1
00:00:00,910 --> 00:00:03,770
Benvenuto alla lezione
sui radianti e i gradi!

2
00:00:03,770 --> 00:00:07,010
Credo che tu sappia già con chiarezza

3
00:00:07,010 --> 00:00:07,950
cosa siano i gradi,

4
00:00:07,950 --> 00:00:10,310
e che nelle nostre lezioni

5
00:00:10,310 --> 00:00:12,370
sugli angoli li usiate

6
00:00:12,370 --> 00:00:23,460
per gli esercizi che diamo.

7
00:00:23,460 --> 00:00:28,650
Saprai che un angolo retto è 90°

8
00:00:28,650 --> 00:00:32,630
e che 1/2 angolo retto è 45°.

9
00:00:32,630 --> 00:00:36,610
E forse saprai che in un cerchio --

10
00:00:36,610 --> 00:00:38,760
tento di fare un cerchio...

11
00:00:38,760 --> 00:00:41,010
ci sono 360°.

12
00:00:41,010 --> 00:00:44,750
Oggi vi mostrerò un altro modo per

13
00:00:44,750 --> 00:00:47,270
misurare gli angoli: i radianti.

14
00:00:47,270 --> 00:00:52,160
. . .

15
00:00:52,160 --> 00:00:53,450
Cos'è un radiante?

16
00:00:53,450 --> 00:00:55,650
Vi do una definizione e penso che basti

17
00:00:55,650 --> 00:00:57,105
a farvi capire perchè sia

18
00:00:57,105 --> 00:00:59,910
chiamato radiante.

19
00:00:59,910 --> 00:01:01,380
. .

20
00:01:01,380 --> 00:01:02,850
Facciamo un vero cerchio!

21
00:01:02,850 --> 00:01:10,060
. . .

22
00:01:10,060 --> 00:01:14,270
Ecco lo strumento adatto!

23
00:01:14,270 --> 00:01:14,530
OK.

24
00:01:14,530 --> 00:01:19,430
. . .

25
00:01:19,430 --> 00:01:21,630
Questo è un raggio di lunghezza r

26
00:01:21,630 --> 00:01:25,500
Un radiante è l'angolo che
sottende un arco.

27
00:01:25,500 --> 00:01:30,210
"Sottende" significa che, se questo
è l'angolo e questo l'arco,

28
00:01:30,210 --> 00:01:34,520
l'angolo sottende l'arco, l'arco

29
00:01:34,520 --> 00:01:36,020
sottende l'angolo.

30
00:01:36,020 --> 00:01:41,050
1 radiante, quindi, è l'angolo
che sottende un arco di

31
00:01:41,050 --> 00:01:44,130
lunghezza r.

32
00:01:44,130 --> 00:01:46,780
Quindi questo misura r.

33
00:01:46,780 --> 00:01:50,440
E quest'angolo è di 1 radiante.

34
00:01:50,440 --> 00:01:51,140
Uhm, chiariamo

35
00:01:51,140 --> 00:01:52,490
Usiamo un cerchio
più grande.

36
00:01:52,490 --> 00:01:55,010
. . .

37
00:01:55,010 --> 00:01:56,640
Ecco fatto.

38
00:01:56,640 --> 00:01:57,860
Spiegherò il perchè

39
00:01:57,860 --> 00:01:58,780
si usa il radiante.

40
00:01:58,780 --> 00:02:00,300
Tutti conosciamo i gradi.

41
00:02:00,300 --> 00:02:02,090
Ma, pensandoci, ha

42
00:02:02,090 --> 00:02:03,100
molto molto senso.

43
00:02:03,100 --> 00:02:05,873
Usiamo lo strumento per la linea.

44
00:02:05,873 --> 00:02:12,980
. . .

45
00:02:12,980 --> 00:02:18,990
Diciamo che questo raggio è lungo r
e che quest'arco

46
00:02:18,990 --> 00:02:21,460
è anch'esso lungo r.

47
00:02:21,460 --> 00:02:28,210
Allora, quest'angolo, detto θ (theta), 
misura 1 radiante.

48
00:02:28,210 --> 00:02:30,220
Adesso ha senso che lo chiamino
"radiante".

49
00:02:30,220 --> 00:02:32,440
è simile ad un raggio (lat. "radius")

50
00:02:32,440 --> 00:02:35,100
Adesso vi faccio una domanda: 
quanti radianti

51
00:02:35,100 --> 00:02:37,420
ci sono in una circonferenza?

52
00:02:37,420 --> 00:02:41,300
Se misura r, quanto misurerà 
tutta la circonferenza

53
00:02:41,300 --> 00:02:42,050
di un cerchio?

54
00:02:42,050 --> 00:02:44,630
. . .

55
00:02:44,630 --> 00:02:46,540
C = 2πr, vero?

56
00:02:46,540 --> 00:02:50,050
Lo sai grazie alla lezione di geometria.

57
00:02:50,050 --> 00:02:55,850
Quindi, se il radiante è l'angolo che 
sottende un arco lungo r, allora

58
00:02:55,850 --> 00:03:03,650
l'angolo che sottende 2πr è 2π.

59
00:03:03,650 --> 00:03:06,970
Quindi, quest'angolo vale 2π.

60
00:03:06,970 --> 00:03:12,510
. . .

61
00:03:12,510 --> 00:03:14,820
Se non hai capito,
proviamo così:

62
00:03:14,820 --> 00:03:20,390
un angolo di 2π radianti finisce
per sottendere

63
00:03:20,390 --> 00:03:22,650
un arco di 2π r

64
00:03:22,650 --> 00:03:23,500
radius o radii

65
00:03:23,500 --> 00:03:26,460
Non sono sicuro di come si dica il plurale di 'raggio' in latino

66
00:03:26,460 --> 00:03:27,110
È radianti?

67
00:03:27,110 --> 00:03:30,130
No, non credo

68
00:03:30,130 --> 00:03:32,630
Speriamo che non vi sto confondendo ora

69
00:03:32,630 --> 00:03:35,580
Volevo farvi capire da dove
provenga il nome e come sia

70
00:03:35,580 --> 00:03:38,130
legato al cerchio.

71
00:03:38,130 --> 00:03:41,890
Posto che in una circonferenza ci sono
2π radianti, possiamo

72
00:03:41,890 --> 00:03:46,980
esprimere la relazione tra radianti
e gradi.

73
00:03:46,980 --> 00:03:49,920
Facciamo spazio.

74
00:03:49,920 --> 00:03:54,190
Abbiamo detto che, in un cerchio,
ci sono 2π radianti.

75
00:03:54,190 --> 00:03:57,340
. . .

76
00:03:57,340 --> 00:03:58,970
E quanti gradi ci sono?

77
00:03:58,970 --> 00:04:00,800
Se percorriamo un cerchio completo,
quanti gradi abbiamo?

78
00:04:00,800 --> 00:04:04,360
360°.

79
00:04:04,360 --> 00:04:07,080
. . .

80
00:04:07,080 --> 00:04:07,520
E cosdì

81
00:04:07,520 --> 00:04:09,620
Abbiamo un'equazione per
convertire

82
00:04:09,620 --> 00:04:10,950
radianti e gradi.

83
00:04:10,950 --> 00:04:19,390
Quindi, 1 radiante = 360°/2π.

84
00:04:19,390 --> 00:04:22,570
Divido entrambe le parti
per 2π!

85
00:04:22,570 --> 00:04:27,040
Quindi otteniamo 180°/π

86
00:04:27,040 --> 00:04:29,710
. . .

87
00:04:29,710 --> 00:04:31,080
Allo stesso modo per i
gradi.

88
00:04:31,080 --> 00:04:34,000
Avremmo entrambi i lati divisi per 360

89
00:04:34,000 --> 00:04:38,530
e diremmo che 1°

90
00:04:38,530 --> 00:04:39,970
1 grado

91
00:04:39,970 --> 00:04:45,410
è uguale a 2π/360 radianti

92
00:04:45,410 --> 00:04:48,570
. . .

93
00:04:48,570 --> 00:04:53,260
E quindi π/180 radianti.

94
00:04:53,260 --> 00:05:00,440
Quindi possiamo convertire:
1 radiante = 180°/π

95
00:05:00,440 --> 00:05:05,220
e 1° = π/180 radianti.

96
00:05:05,220 --> 00:05:06,980
Se lo dimenticate, non succede, niente di grave.

97
00:05:06,980 --> 00:05:08,740
Ma non è male cercare di memorizzarlo

98
00:05:08,740 --> 00:05:12,520
E se doveste dimenticarlo, potete aiutarvi con la proprietà

99
00:05:12,520 --> 00:05:15,810
ricordando che 2π = 360°

100
00:05:15,810 --> 00:05:21,450
Alternativamente, forse è più semplice,

101
00:05:21,450 --> 00:05:26,545
pensate che metà del cerchio

102
00:05:26,545 --> 00:05:31,550
quest'angolo è 180 gradi

103
00:05:31,550 --> 00:05:35,210
. . .

104
00:05:35,210 --> 00:05:36,120
Indichiamo i gradi così

105
00:05:36,120 --> 00:05:37,810
o scriviamo 'gradi' per esteso

106
00:05:37,810 --> 00:05:39,680
e 180 gradi corrisponde a π radianti

107
00:05:39,680 --> 00:05:42,680
. . .

108
00:05:42,680 --> 00:05:46,250
Quindi π radianti corrisponde a 180 gradi

109
00:05:46,250 --> 00:05:57,250
espresso in gradi, un radiante è pari a 180/π

110
00:05:57,250 --> 00:06:00,940
espresso in radianti, un grado è pari a π/180

111
00:06:00,940 --> 00:06:02,495
Risolviamo un paio di esercizi

112
00:06:02,495 --> 00:06:03,540
per familiarizzarci

113
00:06:03,540 --> 00:06:09,010
Convertiamo 45 gradi in radianti

114
00:06:09,010 --> 00:06:12,440
...

115
00:06:12,440 --> 00:06:18,410
Sappiamo che 1 grado = π/180

116
00:06:18,410 --> 00:06:32,910
quindi 45 gradi = 45 * π/180

117
00:06:32,910 --> 00:06:36,850
Dividiamo 45/180

118
00:06:36,850 --> 00:06:42,360
45 ci sta 4 volte nel 180, quindi = π/180

119
00:06:42,360 --> 00:06:45,650
. . .

120
00:06:45,650 --> 00:06:49,600
45 gradi = π/4

121
00:06:49,600 --> 00:06:52,610
non dimenticate che queste sono unità diverse

122
00:06:52,610 --> 00:06:55,070
due modi differenti di misurare gli angoli

123
00:06:55,070 --> 00:06:56,590
La ragione d'insistere su ciò

124
00:06:56,590 --> 00:06:59,700
è che questo è il modo standard per misurare gli angoli

125
00:06:59,700 --> 00:07:01,690
in genere abbiamo più familiarità con i gradi

126
00:07:01,690 --> 00:07:03,030
nella vita di tutti i giorni

127
00:07:03,030 --> 00:07:04,920
Ancora un paio di esempi

128
00:07:04,920 --> 00:07:06,690
Ricordate che 1 radiante espresso in gradi

129
00:07:06,690 --> 00:07:08,400
è uguale a 180/π

130
00:07:08,400 --> 00:07:10,200
1 grado espresso in radianti = π/180

131
00:07:10,200 --> 00:07:12,630
scrivete questa eguaglianza per aiutarvi

132
00:07:12,630 --> 00:07:15,400
io me ne dimentico sempre altrimenti

133
00:07:15,400 --> 00:07:17,570
π/180 o 180/π

134
00:07:17,570 --> 00:07:21,550
Io mi ricordo che π radianti = 180 gradi

135
00:07:21,550 --> 00:07:23,840
Facciamone un altro

136
00:07:23,840 --> 00:07:33,060
Allora, π/2 corrisponde

137
00:07:33,060 --> 00:07:33,765
a quanti gradi?

138
00:07:33,765 --> 00:07:37,480
. . .

139
00:07:37,480 --> 00:07:40,660
Non ho fatto caso che l'avevo già scritto

140
00:07:40,660 --> 00:07:45,565
parto da π = 180

141
00:07:45,565 --> 00:07:55,720
. . .

142
00:07:55,720 --> 00:07:57,930
Mia moglie è appena rientrata quindi vi devo lasciare

143
00:07:57,930 --> 00:08:02,670
continuerò la presentazione un'altra volta

144
00:08:02,670 --> 00:08:05,120
Anzi, finiamo questa

145
00:08:05,120 --> 00:08:07,270
e poi mi occupo della moglie

146
00:08:07,270 --> 00:08:12,140
Allora, π = 180

147
00:08:12,140 --> 00:08:18,840
1 = 180 / π

148
00:08:18,840 --> 00:08:21,660
1 = 180 / π

149
00:08:21,660 --> 00:08:23,470
Me la devo riscrivere ogni volta

150
00:08:23,470 --> 00:08:24,490
perché me ne dimentico sempre

151
00:08:24,490 --> 00:08:25,500
Torniamo a noi

152
00:08:25,500 --> 00:08:33,160
π/2 = π/(2*180/π)

153
00:08:33,160 --> 00:08:38,510
π/2 = π/(2*180/π)

154
00:08:38,510 --> 00:08:41,585
Che corrisponde a 90 gradi

155
00:08:41,585 --> 00:08:47,240
.. .

156
00:08:47,240 --> 00:08:48,830
Facciamo un ultimo esempio

157
00:08:48,830 --> 00:08:54,480
. . .

158
00:08:54,480 --> 00:08:55,915
Calcoliamo 30 gradi

159
00:08:55,915 --> 00:09:00,950
. . .

160
00:09:00,950 --> 00:09:03,200
Come al solito, non ricordo la formula, ma ricordo che

161
00:09:03,200 --> 00:09:10,960
π radianti = 180 gradi

162
00:09:10,960 --> 00:09:19,150
1 grado espresso in radianti = π/180

163
00:09:19,150 --> 00:09:27,220
30 gradi è 30*π/180

164
00:09:27,220 --> 00:09:31,320
che dà... 180/30=6

165
00:09:31,320 --> 00:09:36,160
π/6

166
00:09:36,160 --> 00:09:39,630
Abbiamo preso la mano con queste conversioni

167
00:09:39,630 --> 00:09:42,070
e si capisce perché si chiamano 'radianri'

168
00:09:42,070 --> 00:09:45,880
visto il rapporto stretto con il raggio

169
00:09:45,880 --> 00:09:50,210
ci siamo familiarizzati con queste unità di misura

170
00:09:50,210 --> 00:09:52,410
e ormai sappiamo convertire gradi in radianti e viceversa.

171
00:09:52,410 --> 00:09:55,031
Alla prossima presentazione.