langen Bogen.
Dialogue: 0,0:03:27.33,0:03:29.63,Default,,0000,0000,0000,,Ich möchte euch nicht verwirren.
Dialogue: 0,0:03:29.73,0:03:37.73,Default,,0000,0000,0000,,Ich möchte nur, dass ihr versteht warum es \N"Radiant" heißt, und wie das sich auf den Kreis bezieht.
Dialogue: 0,0:03:37.93,0:03:47.93,Default,,0000,0000,0000,,Wir wissen, dass ein Vollkreis 2π Radianten ist, und wir können jetzt der Beziehung zwischen Bogen- und Gradmaß verstehen.
Dialogue: 0,0:03:50.00,0:03:51.70,Default,,0000,0000,0000,,Ich lösche das.
Dialogue: 0,0:03:54.93,0:04:00.33,Default,,0000,0000,0000,,Also wir haben klargestellt, dass ein Kreis 2π Radianten enthält.
Dialogue: 0,0:04:00.47,0:04:03.47,Default,,0000,0000,0000,,Und wie viel Grad hat ein Kreis?
Dialogue: 0,0:04:03.57,0:04:10.67,Default,,0000,0000,0000,,Wenn wir um den ganzen Kreis herumgehen, wie viel \NGrad ist das? Das sind 360 Grad.
Dialogue: 0,0:04:10.80,0:04:15.80,Default,,0000,0000,0000,,Wir haben eine Gleichung für die Umrechnung zwischen \NRadiant und Grad.
Dialogue: 0,0:04:15.93,0:04:32.23,Default,,0000,0000,0000,,Ein Radiant entspricht 360/2π Grad (ich habe beide Seiten durch 2π geteilt), und das ist 180/π Grad.
Dialogue: 0,0:04:32.37,0:04:38.67,Default,,0000,0000,0000,,Ebenso kann ich beide Seiten durch 360 dividieren\Nund sagen,
Dialogue: 0,0:04:38.73,0:04:58.93,Default,,0000,0000,0000,,dass ein Grad 2π/360 Radiant entspricht.\NAlso 1 Grad entspricht π/180 Radiant.
Dialogue: 0,0:04:59.07,0:05:13.67,Default,,0000,0000,0000,,Wir erhalten: 1 Radiant = 180 / π Grad\Nund 1 Grad = π/180 Radiant.
Dialogue: 0,0:05:13.77,0:05:19.77,Default,,0000,0000,0000,,Es tut nicht Weh das zu merken. Aber wenn ihr \Ndas doch vergesst, könnt ihr immer wieder das ansehen.
Dialogue: 0,0:05:20.93,0:05:26.73,Default,,0000,0000,0000,,Wir machen Berechnungen ein wenig einfacher, wenn wir einen halben Kreis nehmen.
Dialogue: 0,0:05:29.87,0:05:39.47,Default,,0000,0000,0000,,Die Hälfte eines Kreises (das ist dieser Winkel) ist \N180 Grad, nicht wahr? Das ist ein Gradzeichen.
Dialogue: 0,0:05:39.57,0:05:46.57,Default,,0000,0000,0000,,Ich könnte auch „Grad“ schreiben.\NUnd es ist auch gleich π Radiant.
Dialogue: 0,0:05:46.70,0:05:50.80,Default,,0000,0000,0000,,Also π Radiant ist gleich 180 Grad
Dialogue: 0,0:05:51.07,0:06:05.57,Default,,0000,0000,0000,,Und hier sind unsere Ausdrücke:\N1Radiant = 180/π Grad oder 1 Grad = π/180 Radiant.
Dialogue: 0,0:06:05.67,0:06:10.27,Default,,0000,0000,0000,,Lasst uns ein paar Aufgaben lösen, um alles zu verstehen.
Dialogue: 0,0:06:10.43,0:06:16.03,Default,,0000,0000,0000,,Angenommen, dass ihr 45 Grad in Radiant umrechnen sollt ...
Dialogue: 0,0:06:16.17,0:06:36.37,Default,,0000,0000,0000,,Wir wissen, dass 1 Grad = π/180 Radiant ist.\NDeshalb 45 Grad = 45 * (π/180) Radiant
Dialogue: 0,0:06:36.47,0:06:47.27,Default,,0000,0000,0000,,Wenn wir den Bruch kürzen, wenn wir 180 \Ndurch 45 teilen, erhalten wir π/4 Radiant.
Dialogue: 0,0:06:47.43,0:06:54.73,Default,,0000,0000,0000,,45 Grad = π/4 Radiant
Dialogue: 0,0:06:55.00,0:07:00.50,Default,,0000,0000,0000,,Merkt euch, dass das zwei unterschiedlichen Maßeinheiten \Noder zwei verschiedenen Winkelmessungen sind.
Dialogue: 0,0:07:00.63,0:07:06.33,Default,,0000,0000,0000,,Mit dem Bogenmaß wird in der Mathematik gemessen. \NIm Alltag hat man mit dem Gradmaß zu tun.
Dialogue: 0,0:07:06.47,0:07:15.67,Default,,0000,0000,0000,,Und nicht vergessen: 1 Radiant = 180/π Grad,\N1 Grad = π/180 Radiant.
Dialogue: 0,0:07:15.75,0:07:22.25,Default,,0000,0000,0000,,Ich habe das aufgeschrieben, weil ich immer vergesse, \Nwas 180/π und was π/180 beträgt.
Dialogue: 0,0:07:22.50,0:07:27.20,Default,,0000,0000,0000,,Aber was ich genau weiß, dass π Radiant gleich 180 Grad sind.
Dialogue: 0,0:07:27.40,0:07:29.20,Default,,0000,0000,0000,,Ein weiteres Beispiel.
Dialogue: 0,0:07:29.47,0:07:34.97,Default,,0000,0000,0000,,Also wie viel Grad sind in π/2 Radianten?
Dialogue: 0,0:07:35.16,0:07:41.66,Default,,0000,0000,0000,,Was haben wir gerade geschrieben, dass \Nπ Radiant = 180 Grad.
Dialogue: 0,0:07:43.75,0:07:53.35,Default,,0000,0000,0000,,Wir wissen, dass π Radiant = 180 Grad, nicht wahr?
Dialogue: 0,0:07:54.48,0:08:00.28,Default,,0000,0000,0000,,Also noch mal π Radiant = 180 Grad
Dialogue: 0,0:08:02.50,0:08:09.50,Default,,0000,0000,0000,,Daher ist 1 Radiant = 180/π Grad.
Dialogue: 0,0:08:09.70,0:08:11.30,Default,,0000,0000,0000,,Ich vergesse das immer wieder.
Dialogue: 0,0:08:14.00,0:08:16.10,Default,,0000,0000,0000,,Zurück zur Aufgabe.
Dialogue: 0,0:08:16.33,0:08:33.63,Default,,0000,0000,0000,,So, π/2 Radiant = (π/2) * (180 / π) Grad.\NUnd es ist 90 Grad.
Dialogue: 0,0:08:38.67,0:08:40.97,Default,,0000,0000,0000,,Noch ein Beispiel.
Dialogue: 0,0:08:43.13,0:08:59.13,Default,,0000,0000,0000,,Angenommen, dass ihr 30 Grad in Radiant umrechnen sollt. Ich erinnere euch, dass π Radiant = 180 Grad.
Dialogue: 0,0:08:59.26,0:09:18.36,Default,,0000,0000,0000,,Und 1 Grad = π/180 Radiant.\NDeshalb sind 30 Grad = 30 * (π/180) Radiant.
Dialogue: 0,0:09:18.76,0:09:26.96,Default,,0000,0000,0000,,Und wenn wir den Bruch kürzen, \Nerhalten wir π/6 Radiant.
Dialogue: 0,0:09:29.10,0:09:35.80,Default,,0000,0000,0000,,Ich hoffe, dass ihr jetzt wisst, wie man \NGrad in Radiant und umgekehrt umrechnet.
Dialogue: 0,0:09:36.00,0:09:43.20,Default,,0000,0000,0000,,Und ihr wisst, warum diese Einheit Radiant heißt (weil \Nsie eng mit dem Radius verbunden ist).
Dialogue: 0,0:09:43.37,0:09:45.27,Default,,0000,0000,0000,,Bis zum nächsten Mal!