Benvenuto alla lezione sui radianti e i gradi!
Credo che tu sappia già con chiarezza
cosa siano i gradi,
e che nelle nostre lezioni
sugli angoli li usiate
per gli esercizi che diamo.
Saprai che un angolo retto è 90°
e che 1/2 angolo retto è 45°.
E forse saprai che in un cerchio --
tento di fare un cerchio...
ci sono 360°.
Oggi vi mostrerò un altro modo per
misurare gli angoli: i radianti.
. . .
Cos'è un radiante?
Vi do una definizione e penso che basti
a farvi capire perchè sia
chiamato radiante.
. .
Facciamo un vero cerchio!
. . .
Ecco lo strumento adatto!
OK.
. . .
Questo è un raggio di lunghezza r
Un radiante è l'angolo che sottende un arco.
"Sottende" significa che, se questo è l'angolo e questo l'arco,
l'angolo sottende l'arco, l'arco
sottende l'angolo.
1 radiante, quindi, è l'angolo che sottende un arco di
lunghezza r.
Quindi questo misura r.
E quest'angolo è di 1 radiante.
Uhm, chiariamo
Usiamo un cerchio più grande.
. . .
Ecco fatto.
Spiegherò il perchè
si usa il radiante.
Tutti conosciamo i gradi.
Ma, pensandoci, ha
molto molto senso.
Usiamo lo strumento per la linea.
. . .
Diciamo che questo raggio è lungo r e che quest'arco
è anch'esso lungo r.
Allora, quest'angolo, detto θ (theta), misura 1 radiante.
Adesso ha senso che lo chiamino "radiante".
è simile ad un raggio (lat. "radius")
Adesso vi faccio una domanda: quanti radianti
ci sono in una circonferenza?
Se misura r, quanto misurerà tutta la circonferenza
di un cerchio?
. . .
C = 2πr, vero?
Lo sai grazie alla lezione di geometria.
Quindi, se il radiante è l'angolo che sottende un arco lungo r, allora
l'angolo che sottende 2πr è 2π.
Quindi, quest'angolo vale 2π.
. . .
Se non hai capito, proviamo così:
un angolo di 2π radianti finisce per sottendere
un arco di 2π r
radius o radii
Non sono sicuro di come si dica il plurale di 'raggio' in latino
È radianti?
No, non credo
Speriamo che non vi sto confondendo ora
Volevo farvi capire da dove provenga il nome e come sia
legato al cerchio.
Posto che in una circonferenza ci sono 2π radianti, possiamo
esprimere la relazione tra radianti e gradi.
Facciamo spazio.
Abbiamo detto che, in un cerchio, ci sono 2π radianti.
. . .
E quanti gradi ci sono?
Se percorriamo un cerchio completo, quanti gradi abbiamo?
360°.
. . .
E cosdì
Abbiamo un'equazione per convertire
radianti e gradi.
Quindi, 1 radiante = 360°/2π.
Divido entrambe le parti per 2π!
Quindi otteniamo 180°/π
. . .
Allo stesso modo per i gradi.
Avremmo entrambi i lati divisi per 360
e diremmo che 1°
1 grado
è uguale a 2π/360 radianti
. . .
E quindi π/180 radianti.
Quindi possiamo convertire: 1 radiante = 180°/π
e 1° = π/180 radianti.
Se lo dimenticate, non succede, niente di grave.
Ma non è male cercare di memorizzarlo
E se doveste dimenticarlo, potete aiutarvi con la proprietà
ricordando che 2π = 360°
Alternativamente, forse è più semplice,
pensate che metà del cerchio
quest'angolo è 180 gradi
. . .
Indichiamo i gradi così
o scriviamo 'gradi' per esteso
e 180 gradi corrisponde a π radianti
. . .
Quindi π radianti corrisponde a 180 gradi
espresso in gradi, un radiante è pari a 180/π
espresso in radianti, un grado è pari a π/180
Risolviamo un paio di esercizi
per familiarizzarci
Convertiamo 45 gradi in radianti
...
Sappiamo che 1 grado = π/180
quindi 45 gradi = 45 * π/180
Dividiamo 45/180
45 ci sta 4 volte nel 180, quindi = π/180
. . .
45 gradi = π/4
non dimenticate che queste sono unità diverse
due modi differenti di misurare gli angoli
La ragione d'insistere su ciò
è che questo è il modo standard per misurare gli angoli
in genere abbiamo più familiarità con i gradi
nella vita di tutti i giorni
Ancora un paio di esempi
Ricordate che 1 radiante espresso in gradi
è uguale a 180/π
1 grado espresso in radianti = π/180
scrivete questa eguaglianza per aiutarvi
io me ne dimentico sempre altrimenti
π/180 o 180/π
Io mi ricordo che π radianti = 180 gradi
Facciamone un altro
Allora, π/2 corrisponde
a quanti gradi?
. . .
Non ho fatto caso che l'avevo già scritto
parto da π = 180
. . .
Mia moglie è appena rientrata quindi vi devo lasciare
continuerò la presentazione un'altra volta
Anzi, finiamo questa
e poi mi occupo della moglie
Allora, π = 180
1 = 180 / π
Me la devo riscrivere ogni volta
perché me ne dimentico sempre
Torniamo a noi
π/2 = π/(2*180/π)
Che corrisponde a 90 gradi
.. .
Facciamo un ultimo esempio
. . .
Calcoliamo 30 gradi
. . .
Come al solito, non ricordo la formula, ma ricordo che
π radianti = 180 gradi
1 grado espresso in radianti = π/180
30 gradi è 30*π/180
che dà... 180/30=6
π/6
Abbiamo preso la mano con queste conversioni
e si capisce perché si chiamano 'radianri'
visto il rapporto stretto con il raggio
ci siamo familiarizzati con queste unità di misura
e ormai sappiamo convertire gradi in radianti e viceversa.
Alla prossima presentazione.